材料力学扭转习题解

1、1 第三章扭转习题解 习题 3 3- -1 1 一传动轴作匀速转动， 转速n = 200r/min，轴上装有五个轮子，主动轮 IIII 输入 的功率为 60 60 kW，从动轮,I, III , IV , VI, III , IV , V 依次输出 18 18 kW , 12 12 kW , 22 22 kW和 8 8kW。试 作轴的扭图。 解：（1 1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩） 外力偶矩计算（kWkW 换算成 kN.mkN.m） 题目编号 轮子编 V V 轮子作用 功率（kWkW） 转速 r/minr/min Te (kN.m)Te (kN.m) 习题 3 3- -1 1 I I 从动轮

2、 1818 200200 0.8590.859 IIII 主动轮 6060 200200 2.8652.865 IIIIII 从动轮 1212 200200 0.5730.573 IVIV 从动轮 2222 200200 1.0511.051 V V 从动轮 8 8 200200 0.3820.382 （2 2）作扭矩图 习题 3 3- -2 2 一钻探机的功率为 l0kWl0kW，转速n=180r/min。钻杆钻入土层的深度I =40m。 如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度 m ,m ,并作钻杆的扭矩 图。 解：（1 1）求分布力偶的集度 m Nk 10 Me =9

3、.549 k =9.549 0.5305（kN m） n 180 设钻杆轴为x轴，则：，Mx=0 ml =Me0.5305 40 = 0.0133(kN /m) 0 8 预播版 T图（kN.m） 习咂3 W 图 2 （2 2）作钻杆的扭矩图 Me T (x) = mx = x =-0.0133x。0,40 T(0)=0 ; T(40) = Me =-0.5 305kN m) 扭矩图如图所示。 习题 3 3- -3 3圆轴的直径d=50mm，转速为 120r/min120r/min。若该轴横截面上的最大切应力等于 6060MPa，试问所传递的功率为多大？ 解：（1 1）计算圆形截面的抗扭截面模量

4、： 1 3 , 3、 = 3.14159 503 = 24544(mm3) T =60N/mm2 24544mm3 = 1472640N mm = 1.473(kN m) (3)(3)计算所传递的功率 Nk T = M e =9.549 k n Nk =1.473 120/9.549 =18.5(kW) 习题 3 3- -4 4空心钢轴的外径 D = 100mm，内径d =50mm。已知间距为I = 2.7m的两横截 面的相对扭转角 中=1.8o ,材料的切变模量 G =80GPa。试求: （1 1） 轴内的最大切应力； （2） 当轴以n=80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1

5、 1）计算轴内的最大切应力 1 4 4 Ip = D4（1 - ： 4） p 32 1 W D3（1-：4） p 16 式中，a =d /D。 GIp 1 3 W d3 p 16 (2)(2)计算扭矩 T = - max Wp 2 =60N / mm = 1.473(kN m) 1 _ _ 4 _ 4 _ 4 = 3.14159 1004 (1 -0.54) =9203877(mm4)。 1 = 3.14159 1003 (1 -0.54) =184078(mm3) 3 1.8 3.14159/180 80000N / mm2 9203877mm4 2700mm = 856301445N mm

6、4 = 8.563(kN m) (2)当轴以n=80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率 T =Me =9.549冬 =9.549 也 =8.563(kN m) n 80 Nk =8.563 80/9.549 =71.74(kW) 习题 3 3- -5 5实心圆轴的直径d = 100mm,长I =1m ,其两端所受外力偶矩 Me =14kN m , GI 1 , 1 式中，IP =特和4 =*3.141591004 =9817469(mm4)。故： T I 14000N m 1m o = - 9 2 12 =0.0178254(rad ) =1.02 GI p 80 109 N/m2 981

