第三节-系统的传递函数

1、第三节 传递函数 传递函数的定义1.定义 传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：()()()()()()()()()10000110110111nnnnnnmmiiimmmmid xtdxtdxtaaaa xtdtdtdtdxtdxtdxtbbbdtdtdtb xtnm-+ 鬃 +=+ 鬃 +()()( )()( )11110011nnmmnnmmisa sasaXsb sb sbsbXs0当初始条件为零时，对式 2-45 进行拉氏变换，得 a-+

2、 鬃 +=+鬃 +( )( )( )( )10111011mmmmnninnXssb sbsbXsa sa sasa0根据传递函数的定义，系统的传递函数G s 为b G s-+ 鬃 +=+ 鬃 +()nm()() ()isG s Xs0利用传递函数可以把元件或系统的输出量的拉氏变换写成 X= 2. 关于传递函数的几点说明 1、系统或元件的传递函数，也是描述其动态特性的一种数学模型，它和系统(或元件)的运动方程是相互一一对应的。若给定了系统(或元件)的运动方程式，则与之对应的传递函数便可唯一的确定。 2、传递函数与微分方程一样，是从实际物理系统中抽象出来的，它只反映系统(元件)中输出信号与输入信

3、号之间的变化规律，而不反映原来物理系统(元件)的实际结构。对于许多物理性质截然不同的系统(元件)，可以具有相同形式的传递函数。4、 传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身的参数有关，与外界输入无关。即传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参数所决定，与输入信号和输出信号无关。5、 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所以只适用与单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间变量的变化情况，一个传递函数也无法全面反映。 6、传递函数是描述系统动态特性的一种数学模型，但它是在系统工作在某个相对静止状态时得出的。因此，传递函数原则上不能反映系统在非

4、零初始条件下的全部运动规律。()()()()() ()()() ()01212minXsszszszG sKXsspspsp-鬃 =-鬃 1,2,1,2,ijzimpjn式中 传递函数分子多项式为零的点， 称为传递函数的零点，。 传递函数分母多项式为零的点， 称为传递函数的极点，。=鬃 鬃=鬃 鬃10naab0零点和极点的数值完全取决于系统的参数a和即取决于系统的结构参数。鬃 鬃鬃1、 、 、b、 、, 7、传递函数可以写成零极点表达式 一般地，零点和极点可以为实数或复数。若为复数，必共轭成对地出现，这是因为系统结构参数均为正实数的缘故。把传递函数 的零、极点表示在复平面上的图形，称为传递函数

5、的零、极点分布图，如下图2-7所示。图中零点用”表示，极点用”表示。 图2-7 系统的零极点分布图112-1-1-2-3j 典型环节及其传递函数自动控制系统种类很多，构成环节的类型就其物理本质可能差别很大。但从数学分析的观点看，任何一个复杂的系统都仅有有限的几个典型环节组成。这些典型环节是：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和延时环节。因此，在研究系统动态特性时，熟悉和掌握各种典型环节，有助于我们对复杂的系统进行分析研究。()()oixtKx t运动方程为： =( )G sKK传递函数为： 式中 比例环节的常数，通常称为放大系数或增益。=()()28tti0图所示是数字运算放大器

6、，u为输入电压，u为输出电压。- 图2-8 数字运算放大器R2)(otu)(ituR1( )( )( )021iUsRKUsR其传递函数为：G s = -=()()()()()()1211 1221111issiTTT siT s12222其减速比为：i= 则有： 齿轮副转速的传递函数为： G s在不考虑损耗时，有： 则齿轮副转矩的传递函数为：G swwwwwwww=W=W=121T2T如图所示是齿轮传动副，T1为输入转矩，T2为输出转矩。 2. 惯性环节 输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描述的环节称为惯性环节。其特点是存在一个储能元件，在输入量突然变化时，输出不能立即复现输入。故它的输

7、出量的变化落后于输入量。()()()00idxtxtKx tdt其运动方程为：T+=( )1KTs其传递函数为： G s =+式中 K惯性环节的增益； T时间常数，它和环节的结构参数有关。()()0tu ti例如图 所示的RC电路，u为输入电压，为输出电压。RC)(ti)(itu)(otu( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0000011iiiRi tututduti tCdtdutRCututdtUsG sUsTsTRC其微分方程为： 消去中间变量后，得 通过拉氏变换求得电路的传递函数为： 式中 +=+=+=i例如图2-11 所示为机械转动系统，它由惯性负载和粘

8、性摩檫阻尼器构成，以转矩T为输入量，以角速度 为输出量。w图2-11 机械转动系统()()()()()()111,iidtBtT tdtsKT sJsBTsKB其运动方程式为：J其传递函数为：G sJ式中 T=。Bww+=W=+= 3. 积分环节 输出量与输入量的积分成比例的环节，称为积分环节。其显著特点是输出量取决输入量对时间的积累过程。输入量作用一段时间后，即使输入量消失为零，输出量仍将保持在已达到的数值，故积分环节有记忆功能。1tt0)(tx)(itx)(otxO()()( )1111itx t dtTG sT s01其运动微分方程为：x其传递函数为： 式中 T积分环节的时间常数。= 例

