分别是正弦余弦正切余切正割余割

1、角B的所有三角函数见:函数图形曲线 在平面直角坐标系xOy中,从点 0引岀一条射线0P,设旋转角为0,设OP-r , P点的坐标为X , y 有正弦函数0=y/r余弦函数0=x/r正切函数e=y/x余切函数e=x/y正割函数0=r/x余割函数0=r/y斜边为r,对边为y,邻边为 x.以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数：函数0 -1-cos0函数0 -1-sin 0正弦(sin ):角a的对边比上斜边余弦(cos ):角a的邻边比上斜边正切(tan ):角a的对边比上邻边余切(cot ):角a的邻边比上对边正割(sec ):角a的斜边比上邻边余割(csc ):角a的斜边比上对边同角三角函数间的根

2、本关系式：平方关系：sinA2 a+ cosA2 a= 11 + tanA2 a= secA2 a1 + C0tA2 a= CSCA2 a积的关系：sin a=tan acos acos a=cot aXsin atan a=sin aXsec acota=cosaXcscasec a =tan aX csc acsca=secaXcota倒数关系：tan a cot a= 1Sin a CsC a= 1Cos a sec a= 1商的关系：sin a /cos a= tan a = sec a /CSC aCOS a /sin a= COt a = CSC a /sec a直角三角形 ABC

3、 中 ,角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 ,余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 ,1三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( a+ ®=cos a cos p-sin a sin BCos( a- p)=cos a cos p+sin a sin psin( a±p)=sin a cos p±cos a sin ptan( a+p)=(tan a+tan p)/(1-tan atan p)tan( a- p)=(tan a-tan p)/(1+tan a tan p)三角和的三角函数：sin( a+ p+ Y=sin a cos

4、p cos 7+cos a sin p cos 7+cos a cos p sin in a sin p sin 丫 cos( a+ p+Y=cosa cos p cos丫-cosa sin p sin 丫-sin a cos p sin 丫-sina sinp cos 丫tan( a+ p+Y=(tana+tan p+tan丫-tana tan p tan Y/(1-tan a tan p-tanp tan丫-tan Ytana)辅助角公式：As in a+Bcos a=(A²+B&sup2(1/2)s in(a+arcta n(B/A),其中si nt=B/(A&

5、amp;sup2;+B²F(1/2)cost=A/(A²+B²F(1/2)tant=B/AAsin a -Bcos a =(A²+B²F(1 /2)cos(a -t) , tant=A/B倍角公式：sin(2 a)=2sin a cosa=2/(tan a+cota)cos(2 a )=cos²( a)-sin²( a)=2cos²( a) -1=1- 2sin²( a)tan(2 a)=2tan a/1-tan²(

6、 a)三倍角公式：sin(3 a)=3sin a-4sin³( a)=4sin a sin(60+ a)sin(60 -a) cos(3 a )=4cos³( a) -3cos a =4cos a cos(60+ a )cos(60 -a) tan(3 a )=tan a tan( n /3+a) tan( n /3-a)半角公式：sin( a /2)= ±V(-Cos a )/2)cos( a /2)= ±V (1+Cos a )/2)tan( a /2)= ±V (-Icos a )/(1+cos a )=sin a /(1

7、+cos a )=(1 -cos a )/sin a降幂公式sin²( a)=(1 -cos(2 a )/2=versin(2 a)/2 cos²( a)=(1+cos(2 a)/2=covers(2 a)/2 tan²( a)=(1 -cos(2 a )/(1+cos(2 a)万能公式：sin a =2tan( a /2)/1+tan²(a /2)cos a =1 -tan²( a /2)/1+tan²(a /2)tan a =2tan( a /2)/1 -tan²(

8、 a /2)积化和差公式：sin a-cos B =(1/2)sin(cosasin B =(1/2)sin(a +-Bsin)( a-B )cosacosB =(1/2)cos(a +B )+cos( -aB )sin asin B-(=1/2)cos(和差化积公式：a +B -)cos( a -B )sin a +sin B =2sin( a +B )/2cos( -Ba )/2 sin a-sin B =2cos( a +B )/2sin(-aB )/2cosa +cosB =2cos( a +B )/2cos(a-B )/2cosa -cosB=-2sin( a +B )/2sin(

9、-Ba )/2推导公式tan a +cota =2/sin2 atana-cota=-2cot2a1+cos2a =2cos² a1-cos2a =2sin² a1+sin a =(sin a /2+cos a /2)²其他：sin a +sin( a +2n/n)+sin(a +2n *2/n)+sin(a +2n *3/n)+ +sin a +2n *(n1)/n=0cos a +cos( a +2 n/n)+cos(a +2 n *2/n)+cos(a +2 n *3/n)+ +cos a +2n *(n-1)/n=0以及sin&am

10、p;sup2;( a )+sin²( a -2 n /3)+sin²( a +2n /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx证实：左边 =2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx差)=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx= 右边等式得证积

11、化和sinx+sin2x+.+sinnx=- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx证实 :左边 =-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx)=- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边等式得证三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin

12、³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina( V3/2)² -sin²a=4sina(sin²60 ° -sin²a)=4sina(sin60 °+sina)(sin60 °-sina)=4

13、sina*2sin(60+a)/2cos(60° -a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60 °+a)/2=4sinasin(60 °+a)sin(60 °-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(V3/2)²=4cosa(cos²a-cos²30 °)=4cosa(cosa+cos30° )(cosa-cos30 ° )=4cosa*2co

14、s(a+30 ° )/2cos(a-30 °)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2=-4cosasin(a+30 ° )sin(a-30 °)=-4cosasin90 ° -(60 °-a)sin-90 °+(60°+a)=-4cosacos(60 ° -a)-cos(60 °+a)=4cosacos(60° -a)cos(60 °+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60 ° -a)tan(60 °+

