几何体外接球精美讲义

1、第二讲 几何体的外接球和内切球问题根底知识:1. 常见平面图形：正方形,长方形,正三角形的外接圆和内切 圆长方形正方形的外接圆半径为对角线长的一半,正方形的内 切圆半径为边长的一半； 正三角形的内切圆半径：外接圆半径：-33a三角形面积：、芦 正三角形三心合一,三线合一,心把高分为 2:1两局部. I I2.球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球 ,定长叫球的 半径；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面 一个球或球面用表示它的球心的字母表 示,例如球o或L o .概念2:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面,球面所围成的几何体. . X ' I

2、 -°叫做球体,简称球.3.球的截面:用一平面:去截一个球0,设00,是平面的垂线段,O 为垂足,且00 =d,所得的截面是以球心在截面内的射影为 圆心,以r二R2 -d2为半径的一个圆,截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆4 .空间几何体外接球、内切球的概念:定义1：假设一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,那么称这个多面体是这个球的内 接多面体,这个球是这个多面体的外接球.定义2 :假设一个多面体的各面都与一个球的球面相切,那么称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.长方体的外接球正方体的内切球5. 外接球

3、和内切球性质：(1) 内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2) 正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3) 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合.(4) 根本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理.(5) 体积分割是求内切球半径的通用做法. / ! f、L 3" h J _；2436. 公式：球的外表积公式： S=4：R ;球的体积公式： 7 = HR31 2,22长方体的外接球半径公式：Ra b C,其中a,b,c分别为长方体共顶点的3条棱 2长2正棱锥的外接球半径公式：R = a,侧棱2=2R外 h正棱锥,其中a为侧棱长,h为正棱锥

4、的 2h高正棱柱的外接球球心在两底面中央连线的中点处.典型例题：题型一：球的概念例1. (1)球的直径为8cm那么它的外表积为,体积为(2) 球的外表积为144兀cm2,那么它的体积为(3) 球的体积为36兀,那么它的外表积为(4) 如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的外表积之比为 例2. 1 2021年新课标文科平面a截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到 平面a的距离为,2,那么此球的体积为A. . 6.B . 4、3 C . 4D . 6、32 过球面上代B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且AB二BC二CA2,求球的外表积.3 2021年高考课标I卷文H是球O的直径AB

5、上一点,AH:HB=1:2 , AB _平面,H为垂足,:截球O所得截面的面积为二,那么球O的外表积为4 2021年高考新课标1 理如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,那么球的体积为500 二 3866 二 31372 二 32048 二3A. cmB. cmC.cm D . cm3333题型二：与长方体、正方体柱体有关的外接球问题例3. 1设正方体的棱长为2 2021年辽宁数学理直三棱柱ABC-AG的6个顶点都在球O的球面,那么它的外接球的外表积为3A. 8 二 B32正方体外

6、接球的体积是A. 2、2 B . 2 33例4. 1 2021年新课标文科都在一个球面上,那么该球的外表积为D. 4 二332二,那么正方体的棱长等于3C . 4 2 D . 4 333设长方体的长、宽、高分别为2 D . 24： a22a、 a、a,其顶点A. 3a2B. 6a2C. 12a2 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的外表积为2cmA.3.17132D. 3.10题型三：与正锥体有关的外接球问题例5. (1) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,那么该正三棱锥的体积是(2

7、)A 3.3 b73c- 34*3*4(2021年高考辽宁理)正三棱锥 PABC点P12B, C都在半径为；3的求面上,假设PA PB, PC两两互相垂直,那么球心到截面 ABC的距离为例6.(1) (2021年高考课标H卷(文)正四棱锥CABCD勺体积为3门,底面2边长为.3,那么以O为球心,OA为半径的球的外表积为(2)如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥 PABCDEF ,- B那么此正六棱锥的侧面积是.)题型四：其他柱体、锥体的外接球问题! ''' 7二/例7 . ( 1 )直三棱柱ABC -A1B1G的各顶点都在同一球面上,假设AB二AC = AA =2 ,

8、I' & z x-BAC =120,那么此球的外表积等于 .(2)四棱锥S -ABCD的五个顶点都在一个球面上,底面是边长为2的正方形,SD_平 面ABCD,且SD二AB,那么其外接球的体积为 .(3) (2021年新课标2文科)A,B是球O的球面上两点, AOB = 90 , C为该球面上的动点.假设三棱锥O-ABC体积的最大值为36,那么球O的外表积为()A . 36 二 B . 64 二C . 144 二D. 256题型五：柱体、锥体的内切球问题例8. (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A . 1:B . 1:3C. 1:3,3D. 1:9(2)正三棱锥的高为1,底面边长为2 6 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的外表积与体积.拓展练习：2. 一个正四面体的所有棱长都为.2 ,四个顶点在同一个球面上,那么此球的外表积为()A. 3 二B. 4 C . 3一3二D . 6二3. 一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,那么这个球的外表积是()A. 16二B. 20 二C . 24 二D . 32 二7. (2021辽宁文)点P,代B,C,D是球O外表上的点,PA丄平面ABCD四边形ABCD 是边长为2忑正方形.假设PA=26,贝卩也OAB的面积为.“厂?