9、：电容器充电的电流i 和电容电压u 的关系为图所示，求传递函数。 例2-13 如图所示的液压缸，如果以流量q为输入量，以活塞的位移x为输入量，并忽略液压缸的泄漏及缸体和油液的弹性。Avqq()( )( )1dxqvdtAX sQ sAs其运动方程式为：式中 v液压缸活塞的运动速度； q流量；液压缸活塞的工作面积。其传递函数为：= A G s 4. 微分环节 输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分环节。()()iDdx ttTdt0其运动方程式为：x=( )DG sT sD其传递函数为： 式中 T微分环节的时间常数。= 当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲函数，这在实际中是不可能的。因此

10、，理想的微分环节不能实现，在实际中用来执行微分作用的都是近似的，称为实际微分环节，其传递函数具有如下形式：( )1DDKT sT s G s =+()()0tRuti为无源微分电路，设电压u为输入量，电阻 两端电压为例图 输出量。RC)(itu)(otu()()()()()()()()()()()0001111DiDtRi ti t dtCtRi ttu tu t dtRCUsT sRCsG sU sRCsT sRCi0iD其运动方程为： u u消去中间变量后，得： u其传递函数为：式中 T=+=+=+= 这个电路的传递函数是微分环节的传递函数与惯性环节的传递函数相乘，所以，实际的微分环节都是

11、具有惯性的。当这个电路的TD=RC1时，可近似得到理想微分环节，即G(s)TDs。RC)(itu)(otu 5. 一阶微分环节和二阶微分环节 一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：( )()()( )()()()2221)iiiiidx tx tdtd x tdx tx tdtdttztztz轾犏+犏臌轾犏+犏臌0D20Dxt =K T xt =K (0式中 T一阶微分环节的时间常数； K比例系数； 二阶微 分环节的时间常数； 二阶微分环节的阻尼比； 相应的传递函数分别为：()()()()2 2121DG sK T sG sKss tzt=+=+ 与微分环节一样，一阶微分环节和二阶微分环

12、节在物理系统中也不会单独出现，在其组成中必然包含有惯性环节或振荡环节。系统中引入一阶微分环节和二阶微分环节主要是用于改善系统的动态品质。R2C)(itu)(otuR1 例2-16 如图2-16所示的无源RC电路，根据基尔霍夫定律和欧姆定律可求得其传递函数为:()()()()()011212112111/;iUsK TsU sT sRRTRC TKT+=+=2G s式中 K=R 。 可见，该电路的传递函数是由比例环节、一阶微分环节及惯性环节组成。 6. 振荡环节 振荡环节包含两种储能元件，并且两种能量能够相互转换。因此，振荡环节的输出带有振荡的性质。()()()()()()20220202221

13、221211innnG sT sTsGd x tdx tTx tx tdtdtssTszzwzwwzzww+=+ 2nn其运动方程为：T其传递函数为：式中 T时间常数；阻尼比，0。 振荡环节另一种常用的标准形式为 式中 无阻尼自然振荡频率，=。 图2-1所示的机械移动系统和图2-3所示的RLC路，当01时，其运动规律可用振荡环节描述。 图2-1 机械移动系统mBk)(tfx 图2-3 RLC电路RLC)(ti)(itu)(otu()()( )( )( )22222221;2nnnd xdxBkxfX stdtF smsBskdtkBmsmskwzwwzw=+=+=n由式 2-2 已知机械移动系

14、统的微分方程为 m通过拉氏变换求的其传递函数为 G s1 式中 = k。mBk)(tfx()()()()()( )( )( )20020201;2/112niid utdutRCutu tdtdtUsUsLCsRCsRLCL Cswzwwzw+=+=+=2n22nn由式 2-6 已知RLC电路的微分方程式为 LC通过拉氏变换求得其传递函数为 G s 式中 =s 。 RLC)(ti)(itu)(otu 7. 延迟环节 延迟环节又称时滞环节、滞后环节等。()()()( )istx te0其运动方程式为：x t 其传递函数为： G s式中 延迟时间tttt-=-= 延迟环节与惯性环节的区别在于:惯性

15、环节从输入开始时刻起就有输出，只是由于惯性，输出要滞后一段才接近于所要要求的输出值；延迟环节从输入开始之初并无输出，但t= 之后，输出就完全等于输入，如图2-17所示。t 图2-17 延迟环节的输入-输出关系 a) 输入信号 b) 输出信号()1,tB例2-18 如图2-18所示为轧制钢板的厚度检测装置，带钢在A点轧出时，产生厚度偏差但是这一偏差直到 点才被检测到。aD()2tA若检测器距A点的距离是L,带钢运动速度为v，则延迟时间 =L/v。检测器检测的钢板厚度偏差与 点taD()()()()121tt- s处的厚度偏差之间有如下关系 =t-其传递函数为 G s =e taaatDDD22(