15、a)三角函数的诱导公式公式一：设a为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k n+ a) = sin acos ( 2k n + a)= cos atan ( 2k n + a) = tan acot ( 2k n + a) = cot a公式二：设a为任意角,n+ a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin ( n+ a) = sin aCOS ( n + a) = COS atan(na)= tan aCOt(n -a)= COt a公式三:任意角a与-a的三角函数值之间的关系Sin(a)= Sin aCOS(a)=COS atan(a)= tan aCOt(a)=

16、 COt a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系:Sin(n a)=Sin aCOS(n -a)= COS atan(n a)= tan aCOt(n a)= COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到2 n- a与a的三角函数值之间的关系:Sin(2 n a)= Sin aCOS(2 n a):= COS atan(2 n a )= tan aCOt(2 na)二 COt a公式六:n/2±a 及 3 n/2 士a与a的.三角函数值之间的关系Sin(n/2 + a)=COS aCOS(n/2 + a )= Sin atan(n/2 + a )= C

17、Ot aCOt(n/2 + a)= tan aSin(n/2 a)=COS aCOS(n/2 a )=Sin atan(n/2 a )=COt aCOt(n/2 a)=tan aSin(3 n/2 + a ):= COSaCOS(3 n/2 + a)= Sin atan(3 n/2 + a )= COtaCOt(3 n/2 + a)= tanaSin(3 n/2 a )= COSaCOS(3 n/2 a)= Sinatan(3 n/2 a )= COt aCOt(3 n/2 a)= tan a(以上k Z)补充：6X9 = 54种诱导公式的表格以及推导方法(定名法那么和定号法那么)f( B )

18、 tf(sin Bcos Btan Bcot Bsec Bcsc B360k+ asin acos atan acot asec acsc a90° acos asin acot atan acsc asec a90° +acos a-sin a-cot a-ta n a-csc asec a180°-asin a-cos a-tan a-cot a-sec acsc a180° +a-sin a-cos atan acot a-sec a-csc a270° a-cos a-sin acot atan a-csc a-sec a270

19、6; +a-cos asin a-cot a-ta n acsc a-sec a360° a-sin acos a-tan a-cot asec a-csc aa-sin acos a-tan a-cot asec a-csc a定名法那么90°的奇数倍+a的三角函数,其绝对值与a三角函数的绝对值互为余函数.90°的偶数倍+a的三角函数与 a的三角函数绝对值相同.也就是奇余偶同,奇变偶不变定号法那么将a看做锐角(注意是看做),按所得的角的象限,取三角函数的符号.也就是象限定号,符号看象限比方：90 ° +a定名：90°是90°的奇数倍

20、,所以应取余函数；定号：将a看做锐角,那么 90° +a是第二象限角,第二象限角的正弦为负,余弦为正.所以sin(90 ° + a )=COS a cos(90 ° + a)= -sin a这个非常神奇,屡试不爽三角形与三角函数1、 正弦定理：在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/s in B=c/si nC=2R .(其中R为外接圆的半径)2、 第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和,即a=ccosB + b cosC3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦

21、的积的 2倍,即 aA2=bA2+cA2-2bccosA4、 正切定理(napier比较)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值,即(a-b ) /(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2)5、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中,如三角形 ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证实：(A+B)=( n -C)所以 tan(A+B)=tan( n -C)那么(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan n -tanC)/(1+tan n tanC)整理可得tanA+tanB+ta

22、nC=tanAtanBtanC类似地,我们同样也可以求证：当a +B +丫 =nn (nE Z)时,总有 tan a +tan p +tan 丫 =tan a tan p tan 丫局部高等内容高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：si nx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2tan x=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数,eAz=exp(z)= 1 + z/1 !+ z"2I2 !+ 乙人3/3 !+ 乙人4/4 !+ + zAn/n !+此时三角函数定义域已推广至整个复数集.三角

23、函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y'：y=y"",有通解Q,可证实Q=Asinx+Bcosx ,因此也可以从此出发定义三角函数.补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣.角度 a 0° 30° 45° 60° 90° 180°0 1/2 V 2/2 V 3/2 1 01 V 3/2 V 2/2 1/2 0-10 V3/3 1 V3 / 0/ V3 1 V3/3 0 /(注：“V为根号)三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+.+ cnxn

24、+.= Ecnxn (n=0.)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.= Ecn(x -a)n (n=0. )它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中 c0,c1,c2, 及 a 都是常数 , 这种级数称为幂级数泰勒展开式 (幂级数展开法 )：f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.实用幂级数：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|<1)sin x = x-

25、x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(- ®<x<)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(- <x<)+ . (|x|<1)arcsin x = x + 1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5arccos xn - ( x + 1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5+ . ) (|x|<1)arctanx = x - xA3/3+ xA5/5- . (x < 1)sinh x = x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k

26、-1)!+.(- ® <x<)cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(- g <x<)arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5- . (|x|<1)arctanh x = x + xA3/3 + xA5/5 + . (|x|<1)在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方 法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等.傅立叶级数 (三角级数 )f(x)=a0/2+ E (n=0. g) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/ nf ( n -.n ) (f(x)dxan=1/ nf ( n -.n ) (f(x)cos nx)dxbn=1/ nf ( n -.n ) (f(x)s inn x)dx三角函数的数值符号第三,四象限为负第二,三象限为负第二,四象限为负正弦 第一,二象限为正,余弦 第一,四象限为正正切 第一,三象限为正三角函数定义域和值域sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为-1,1tan(x)的定义域为x不等于 n /2+k n值域为 Rcot(x)的定义域为x不等于kn,值域为R初等三