常微分方程学习活动一阶线性方程组n阶线性方程的综合练习版

1、解在Rn 1空间不能与x轴相交.dY2. 方程组F(x,Y),x R,Y Rn的任何一个解的图象是dx中的一条积分曲线.3. 向量函数组 Y1(X), Y2(X), "Yn(x)线性相关的式 W(x)=0.必要n+1维空间条件是它们的朗斯期行列常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章 n阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共 3次,内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、 第 二章根本定理的综合练习、 第三章和第四章的综合练习, 目的是通过综合性练习作业, 同学 们可以检验自己的学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握.要求：首先请同学们下载作业附件文

2、档并进行填写, 文档填写完成后请在本次作业页面中点 击“去完成按钮进入相应网页界面完成任务, 然后请将所做完的作业文档以附件的形式上 传到课程上,随后老师会在课程中进行评分.、填空题dYdx1.假设A(x)在(4,+ o上连续,那么线性齐次方程组A(x)Y , 丫 Rn的任一非零dY4.线性齐次微分方程组A(x)Y,x R,YRn,的一个根本解组的个数不能多dx于 n+1个.5.假设函数组1(x),2(x)在区间(a, b)上线性相关,那么它们的朗斯基行列式W(x)在区间(a,b)上 恒等于ysin x的朗斯基行列式W(x)是W(x)sin xcosxy2cosxcosxsin xyxyx2y

3、 0的等价方程组是y y12y1xy1 x y(x)和 y2(X)是二阶线性齐次方程的根本解组,那么它们没有共6.函数组7.二阶方程&假设y i同零点.9. 二阶线性齐次微分方程的两个解y 1(x), y2 (x)成为其根本解组的充要条件是.10. n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为_n 个.11. 在方程y" + pc)y' +q)y = 0中,p(x), q(x)在(-o,+ o上连续,那么它的任一非零解在 xOy 平面上 可以与x轴横截相交.12.二阶线性方程2y y 0的根本解组是xxe , xe13.线性方程y0的根本解组是cosx,sin x14

4、.方程y xyx2y 0的所有解构成一个维线性空间.15. n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.二、计算题1.将以下方程式化为一阶方程组(1) xf(x)x g(x) 0(2) yadx)ya2(x)y a3(x)y 01)解dx& y号 f(x)ydtg(x)(2)dydxdy1dxdy2dxy1y2a,x)y2 a2(x)y1 a3(x)y°2求解以下方程组:dx(1)dtdydt5y 4x4y 5xdx(1)方程组的系数阵为det(A-E)=那么有(2)dtdydt其特征根为(A-E)=(特征方程为:1)(9)1, 29.a + b = 0.取 a = 1,

5、 b =1,其中a, b满足ab = 0,那么得一特解Y1同理,当29时,y29t 1eZ21所以方程组的解为y(t)t e Gz(t)e(2)解方程组的系数阵为AC29t e9t e特征方程为：det(A- E)=()2特征根为(A-E)故有aibiyi其中a, b满足a=0, bai.1,b于是方程组对应于Xicos t i sin tyisint i cos tX1_y1t cos t e + , sin tX2y2t sin t =ecos t所以方程组的解为x(t)t cos tsintC1=ey(t)sin tcost C2故特征根i所对应的实解为3 求解以下方程组:X2xyzx

6、x yc(2)解系数阵为A)c c( 2)yX2yzy 3y 2xzXy2z11(1 )解方程组的系数阵为特征方程为：det(A-E)=特征根为12 i,X1i时,y1e(2 it其中a, b满足(1 a1 i b= 0,yX第一个方程x(1 i)有特征方程为:det(A-E)=(1)(2)(3) 0.特征根为1, 22,3.通解解为x(t) y(t) z(t)0t et e2t e2t e2t e3t e03t eC1C2.C3i)a b 0(1 i)b 0 *那么b 1 ix(t)2t ,1e (costi si nt)y(t)1 ix(t)2t costsint=ey(t)costsi

7、ntcost2a(1i)b0令a 1 ,于是由解得通解sint2112ett24 求解以下方程组:dx 3x y(1) dtdy - 3y dt31(1 )解方程组的系数阵为,其特征方程为:det(A- E)=(3)20.特征根为1代入原方程组有23,方程组有如下形式的解:X(1112t)e3t22溝12t)e3ty(2122t)e3t3(r113(213t3t12t)er12e3t3tr22t)er22e3(r113(21消去e3t得12 2122 0令12211110,那么 x te3tye3t令12210111,口 r3t那么x ey0x(t)te3t3t e所以方程组的解为'