7、7469 10 m4 p (2)(2) 求图示截面上 A A、B B、C C 三点处切应力的数值及方向 A = B = max - 71.30 2M P a 由横截面上切应力分布规律可知: 1 c C B =0.5 71.302 =35.66MPa 2 A A、 B B、 C C 三点的切应力方向如图所示。 (3)(3) 计算 C C 点处的切应变-max T wp 8563014.45N mm 184078mm3 = 46.518MPa 材料的切变模量 G =80GPa。试求： (1)(1) 最大切应力及两端面间的相对转角； (2)(2) 图示截面上 A A、B B、C C 三点处切应力的数

8、值及方向; (3)(3) C C 点处的切应变。 解：(1)(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角 -max Me Wp Wp =【二d3 16 1 3.1 1 3 =1 max Me Wp 14 106N mm 196349mm3 = 71.302MPa 3、 4mm ) 。05 = 35.66MPa =4.4575 10 x , 0.446 10 G 80 10 MPa 解：(1)(1)计算最大工作切应力 习题 3 3- -6 6图示一等直圆杆，已知 d =40mm, a = 400mm, G=80GPa, DB =1o。试 求: (1)(1) 最大切应力； (2)(2) 截面 A A

9、相对于截面 C C 的扭转角。 解：(1)(1)计算最大切应力 从 ADAD 轴的外力偶分布情况可知： T AB = TCD =Me , TBC =0。 ；DB Tili =瓦 TDC l DC TCB GI p GI p leB Me a a GI p GIp Mea GI p 式中, IP =rd4 32 1 4 4 =反3.14159乂404 =251327(mm4)。故: Me 80000N/mm2 251327mm4 3. = 877296N mm 180 400mm max Me Wp 一 1 Q 1 Q Q 式中，Wp =叼 =一尺3.14159尺40 =12566(mm )。故

10、: p 16 16 max Me 877296N mm 八 69.815M P a 12566mm3 Wp (2)(2)计算截面 A A 相对于截面 C C 的扭转角 :, . Tili _ TAB IAB . TBC l BC Me 2a 0 a AC - 二 二 -二 GI p GIp GI p GI p GI p 2M ea GIp = 2B =2o 习题 3 3- -7 7某小型水电站的水轮机容量为 50 50 kW，转速为 300r/min300r/min，钢轴直径为 75mm,75mm,若 在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力 7 =20MPa。试校核轴的强度。 习通3 4

11、4 图图 6 max 蚂=工 WpWp s Nk 50 式中，Me =9.549 k =9.549 - n 300 = 1.592(kN m)； 7 (2)(2)强度校核 因为Emax =19.219MPa ,住=20MPa，即7max勺小，所以轴的强度足够，不 会发生破坏。 习题 3 3- -8 8已知钻探机钻杆(参看题 3 3- -2 2 图)的外径D =60mm，内径d =50mm,功率 P =7.355kW，转速 n =180r/min ,钻杆入土深度 I =40m ,钻杆材料的 G =80GMPa , 许用切应力 也=40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： (1)

12、(1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 m m ； (2)(2) 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； (3)(3) 两端截面的相对扭转角。 解：(1)(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 m Nk 7.355 Me =9.549 k =9.549 - = 0.390(kN m) n 180 设钻杆轴为x轴，则：Z Mx = 0 ml = M e M e 0.390 m e = - = 0.00975(kN / m) l 40 (2)(2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核 作钻杆扭矩图 一、 0.39 T(x)=mx = - x =0.00975x。 x 0,40 40 T (0) = 0 ；

13、 T (40) = M e = 0.390(kN m) 扭矩图如图所示。 强度校核 Me 式中，Wp = 2二D3(1 - ： 4) = 1 3.14159 603 1 - (里)4 = 21958(mm3) p 16 16 60 因为max =17.761 MPa , 7 = 40MPa，即a,所以轴的强度足够，不故: 1 3 1 3 Wp = ：d3 = 3.14159 753 p 16 16 =1 2 5 0(mm3)。 -max Me W 1592000N mm _ 3 82835mm = 19.219MPa max Wp max Me Wp 390000N mm _ 3 21958m

