1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组概要

1、习题4.34.31 .求卜魂向呈汨仔J秩与一人梗人浅牡无美汨:它也就是该向量组的秩，而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极 大线性无关组.2.计算以下向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关(1)% =1, -1, 2, 3, 4T, % =13, -7,8, 9, 13,(2)二1二1,、工3二1工1- 1,_：4 =1,1,3,1,-1,-1,T3,-1 T4,-21, 1T,-1,2,-1,2,二2- 3,-1,一：4 - I-4,-3: 2-1,1,11 ,工4- 1-1,4T , ： 2-10,3,T2, 0,T1, 1.1,T-1,11.2T,口3=3, 0, 7,

2、 14T,T0, 一：5-1,5,分析向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩,所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩.先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形,通过阶梯形便可得到矩阵的秩解(1)11：2_：41 =4【-3-1-1-312所以该向量组的秩为2,所以该向量组的秩为4,.0a2为它的一个极大线性无关组-n-n-1-1且% ,s2，口3a4为它的一个极大线性无关组 匕1:2一1-1211一10211所以该向量组的秩为3,14且巴尸2,仪4为它的一个极大线性无关组：3- 1-1, -3, 0,-3,3T,：4= 1, -9, 6, 3, 6T.为=2, 1, 5,3T,瓦=4, -3,

3、7, if,p4=_1, -11, 8,近日5= 2, -12, 30, 6 r所以该向量组的秩为3,小于向量的个数5,所以线性相关3.设% = 口，2, 1,口2=泛4,九】，口3= 口，九，1】.九取何值时1,2,4线性相关？九取何值时1,2, 三线性无关？为什么？2九取何值时能经%,2线性表示？且写出表达式.12 1121解1 h口2口3=24九-30九十22_1九100九一2_当人#2且儿2时，矩阵的秩为3与向量个数相同，所以此时该向量组线性无关.当儿=2或儿=-2时，矩阵的秩为2小于向量个数，所以此时向量组线性相关.1当九=2时，秩h1a2=秩卜4 %=2,此时1a3能经%,%线性表

4、示.X = 0,表达式的系数为方程组卜1C2】X=Ot3的解，而此时该方程组的解为11I =x22.，1所以表达式为：%=：2.2当九=2时，秩卜1%=1,秩% 口21a3=2,两者不相等，所以不能线性表示(2)J=1, -3,2, -1T所以该向量组的秩为2,2一1口41=233-78913-1-30-3-31 I一1906-00306J一31000-1 1120 00 00 0小于向量的个数4,所以线性相关1-24-1-31-3-112578131-32-12306一100.0-2 4150 10 0-1 2-4 8-1 10 0当九# 2且九# 一2时，秩(h1 a2)=2,秩(卜1 o

5、(2a3)=3，两者不相等 所以不能线性表示.4.下述结论不正确的选项是()，且说明理由.(A)秩为4的4 X 5矩阵的行向量组必线性无关.(B)可逆矩阵的行向量组和列向量组均线性无关.(C)秩为r(rn)的mxn矩阵的列向量组必线性相关.(D)凡行向量组线性无关的矩阵必为可逆矩阵.解(A)正确.如果行向量组线性相关那么行向量组的秩必小于行向量的个数4,即矩阵的行秩小于4,而矩阵的行秩等于矩阵的秩，因此矩阵的秩小于4,这与矩阵的秩为4矛盾！所以 行向量组必线性无关.(B)正确.可逆矩阵必为满秩矩阵，即nn的可逆矩阵的秩为n,而矩阵的秩等于行秩 和列秩，所以矩阵的行秩=列秩=n,因此行向量组的秩和所含向量个数相同 ，据此可知该行 向量组必线性无关；同理列向量组也必线性无关 .(C)正确.列向量组含有n个向量，又由于列向量组的秩(即列秩)等于矩阵的秩r,而rn,即列向量组的秩小于向量组所含向量的个数，据此