8、'G 3tC2y(t)e0(21r22t)e3t(2)解 首先求出相应齐次线性方程组的通解.对应齐次方程的系数阵为其特征方程为:det(A- E)=(1)(1)0.1 1时,X1a,其中a,b满足(A-E)取 a = b =1,同理,当2y1那么得一特解1 时,X2y2X1y1所以对应齐次线性方程组的通解为x(t)C1 y(t)t et eC2tete然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解x(t)y(t)Ci (t )et C (t )etC2(t)et代入原方程组,得C2(t)eCi(t)6(t)1 t2e 2e2tt2e2方程通解为：y c1e4xC1(t) t t2et te

9、t et 解得21 . 2t t, 2t t ,C2(t) eet 2(te e)2原方程组的特解为x(t)t et eG(t)y(t)t et eQ(t)tett2 12et2tet1 t e22t.1 . 2 t. tttt t e te eee2e e 1 r 2t 以2 t t、e et 2(te e)所以原方程组的通解为x(t)et et qy(t)etet C2.t .21 tte t e 22.t 1 tte e 2t25.方程(1 In x)y1 y 丄y 0的一个解y1 In x ,求其通解.x x由通解公式y c y112ey1p(x)dxdxy1In x, p(x)1x(

10、1 In x)*1 p(x)dxy c y1Cy1edxy11dxy1C c e x(1 lnx) dx(In x)2* In x 1xy1c c 2 dxy1 (c1 C2) c11 nx c2x(In x)In x6试求以下n阶常系数线性齐次方程的通解(1) y 9y 20y 0(2) y y 0(1)解特征方程为：292004 x 5x 特征根为：14, 25.它们对应的解为：e , eQe5x(2)解特征方程为特征根为：12 i 342 2 、2 2它们对应的解为：e九sN,e2化os至詐窃至2 2方程通解为：y汁geos辽X汕辽2 2x)e 讥C3COS辽 x C4点 x).2 27

11、试求下述各方程满足给定的初始条件的解:(1)y 4y 4y 0,y(2)4,y (2)0(2)y y 0,y(0)2,y (0)5(1)解特征方程为：2440.2 x特征根为：1,22,方程通解为：y e (gC2X)由初始条件有2Cj 3c20& 2c2 4e4,解得C1C212e48e4所以方程的初值解为：y e 2x( 12e4 8e4x).2(2)解特征方程为：0.特征根为：10, 21,方程通解为：yxcc?e由初始条件有2,解得C 5C1 C2C2所以方程的初值解为：y7&求以下n阶常系数线性非齐次方程的通解：(1) y8y 7y 3x2 7x 8(2) y2y 1

12、0y xcos2x(1)解由于 2870,11, 27,故齐次方程的通解为y &ex C2e7x.由于0不是特征根,故方程有形如y Ax2 Bx C的特解.3A -,B7将它代入原方程,得所求通解为y c1ex c2e7x2(2)解由于 210971126,C -493433 2971126x x.7493430, 112i, 21 2i,y ex(c1 cos2x c2sin 2x).由于 i 2i不是特征根,故方程有形如y1 (Ax B1)cos 2x (A2x B1 )sin 2x的特解将上式代入原方程,可得A 3 o 291 DA1,B1, A2, B22633813所求通解为

13、1169ex(C| cos2x c2sin 2x) ( x26)cos 2x338(x1169)sin 2x.三、证实题-J w1.设n n矩阵函数A1 (t) , A2 (t)在(a, b)上连续,试证实,假设方程组 A1 (t)Xdt与 A2(t)X有相同的根本解组,那么 A(t) A2(t).dt.证实设X(t)为根本解矩阵,由于根本解矩阵是可逆的,1 dX(t)X 1(t)A(t)故有dtX"竽A2(t)dt于是 A(t)A2 (t).2.设在方程y p(x)y q(x)y 0中,p(x)在区间I上连续且恒不为零,试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函

14、数.证实 设w(x)是方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式,那么x I ,w(x) 0,且xxP(t)dtp(t)dtx°I,有 w(x)=w(x°)e x0 , w(x)p(x)w(x)e ".又由于 p(x)在区间I上连续且恒不为零,从而对 x I , p(x) 0或p(x) 0,所以,w (x)在I上恒正或恒负,即w(x)为严格单调函数3试证实：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不 为零的常数.证实设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为xP(t)dtWj(x)w1(x0)e “, w2(x)xP(t)dtW2(xo)e " ,且 Wi(Xo)0,W2(X°)0 ,所以有W