第3章静定结构的受力分析

1、第3章 静定结构的内力分析3-1 杆件内力计算3-2 静定梁3-3 静定刚架3-5 静定桁架3-4 三铰拱3-6 静定结构的内力分析和受力特点本章讨论静定结构。本章讨论静定结构。 内容：静定结构的内力分析。内容：静定结构的内力分析。 静定结构分析的要点：静定结构分析的要点：1 1、如何选择、如何选择“好的好的”隔离体；隔离体；2 2、怎样建立比较简单而又恰当的平衡方程，、怎样建立比较简单而又恰当的平衡方程，计算最为简捷。计算最为简捷。第第3 3章章 静定结构的内力分析静定结构的内力分析基本理论：隔离体、平衡方程。基本理论：隔离体、平衡方程。 对基本原理，困难不在于理解，而在对基本原理，困难不在

2、于理解，而在于运用；不在于知识，而在于能力。于运用；不在于知识，而在于能力。 提高在四个方面：提高在四个方面： （1 1）从单杆分析（梁、简单桁架）到）从单杆分析（梁、简单桁架）到杆系分析，即复杂的静定结构。杆系分析，即复杂的静定结构。 （2 2）从静力分析与构造分析的内在联）从静力分析与构造分析的内在联系中，找出结构静力分析的规律。系中，找出结构静力分析的规律。 （3 3）在静力分析的基础上，找出结构）在静力分析的基础上，找出结构的受力性质与合理形式，（总结、优化和的受力性质与合理形式，（总结、优化和创新）。创新）。 第第3章章 静定结构的内力分析静定结构的内力分析3-1 杆件内力计算1.

3、截面的内力分量及其正负号规定截面的内力分量及其正负号规定 轴力轴力FN以拉力为正以拉力为正 剪力剪力FQ以绕微段隔离体顺时针转者为正以绕微段隔离体顺时针转者为正 弯矩弯矩M弯矩图的纵坐标画在杆件受拉纤维一边，弯矩图的纵坐标画在杆件受拉纤维一边， 不标正负号不标正负号轴力轴力=截面一边的所有外力沿杆轴截面一边的所有外力沿杆轴切线切线方向的投影代数和。方向的投影代数和。剪力剪力=截面一边的所有外力沿杆轴截面一边的所有外力沿杆轴法线法线方向的投影代数和。方向的投影代数和。弯矩弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。2. 截面法：将杆件在指定截面切开，

4、取其中一部分为隔离体，利截面法：将杆件在指定截面切开，取其中一部分为隔离体，利 用平衡条件，确定此截面的三个内力分量。用平衡条件，确定此截面的三个内力分量。截面法BBAACCCFAx FAxFByFByFAyFAyFNCFNCFQCFQCMCMC3. 荷载与内力之间的微分关系：如图，由平衡条件可导出荷载与内力之间的微分关系：如图，由平衡条件可导出0yF ( )0QQQFdFq x dxF( )QdFq xdx -()()022QQQdxdxMMdMFFdF22( )QdMd MFq xdxdx O0M yMMdMxq(x)dxoQFQQFdFQdFq xdx （ ）22( )d Mq xdx

5、1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分布荷载的集度，但正负号相反。2）弯矩图上某点切线的斜率等于该点的剪力。3）弯矩图上某点的曲率等于该点的横向分布荷载的集度，但正负号相反。小结：QdMFdx剪力、弯矩与外力间的关系剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q向上q向下FQ图图特特征征M图图特特征征CFCm水平直线xFQ 0FQ 0 x斜直线增函数xx降函数xC自左向右突变xC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM凸状xM凹状自左向右折角 与m反xM折向与F反向MxM1M2mMM214.荷载与内力之间的积分关系：如图，从直杆中取出荷载连荷载与内力之间的积分关系：

6、如图，从直杆中取出荷载连 续分布的一段，由积分可得：续分布的一段，由积分可得：BABABAxxABxxyABxxxABxFMMxqFFxqFFdddQQQNN积分关系的几何意义：积分关系的几何意义：B端的剪力端的剪力=A端的端的剪剪力力-该段荷载该段荷载qy图的面积图的面积B端的弯矩端的弯矩=A端的弯矩端的弯矩+此段剪力图的面积此段剪力图的面积QdFq xdx （ ）QdMFdx5. 分段叠加法作弯矩图分段叠加法作弯矩图图图(a)结构荷载有两部分：结构荷载有两部分：跨间荷载跨间荷载q和端部力偶和端部力偶MA、MB端部力偶单独作用时，弯端部力偶单独作用时，弯矩图为直线，如图矩图为直线，如图(b)