14、m =17.761MPa 8 会发生破坏。 (3)(3) 计算两端截面的相对扭转角 40T(x)dx 0 GIp 1 4 4 1 4 50 4 4. 式中，I p = 二D4(1 - ： 4) = 一 3.14159 604 1-(一)4 =658752(mm4) p 32 32 60 2 40 0.00975 x “O 、0.00975xdx = - 6 - 2 - J240 ) 80 106kN/m2 658752 10J2m 2 = 0.1 4 8r ad 点8.5 习题 3 3- -9 9图示绞车由两人同时操作， 若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F F 均为 0.2kN, 0.2k

15、N, 已知轴材料的许用切应力也=40MPa，试求： (1)(1) ABAB 轴的直径； (2)(2) 绞车所能吊起的最大重量。 解：(1)(1)计算 ABAB 轴的直径 ABAB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等： Me =Me右=0.20.4 = 0.08(kN m) M e主动轮 =2M e右=0.16(kN m) 扭矩图如图所示。 由 ABAB 轴的强度条件得: max M拓 一 Wp 16M e右 二d3 16M e右 d 药 - e 3： 16X80000N mm -3.14159 40N/mm2 =21.7mm (2)(2)计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮

16、之间的啮合力相等: Me主动轮_ M e从动轮 0.2 0.35 Me从动轮 0.35 = 0.16 =0.28(kN m) 0.20 由卷扬机转筒的平衡条件得: P 0.25= Me从动轮 P 0.25=0.28 P =0.28/0.25 =1.12(kN) 40|T(x)|dx 1 GIp =瓦 DP 习习题题 3 93 99 10 6 106 N mm 1000mm 50mm = 81487.372MPa =81.4874GPa , E 小 E 210 由 G= - 得：v=1 = - 1=0.289 2（1 、） 2G 2 81.4874 习题 3 3- -1111直径d =25mm的

17、钢圆杆，受轴向拉 60kN60kN 作用时，在标距为 200mm200mm 的长度内 伸长了 0.113mm0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩 Me =0.2kN，m时，在标距为 200mm200mm 的长度 内相对扭转了 0.732 0.732 o的角度。试求钢材的弹性常数 G G、G G 和 V V。 2 2 216447.8MPa = 216.448GPa 0.25 3.14 252 mm1 2 0.113mm (2)(2)求剪切弹性模量 G G 1 , 1 Ip =d4 =殄 3.14159 254 =38349(mm4) Z _ _ _ 4 Z 2 613592mm 3mm 习

18、题 3 3- -1010直径d =50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶 M e = 6kN m ,而在 圆杆表面上的 A A 点将移动到 A Ai点，如图所示。已知 As=AA1=3mm,圆杆材料的弹性模 量E=210GPa，试求泊松比v （提示：各向同性材料的三个弹性常数 E E、G G、v间存在如 下关系：G =-一。 2（1 ） 整根轴的扭矩均等于外力偶矩： T = Me =6kN，m。设O,O两截面之间的相对对转 角为，则As = ? d，中 习霆3 图 式中, 1 1 I p d 3.14159 50 p 32 32 = 613592(mm4) 解：(1)(1)求弹性模量 -

19、Nl l EA E0 A、l 60000N 200mm 由=旦 GI P 得: 11 0.2 106 N mm 200mm 4 =81684.136MPa=81.7GPa (0.732 3.14/180) 38349mm4GY 12 (3)(3)泊松比、: 由由 G= 得：得：v = =互互= =216.448 1 =0.325 2(1 . ) 2G 2 81.684 习题 3 3- -1212长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同, d 受力情况也一样。头心轴直径为 d;d;仝心轴的外径为 D,D,内径为 do,do,且=0.8。试求当 D 比和刚度比。 解：(1

