2021年八年级最短路径问题归纳小结

1、*欧阳光明*创编2021.03.07八年级数学最短路径问题欧阳光明(2021.03. 07)【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是己知终结结 点，求最短路径的问题.确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路 径.全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点” 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形 三边关系

2、”，“轴对称”，“平移” 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形.正方形.梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转 “直”等变式问题考查.【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线/上求点P,使PA连48,与/交点即为P.人+PB值最小.两点之间线段最短.PA+PB 最小值为AB.【问题2】询军饮驴作法_QR_7原理在直线/占求，方尸、使PA +PB值最小.作关于/的对称点夕连AB 与/交点即为PA、两点之间线段最短.PA+PB 最小值为AB' 【问题3尸，作法'形/原理在直线土分别求点M、M 使力MN的周长最小.7 .分别作点

3、P关于两直线的 对称点H和P1连P' P 与两直线交点即为M,MV； I两点之间线段最短.PM+MN+PV的最小值为线 段PP，的长./ 问题Q作法原理£h在直线中中分 别求点M. N, f则边砂QMN 的周长喊尔.分别作点QP关于直线 h、 '2的对称点。和“连 0E与两直线交点即为M,N.一盒两点之间线段最短.四 边形PQMN周长的最小值 为线段PP z的长.作法原理直线心 “，在加、71 ,上分别春点M、M使 工皿,了 UM4MN+BN的值 昴小将点A向下平移MN的长 度单位得A',连灯8交 于点N,过N作NMJL/'于 M./A J两点之间线段

4、最短.4"历V+氏V的最小值为/ B 十MN 【问题6人作法、形ill原理在直矗/上求两心严、N M在左)，使亍，并使 4M+畅用机矽的值最小.将点A向右平移个长度 单位得/V，作4,关于的对称 点A",连N 'B,交直线/于点 N,将N点向左平移“个单 位得M.AK”|、 B /, .W： N:V 两点之间线段最短. 的最小值为【问题7】作法威形原理?h .在”上求帆在上求 点比笔叫1值最小.作点P关于兀的对称点P'，作P8_/2于8,交2于APq/1点到直线，垂线段最短.PA+AB的最小值为线段P 酗长./【问题8L.作法A) *原理A为上呢”：为“上乡

5、形毁 上求点M ,fl活求点心使卷+ MN+NB的值最小.作点4关于g的对称点A 二，作点关于齐的对称点 B',连夕交，2于M,交人干 N./ABfl2 :M两点之间线段最短.4"愿+历的最小值为线段 川刀的长.【问题9】作法原理在直线¥上求一点P,使rA-3的值咸卜，连作的中垂线与直线/的 交点即为PAA垂包平分上的点到线段两 端点的距离相等.【问题1()】作法1原理在直线tk吾-点尸，使阿国的值最掩彳作宜线AB,与直线/的交 点即为P7PA三角形任恿两边之差小于 第三边.内-凹如.阳一朋的 最大值"占【问题11作法圉刑n原理在直线/上求一点P,使叶叫勺

6、值最大/B作B关于/的对称点刃作白 饯A8',与/交点即为P.A三角形任恿两边之差小于第三边.刊-朋如，闪阳最人值二土冢水欧阳光明*创编2021.03.07【问题12“费马点”作法图形原理 4?。中国冬前I都小于 120%在护&求点P,使乡必+ P(7片最小 B C所求点为费马点二即满足 ZAPB= ZBPC= ZAP C=120° - 以月笈AC为边向外作等边 ABD. AAC£ 连 CD、BE 相交于P,点P即为所求.D.两点之间线段最短.P4+PB+PC 最小值二CD【精品练习】1 .如图所示，正方形的面积为12, 8BE是等边三角形，最小，则这个最小

7、值为()A.2*a 2胚c. 3D.2.如图，在边长为2的菱形A3CD中，ZABC二4旋转，当ACAD分别与BC、CD交于点的IAI B二60。,若将ZXACD绕点 AA 痂z.点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+踪鳗广A. 2B. MC - 2+Qd. 4c c3.四边形 ABCD 中，ZB=Z£> = 90°, ZC=70。,分别找一点M、N,使XAMN的周长最小时，ZAW+Z数为()A. 120° B. 130° C. 110° D. 140°在BC. CD上c4.如图，在锐角 4 ABC 中，AB =

8、 4 ZBAC = 45°9 ZB AC 的平分线交BC于点。N分别是和上的动点，则的最小值是.5.如图，/ABC 中，ZC = 9(F,ZB = 30。, AB = 6,点全春册、边上，点D在BC边上(不与点B、C重合)，B.ED = A®则线段4E的取值范围是.6 .如图，ZAOB = 30o，点M、N分别在边04、OB上，且ON=3、点、尸、Q分别在边04上，则MP小值杲 (注”勾股定理”：直角三角勺平方和等于斜边的平方，即2ABe中，Zto7 .如图，三角形ZXABC中，八=乂05=/5点8在兀轴的 正半轴，坐标为B(6®0).OC平分Z4。氏点M在OC的

9、延长线上，点N为边04上的 点，则MA + MN的最小值杲8 .已知人(2,4).3(4,2).C在轴上，D在兀轴上，则四边 V形A5CD的周长最小值为，a此时c、D两点的坐标分别为.9.已知 A (1, 1)、5(4,2).(1)P为"轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；少A (2)P为x轴上一动点，求刊”B1的值最大时P点的坐标 (3) CD为轴上一条动线段，D在C点右边且求当 V.心AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；-7B10占C为匕4OB内一占.A/希在求作点D, OB王求作点瓦使Zx CDE赵周滇最彳,请画出图形；(2)在(1)的条件下，若ZAOB = 3(T,OC=10,求周长的最小值和此时/DCE的度数.*欧阳光明*创编2021.03.0711 如图，ZMBD和ZXACE均为等边三角形，BE、CE交 于 F,连 AF,求证：AF+BF+CF=CD;(2)在氐 ABC 中,ZABC=3()o,43 =