7、:跨间荷载跨间荷载q单独作用时，弯单独作用时，弯矩图如图矩图如图(c):总弯矩图为图总弯矩图为图(b)基础上叠加图基础上叠加图(c)，如图，如图(d):弯矩图的叠加指纵坐标的叠加，弯矩图的叠加指纵坐标的叠加，不是图形的简单拼合。不是图形的简单拼合。2081qlM任意直段杆的弯矩图：以任意直段杆的弯矩图：以(a)中的中的AB端为例，其隔离体如图端为例，其隔离体如图(b)。 与图与图(c)中的简支梁相比，中的简支梁相比，显然二者的弯矩图相同。显然二者的弯矩图相同。因此：作任意直杆段弯矩图因此：作任意直杆段弯矩图 就归结为作相应简支就归结为作相应简支 梁的弯矩图。梁的弯矩图。AB段的弯矩图如图段的弯

8、矩图如图(d)。2081qlM例例3-1 试作图示简支梁的内力图。试作图示简支梁的内力图。解：解：（1）作剪力图）作剪力图kN17RAQA FFRQkN-8kN9kN17BF -7kN4kN4-8kN-kN17QEF点右侧截面的剪力BRQBF25. 2794CHCHCH3-2静定梁一.单跨静定梁（2）作弯矩图）作弯矩图m)kN(717m)kN(231617m)kN(301627m)kN(268217m)kN(17117RLFFECBMMMMM CE段有均布荷载，段有均布荷载，利用叠加法作弯矩图利用叠加法作弯矩图D截面的弯矩值为：截面的弯矩值为：)mkN(36230268442DM由数学计算：由

9、数学计算：CE段段Mmax=36.1kNma图为一受均布荷载作用的杆段ik公路桥使用的静定多跨梁公路桥使用的静定多跨梁计算简图为计算简图为梁梁AB和和CD直接由支杆固定于基础，是几何不变的直接由支杆固定于基础，是几何不变的基本部分基本部分短梁短梁BC依靠基本部分的支撑才能承受荷载保持平衡依靠基本部分的支撑才能承受荷载保持平衡附属部分附属部分二 静定多跨梁木檩条构造木檩条构造静定多跨梁静定多跨梁计算简图计算简图支撑关系支撑关系静定多跨梁的组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分静定多跨梁的组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分檩条接头处采用斜搭接檩条接头处采用斜搭接的形式，并用螺栓系紧的形式，

10、并用螺栓系紧在竖向荷载作用下 多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力力作用在基本部分时附属部分不受力，力作用在作用在基本部分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部分都受力。附属部分时附属部分和基本部分都受力。 但为了避免解联立方程，应先算附属但为了避免解联立方程，应先算附属 部分，再算基本部分。部分，再算基本部分。静定多跨梁的计算原则：先计算附属部分，后计算基本部分静定多跨梁的计算原则：先计算附属部分，后计算基本部分例例3-2 试作图示静定多试作图示静定多 跨梁的内力图。跨梁的内力图。 基本部分与附属基本部分与附属部分间的支撑关系部分间的支撑关

11、系计算时拆成单跨梁计算时拆成单跨梁先计算附属部分先计算附属部分FD，再计算梁，再计算梁DB，最后计算梁，最后计算梁BA。3-3 静定平面刚架梁与柱的联结处在构造上为刚性联结，称为刚结点1. 刚架的特点：结点全部或部刚架的特点：结点全部或部 分是刚结点，结构内部有较分是刚结点，结构内部有较 大的空间。大的空间。图图(a)为简支梁的弯矩图，为简支梁的弯矩图，图图(b)为刚架的弯矩图，为刚架的弯矩图，在相同荷载作用下，刚架在相同荷载作用下，刚架横梁跨中弯矩峰值减小横梁跨中弯矩峰值减小。（1 1）、刚架的内部空间大，便于使用。）、刚架的内部空间大，便于使用。（2 2）、刚结点将梁柱联成一整体，增大了结