20、)(1)求空心圆轴的最大切应力，并求 D D。 T 1 3.、 4.- Wp =兀D3(1 _a4),故： p 16 =3 质= 27 = 二D (1-0.8 ) 二D D=q 二 (1)(1) 求实心圆轴的最大切应力 二 -=1.69375 16T D -=1.192 d (3)(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力 3 max= k ),扭矩T相等时的重量 max Wp 式中, max,实 d/ max,空 3 27.1T 二 W空 _ 0.25二(D1 2 3 M) l W实 0.25 d2 l 2(1 -0.82) =0.36(卫)2 d =

21、 0.36 1.1 92 =0.5 1 2 习题习题3 图图 13 dx = - du d 2 - d 故 (4)(4) 求空心圆轴与实心圆轴的刚度比 1 I 兀 D4(1 0.84) =0.01 845D4 ” 32 1 4 4 44GIp空 4 =0.01845一D4 = 0.5904(D)4 = 0.59 04 1.1924 =1.192 习题 3 3- -1313 全长为l ,两端面直径分别为 d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩 Me ,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。 解：如图所示，取微元体 dx,则其两端面之间的扭 转角为： GI P . 1 4 式中,IP = d

22、 P 32 r - r _ x d2 d1 d1 x r1 = - x 2l 2 2r d2 - d1 x d1 d4 二二( ( d2 一 d1 x d1)4 = u du d2 dx 14 ： ,=l M edx _ M e l dx _ M e I 32dx 32M e l1 l du 32Mel 1 du -0 GIp - G 0一6。二 d4 一G 0u4 d2-d 一 二G0 - d)0 u415 32M el 1 du - - 4 -：G(d2 - di) 0 u 32Mel i 32 Mel - - 3 0 = 一 - ：G(d2-di) 3u 3 二 G(d2 -di) 1

23、d 3 - x + d i I l J 32Mel 1 1、 32M el r刀3刀3飞 d1 d2 32Mel &+d1d2+d； 3咱(d2 _d) d3 一 3相。d2） .3,3 I d1 d2 ) 3rG .3.3 d1 d2 , 0 习题 3 3- -1414 已知实心圆轴的转速 n = 300r/min，传递的功率p = 330kW，轴材料的许用 切应力T =60MPa，切变模量G =80GPa。若要求在 2m2m 长度的相对扭转角不超过 1, 试求该轴的直径。 n 180 T 1 解：=二 GIp Me1 瓦 式中，M e =9.549里 二臼彳必330 =10.504

24、(kN m) ； Ip=【Rd4。故: n 300 p 32 | 180 M e1 1 丸 32 顼，32 180M el 32 180 10.504 106N mm 2000mm d _4 - 2 e 4 - 2 2 111.292mm 二2G 3.142 80000N/mm2 取 d =111.3mm。 习题 3 3- -1515图示等直圆杆，已知外力偶MA=2.99kNm , M 7.20kN m , Me =4.21kN m ,许用切应力句=70MPa ,许可单位长度扭转角 =1/m,切变模 量G = 80GPa。试确定该轴的直径 d。 解：（1 1）判断危险截面与危险点 作AC轴的扭

25、矩图如图所示。 因最大扭矩出出在 Be Be 段，所以危险截面出现在 BeBe 段, 危险点出现在圆周上。 （2 2）计算危险点的应力（最大工作切应力） ，并代入剪 切强度条件求d o 16TBC 3 16 4.21 106 N mm 3.14 70N / mm2 =67.42mm 16 (3)(3)计算最大单位长度扭转角 (出现在 BCBC 段)，并代入扭转刚度条件求 d o 4 4.21 .21 B a a ra a r(4)(4)确定d值 d - max( d 1,d2) =74.4(mm) 习题 3 3- -1616阶梯形圆杆，AEAE 段为空心，外径 D =140mm，内径d = 1

