变量间的相关关系统计案例

1、根底题组练1 某商品的销售量y件与销售价格x元/件存在线性相关关系.根据一组样本数据xi, yii= 1,2,n,用最小二乘法建立的回归方程为y=- 5x+ 150,那么以下结论正确的选项是A y与x具有正的线性相关关系B .假设r表示y与x之间的线性相关系数,贝Ur =- 5C.当销售价格为10元时,销售量为100件D 当销售价格为10元时,销售量为100件左右解析：选D.由回归直线方程知,y与x具有负的线性相关关系,A错,假设r表示y与x之间的线性相关系数,那么|r|w 1, B错当销售价格为10元时,y=- 5X 10+ 150= 100,即销售量为100件左右,C错,应选D.2.通过随

2、机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:由K2=男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110n (ad - bc) 2(a + b)( c+ d)( a+ c)( b + d),算得K2=110X(心 3°-2°X 20) 2" 7.8.60 X 50 X 60 X 50附表:P(K2> k0)0.0500.0100.001ko3.8416.63510.828参照附表,得到的正确结论是A 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关B 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与

3、性别无关C有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关D 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关解析：选C.根据独立性检验的定义,由K2 7.8>6.635,可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下,即有99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关 ,应选C.3. 2021惠州市第二次调研某商场为了了解毛衣的月销量y件与月平均气温xC 之间的关系,随机统计了某 4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表：月平均气温x/C171382月销售量y/件24334055由表中数据算出线性回归方程 y= bx+ ；中的b=- 2,气象部门预测下个月的平均气温约为6 C,据此估计该

4、商场下个月毛衣销售量约为 件.解析：由题中数据,得-=10, y = 38,回归直线y= bx + a过点x , y,且b= 2, 代入得a= 58,那么回归方程y= 2x+ 58,所以当x= 6时,y= 46.答案：464有甲、乙两个班级进行一门课程的测试,根据学生测试成绩优秀和不优秀统计后, 得到如下的列联表：优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390利用列联表的独立性检验估计,那么成绩与班级 填“有关或“无关 解析：成绩与班级有无关系,就是看随机变量的值与临界值2.706的大小关系.由公式得K2的观测值k=90 X (10X 38 7X 35) 217X 73X 45X

5、 450.653 V 2.706,所以成绩与班级无关.答案：无关5. 2021高考全国卷I 某商场为提升效劳质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的效劳给出满意或不满意的评价,得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客30201分别估计男、女顾客对该商场效劳满意的概率;2能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场效劳的评价有差异?附：K2=n (ad be) 2(a + b)( c+ d)( a + e)( b + d)P(K2> k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：1由调查数据知,男顾客中对该商场效劳满意的比率为=0.8,因此

6、男顾客对该50商场效劳满意的概率的估计值为08女顾客中对该商场效劳满意的比率为茅0.6,因此女顾客对该商场效劳满意的概率的估计值为06100 X (心 20一 3°X 10), 4.762.50 X 50 X 70 X 30由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场效劳的评价有差异.6. 2021广州市高中综合测试一某地110岁男童年龄xi单位：岁与身高的中位数1401201 1(»imxy10 一苕(X x)210 一乙(y y )210 昭(Xi x)(yi y)5.5112.4582.503 947.71566.851求y关于x的线性回归

7、方程线性回归方程系数精确到0.01;yi(单位：cm)(i = 1, 2,10)如下表:x/岁12345678910y/cm76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.2某同学认为y= px2 + qx+ r更适宜作为y关于x的回归方程类型,他求得的回归方程是y=- 0.30x2+ 10.17X+ 68.07.经调查,该地11岁男童身高的中位数为145.3 cm.与中的线 性回归方程比拟,哪个回归方程的拟合效果更好?附：回归方程y = a + b x中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

8、：b =n苕(Xi X )( yi y ) b b (Xi x ) 2,a= y b x.10 一 一"、b 苕(xi x)( yi y)566.85解:(1)b =10= 6.871 6.87,导/)282.50曲(xi x)；=亍b x = 112.45 6.871 X 5.5 74.66,所以y关于x的线性回归方程为y= 6.87x+ 74.66.假设回归方程为 y= 6.87x+ 74.66,当 x= 11 时,y= 150.23.y假设回归方程为 y= 0.30x2+ 10.17x+ 68.07,当 x= 11 时,y= 143.64.|143.64 145.3| = 1.

9、66<|150.23 145.3|= 4.93,所以回归方程y= 0.30x2+ 10.17x+ 68.07对该地11岁男童身高中位数的拟合效果更好.综合题组练1. (2021陕西省质量检测(一)基于移动互联网技术的共享单车被称为“新四大创造 之一,短时间内就风行全国,带给人们新的出行体验.某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况,对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计,结果如下表:月份2021.82021.92021.102021.112021.122021.1月份代码x123456市场占 有率y(%)111316152021(1)请在给出的坐标纸中作出散点图,并用相关

10、系数说明能否用线性回归模型拟合市场占有率y与月份代码x之间的关系；幹卜:;21严2O-5：191R丄"十16 n151斗U1312求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2021年2月份的市场占有率.6 一 6 一 一 参考数据：斗='xi x)2= 17.5,岂(xi x )(yi y ) = 35, . 1 330 36.5.n量代-兀)(兔-y)参考公式：相关系数 r =2n一一刀(Xi x ) ( yi y ) 回归直线方程为 y=bx+ a, 其中 b=" n,刀(xi x) 2i = 1A一 A 一a= y b x.解：作出散点图如下.6i = 1(yi

11、- y)2= 76.11+ 13+ 16 + 15 + 20+ 216=16,所以n_所以r =t-兀厂£(升-y)C - 1 1I - 1 L3535=17.5 X 76= ,1 330&36.5 0.96.35所以两变量之间具有较强的线性相关关系,故可用线性回归模型拟合市场占有率y与月6刀A i = 1b=份代码x之间的关系.(xi x )( yi- y )6刀(Xi x ) 2i = 11 + 2 + 3 + 4 + 5+ 6a a x = 3.5,所以 a = - b x = 16 2 X 3.5= 9.6所以y关于x的线性回归方程为y= 2x+ 9.2021年2月的

12、月份代码为x= 7,所以y= 2X 7+ 9= 23,所以估计该公司2021年2月份的市场占有率为 23%.2.综合型2021郑州第一次质量预测近年来郑州空气污染较为严重,现随机抽取一年365天内100天的空气中PM2.5指数的检测数据,统计结果如下:PM2.5指数0, 50(50, 100(100,150(150,200(200,250(250,300>300空气质量优良稍微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S单位：元,PM2.5指数为X.当x在区间0, 100内时对企业没有造成经济损失；当 x在区间(100, 30

13、0内时对企业造成的经济损失 成直线模型(当PM2.5指数为150时造成的经济损失为 500元,当PM2.5指数为200时,造 成的经济损失为700元)；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为 2 000元.(1) 试写出S(x)的表达式；(2) 试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；(3) 假设本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有 8天为重度污染,完成下面列联表,并判断是否有 95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染总计供暖季非供暖季总计100附:P(K2> k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282n (ad - bc) 2K = (a + b)( c+ d)( a+ c)( b+ d),其中 n= a+ b + c+ d-0, x 0 , 100解：(1)依题意,可得 S(x)= 4x- 100, x( 100, 300.2 000, x( 300,+ I设“在本年内随机