12、构）、刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。的刚度，变形小。（3 3）、刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。）、刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。因此，有结论：因此，有结论：3-3 3-3 静定平面刚架静定平面刚架3-3 静定平面刚架2. 刚架的支座反力刚架的支座反力图示三铰刚架有四个未知反力图示三铰刚架有四个未知反力整体平衡方程求整体平衡方程求FyA 和和FyB)(20)(2022lqfFMlqfFMyBAyAB3-3 静定平面刚架利用右半边刚架作隔离体，则利用右半边刚架作隔离体，则)(430)(40qfFFqfFMxAxxBC3-3 静定平面刚架图示刚架为多跨刚架图示刚架为多

13、跨刚架刚架的组成次序为：刚架的组成次序为：先固定右边，再固定左边先固定右边，再固定左边计算反力的次序应为：计算反力的次序应为：先算左边，再算右边先算左边，再算右边考虑考虑GE部分部分)kN(30 xGEFM)kN(300)kN(20)kN(10yBAyABxAxFMFMFF再考虑整体平衡再考虑整体平衡01224qFFPxG3-3 静定平面刚架3. 刚架中各杆的杆端内力刚架中各杆的杆端内力截面法截面法图图(a)刚架取三个隔离体刚架取三个隔离体如图如图(b)、(c)、(d)对三个隔离体应用平衡条件得对三个隔离体应用平衡条件得(下边受拉）(右边受拉）(左边受拉）mkN20kN40mkN15kN5kN

14、4mkN5kN50QNQNQNDCDCDCDBDBDBDADADAMFFMFFMFF3-3 静定平面刚架校核：结点校核：结点D的三个平衡条件的三个平衡条件0055xF0440yF020155M3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架校核：3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架取D结点进行校核：3-3 静定平面刚架门式刚架门式刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架3-4 三铰拱3-4 三铰拱拱结构的特点是：杆轴

15、为曲线，而且在竖向荷载作杆轴为曲线，而且在竖向荷载作用下拱主要产生轴向压力，支座将产生水平推力。用下拱主要产生轴向压力，支座将产生水平推力。 拱结构最高的一点称为拱顶，三铰拱的中间铰通常拱结构最高的一点称为拱顶，三铰拱的中间铰通常是安置在拱顶处。拱的两端与支座联结处称为拱趾，或是安置在拱顶处。拱的两端与支座联结处称为拱趾，或称拱脚。两个拱趾间的水平距离称拱脚。两个拱趾间的水平距离L L称为跨度。拱顶到两称为跨度。拱顶到两拱趾连线的竖向距离拱趾连线的竖向距离f f称为拱高，或称拱矢。如图所示。称为拱高，或称拱矢。如图所示。拱高与跨度之比拱高与跨度之比f/Lf/L称为高跨比或矢跨比称为高跨比或矢跨

16、比, ,通常控制在通常控制在1/101/101 1的范围内的范围内 。3-4 三铰拱拱的特点：拱的特点： 在竖向荷载作用下有水在竖向荷载作用下有水平反力或称推力，如图平反力或称推力，如图(a)。图图(b)为有拉杆的三铰拱，为有拉杆的三铰拱，推力就是拉杆内的拉力。推力就是拉杆内的拉力。3-6 三铰拱1. 三铰拱的支座反力和内力三铰拱的支座反力和内力（1）支座反力计算）支座反力计算 图图(a)所示三铰拱有四个支座反所示三铰拱有四个支座反 力，拱的整体平衡求竖向反力。力，拱的整体平衡求竖向反力。)(10)(1022P11PV22P11PVaFaFlFMbFbFlFMBAAB图图(b)为跨度和荷载都为

17、跨度和荷载都与三铰拱相同的简支梁与三铰拱相同的简支梁0VBVB0VVFFFFAA3-6 三铰拱fdFlFFA11P1VHfMFC0H显然显然0111lFdFfFVAPHA由由M MC C=0=0，考虑铰，考虑铰C C左边所有外力左边所有外力HBHAFF3-6 三铰拱（2）内力计算：试求指定截面）内力计算：试求指定截面D的内力的内力图图(c)为简支梁相应截面为简支梁相应截面D左边的隔离体，左边的隔离体，图图(d)为三铰拱截面为三铰拱截面D左边的隔离体，可得左边的隔离体，可得x1a)(.1100axFxFMPVAyFaxFxFMHPVA)(.11xyFMMH0即：3-6 三铰拱由图由图(e)得得D