26、00mm ； BCBC 段为实 心，直径 d =100mm。夕卜力偶矩 MA=18kN m , MB=32kN m , MC=14kN m , 许用切应力E =80MPa，许可单位长度扭转角 =1.2/m ,切变模G=80GPa。试 校核该轴的强度和刚度。 解：(1) AB(1) AB 段的强度与刚度校核 TAB = -M A = - 18kN m 1 3 41 3 100 4 3 式中，Wp =D (1-： ) 3.14159 140 1 -( ) = 398533(mm ) p 16 16 140 I T | 18 * 106 N ，mm MAB =戒=398533 =45.166MPa

27、=80MPa 符合度条件。 |TAB I 180 AB - - - - l GIp 二 1 4 4 1 4 100.4 4、 式中，I p = D (1 - - ) 3.14159 140 1 -( ) = 27897319(mm ) da 32x1807 _32xl80 x4.21xl护 n2G Px80 xlC =0.0744 m = 74.4 mm max,AB Wp 71 T/kN.m 里1 习碧3 16图 17 32 32 14018 1 1 式中，=$和4 =* 3.14159 1004 =9817469(mm4) 14000N m 180 Z9 2 712 4 Z 80 109N

28、/m2 9817469 10 m4 3.14 符合刚度条件。 综合（1 1）、（2 2）可知，该轴符合强度与刚度条件。 习题 3 3- -1717习题 3 3- -1 1 中所示的轴，材料为钢，其许用切应力 G =80GPa，许可单位长度扭转角中=2.5 / m。试按强度条件及刚度条件选择圆轴的 直径。 解：（1 1）由强度条件选择直径 轴的扭矩图如图所示。因为最大扭矩出现在 IIII、IIIIII 轮之间，所以危险截面出现在 此段内，危险点在此段的圆周上。 16 2.006 106N mm 2 3.14 20N /mm （2 2）由刚度条件选择直径 max TII顷 Wp 16TJII 二d

29、3 :|TAB | 180 AB = - - l GI p 二 18000N m 180 9 2 12 4 80 10 N /m 27897319 10- m 3.14 = 0.462(/m) : =1.2/m 符合刚度条件。 （2 2） BCBC 段的强度与刚度校核 TBC =MC =14kN m 1 3 1 3 3 式中，Wp=二d3 3.14159 1003 =196349(mm3) p 16 16 TBC 14 106 N mm TBC 180 l 一 GI p 二 _ TBC 180 T GT7 = p =1.02(/m) : =1.2/m T = 20MPa ,切变模 =80mm

30、：16TII 4II -3 二 19 71 20 T 1800 T 32 1800 r = - 4 - GI p 二 G二d 二 p 2.006 103 32 1800 - 9 4 - J2 - 80 10 二d 二 10 2.006x1x32x180* 8xl01OKdf4-JTX10-12 =0,27 /m j2.0Q6x32xl80 xl05 V 8xl0lffX7tJx0.25 =87.5mm 故选用才二87,5mm 。 习题 3 3- -18 18 一直径为 d d 的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶 Me后，测得圆杆表面与纵 向线成450的方向上的线应变为 &。试导出以Me

31、 e , d, d 和8表示的切变模量 G G 的表达式。 解：圆杆表面贴应变片处的切应力为 虬 16虬 习典3-18图 圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（ a a）。 切应 _ _ 16 虬 变 1 1 ? 77? 77 1 1） 对角线方向线应变： CU CCfcos45B E - = - I I _ Y cos45 cos45 a y / y = 2F 式（2 2）代入（1 1） ) C C 图（a） (2)(2) 981.25N 21 G籍 nd E 习题 3 3- -1919有一薄壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为 1m,作用 在轴两端面内的外力偶矩为 180kN，

32、m。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。已 知材料的切变模量 G = 80GPa 。 解：（1 1）求管中的最大切应力 180 xl0?xl50 xl0 32x180 妇 50 x10” - i - ； -= - 5 - = 65,5 MPa 兀(300, - 250，) x 10-i2 Ji x42 x 103 32 * 习题 3 3- -2020 一端固定的圆截面杆 ARAR 承受集度为 m的均布外力偶作用，如图所示。试求 杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为 G G。 习题 3 3- -2121簧杆直径d =18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧， 受拉力F =0.5kN作用，弹簧的 平均