18、截面剪力和轴力为截面剪力和轴力为cossinsincosH0QNH0QQFFFFFF3-6 三铰拱（3）受力特点）受力特点 竖向荷载作用下，梁没有水平反力，而拱则有推力。竖向荷载作用下，梁没有水平反力，而拱则有推力。 由于有推力，三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小。由于有推力，三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小。 竖向荷载作用下，梁截面没有轴力，而拱截面有较大的轴向压力。竖向荷载作用下，梁截面没有轴力，而拱截面有较大的轴向压力。3-6 三铰拱例例3-3 图示三铰拱的轴线为抛物线：图示三铰拱的轴线为抛物线： 试求支座反力，并绘制内力图。试求支座反力，并绘制内力图。)(42xlxlfy5kN3-6

19、 三铰拱3-6 三铰拱3-6 三铰拱3-6 三铰拱3-6 三铰拱3-6 三铰拱3. 三铰拱的合理轴线：固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的三铰拱的合理轴线：固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的 轴线轴线,各截面各截面 的剪力也为零，只受轴力的作用。此时，任一的剪力也为零，只受轴力的作用。此时，任一截面上正应力分布将是均匀的，因而拱体材料能够得到充分截面上正应力分布将是均匀的，因而拱体材料能够得到充分地利用。地利用。H0H0)()(0FxMxyyFMM竖向荷载作用下，三铰拱合理轴线的纵坐标竖向荷载作用下，三铰拱合理轴线的纵坐标与简支梁弯矩图的纵坐标成正比。与简支梁弯矩图的纵坐标成正比。yFMMH00

20、0yFMH求导得：00tgFFHQ0sincos0HQFF=0任意截面弯矩：任意截面弯矩：3-6 三铰拱例例3-12 试求图示三铰拱的合理拱轴线。试求图示三铰拱的合理拱轴线。解解 合理拱轴线合理拱轴线H0FMy )(42xlxlfy图图(b)简支梁的弯矩为简支梁的弯矩为)(20 xlxqM拱的推力为拱的推力为fqlfMFC820H三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理拱轴三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理拱轴线为一抛物线，因此房屋建筑中拱的轴线常用抛物线。方线为一抛物线，因此房屋建筑中拱的轴线常用抛物线。方程中拱高程中拱高f没有确定，具有不同高跨比的一组抛物线都是合没有确定

21、，具有不同高跨比的一组抛物线都是合理拱轴线。理拱轴线。3-5 静定平面桁架武汉长江大桥武汉长江大桥1桁架的特点和组成桁架的特点和组成 由杆件组成的格构体系，由杆件组成的格构体系， 荷载作用在结点上，荷载作用在结点上， 各杆内力主要为轴力。各杆内力主要为轴力。钢筋混凝土组合屋架钢筋混凝土组合屋架武汉长江大桥采用的桁架形式武汉长江大桥采用的桁架形式优点：重量轻，受力合理，能承受较大荷载，可作成较大优点：重量轻，受力合理，能承受较大荷载，可作成较大 跨度。跨度。 桁架内力计算时的假定桁架内力计算时的假定（1）桁架的结点都是光滑的铰结点）桁架的结点都是光滑的铰结点（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心

22、）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心（3）荷载和支座反力都作用在结点上）荷载和支座反力都作用在结点上桁架的计算简图桁架的计算简图 桁架桁架(a)中的任意杆件，中的任意杆件，只在两端受力，只在两端受力，CD只受轴力作用只受轴力作用平面桁架的分类平面桁架的分类（1）简单桁架）简单桁架 由基础（图由基础（图(b)）或一个基本铰接三角形（图）或一个基本铰接三角形（图(a)）开始，每次）开始，每次 用不在一条直线上的两个链杆连接一个新结点而组成的桁架。用不在一条直线上的两个链杆连接一个新结点而组成的桁架。（2）联合桁架）联合桁架 由几个简单桁架联合组成几由几个简单桁架联合组成几 何不变的的铰接体系。何不变的的铰接体系。ABCDE 依杆件所在位置的不同，分为弦杆和腹杆（竖杆依杆件所在位置的不同，分为弦杆和腹杆（竖杆和斜杆）；弦杆上相邻两节点之间的距离的区间称和斜杆）；弦杆上相邻两节点之间的距离的区间称为节间，其距离为节间，其距离d为节间长度。为节间长度。结点法：取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平结点法：取桁架结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平 衡条件计算各杆的轴力。轴力为正表示拉力，轴力衡条件计算各杆的轴力。轴力为正表示拉力，轴力 为负表示压力。为负表示压力。结点法的计算要点：结点法的计算要点：一个结点