33、直径为D = 125mm,材料的切变模量 G=80GPa。试求： （1 1）簧杆内的最大切应力; (2)(2) 为使其伸长量等于 6mm所需的弹簧有效圈数。 6FR D 125 e 匚 成二k c =-6.95 解： ， d 18 ;牝+ 2 4x6.95 + 2 27.7 小 =4C-3 = 4X6.95-3= 247 =180 xl80 xl0flxl 2x8xW10 /（30 一2虾） 32 = 0.491 kN m 解: T2(x)dx 2GIp 疽2 m x dx -1 _ ,4 G d 32 2 2 , 16m x dx 二d 4G 2 2 3 2 3 2 3 16m l 2 16

34、m l m l m l V = 4 x dx = - 4= - = - 二d G 0 3d G A 1.4 6GI p 6 d G p 3-20 图 22 I R 16XOJ5X103X62.5X10-3 磁T2 因为D/d =200/10 = 20 a 10,所以上式中小括号里的第二项，即由Q 所产生的剪应力可以忽略不计。此时 16R2(1 ) TTX(18)3X10 因为 1000 64X0.5X103 X(62.5)5X10 6x8xl0.55xl03 “ n - r = O.J 64x0.5x2.44xW5 圈 习题 3 3- -2222 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 F F 如图

35、，簧丝直径d=10mm,材料的许 用切应力丁 =500MPa，切变模量为 G弹簧的有效圈数为 n。试求： ( (1)1)弹簧的许可切应力; (2)(2)证明弹簧的伸长 睿睿 5)(R2 解：(1)(1)求弹簧的许可应力 用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离 体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上： 剪力Q = F 扭矩T = FR 最大扭矩：Tmax = FR2 max 2 9.里=止.迎=些乏 A Wp 二 d2 二d3 二 d 4R2 F= 二d3 16R2(1 ) 4R2 3.14 103mm3 500N/mm2 957.3N 10mm 、 = 32.8 MPa 3.14 103m

36、m3 500N / mm2 16 100mm 981.25N 23 4R224 0?=。294/= 0.346= 0858 /t = 0.294 x604 xl0-12 = 331xl01n4 = 0.346 x 603 XW3 = 74.7 x 10 m3 (2)(2)证明弹簧的伸长 16Fn 4 Gd4 （Ri +R2）（R2+R；） . 1 1 _ _ 外力功：W = W = FA , 2 _ 2 _ dU =T （R d ） 2GIp 2E（FR）2（Rd：） F2 2- 3 F2 立 R2-Ri U = - = - R d- = - R1 - 0 2G2G0 2GIp 0 2n 2

37、4 4 F 二 n R2R 4GIp R2 - Ri W =U 1 l F2F R； -R4 -F L = - 4 4 F 二 n R2 - R4 = - - 16Fn G 二d4 2 2 （R12 R；） （R R2） 习题 3 3- -2323图示矩形截面钢杆承受一对外力偶 M G =80GPa,试求： (1)(1) 杆内最大切应力的大小、位置和方向； (2)(2) 横截面短边中点处的切应力； (3)(3) 杆的单位长度扭转角。 60 L5 由表得 981.25N 25 二 40.2MP&3Me 26 max max 1 2 厂3 3 3 0.2 106 N mm 10mm 2 120 103 =25MPa (2)(2)求单位长度转角 1 c cc c 3 = 1.15 2 120 10 3 _ 4 = 92000(mm ) ：=工 1800 GIi 0.2 103N m 1800 80 109 N/m2 92000 10m4 3.14 = 1.56/m 习题 3 3- -2525图示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶 切应力司=60MPa。试求： M e。材料的许用 (1)(1)