数列教材分析

1、第三章“数列“教材分析本章是数列,特别是等差数列与等比数列,有着较为广泛的实际应用如各 种产品尺寸常要分成假设干等级,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常 按等差数列进行分级,比方鞋的尺码；当英中的最大尺寸与最小尺寸相差较大 时这种情况是多数,常按等比数列进行分级,比方汽车的载重量、包装箱的 重量等特别值得一提的是,数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用.数列在 整个中学数学教学内容中,处于一个知识集合点的地位,很多知识都与数列有 着密切联系,过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得 到了较为充分的应用,而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了 铺垫课本采取将代数、几

2、何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在 联系,而数列正是在将各知识沟通方而发挥了重要作用由于不少关于恒等变 形、解方程组以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关, 学习这一章便于对学生进行综合练习,从而有助于培养学生综合运用知识解决 问题的水平.本章教学约需17课时,具体分配如下：3. 1数列约2课时3. 2等差数列约2课时3. 3等差数列前n项和约2课时3. 4等比数列约2课时3.5等比数列前n项和约2课时研究性课题：分期付款中的有关计算约3课时小结与复习约4课时一、内容与要求本章从内容上看,可以分为数列、等差数列、等比数列三个局部.在数列这一局部,主要介绍数列的概念、

3、分类,以及给出数列的两种 方法.关于数列的概念,先给出了一个描述性左义,此后又在此根底上,给出了 一个在映射、函数观点下的圧义,指出：'从映射、函数的观点看,数列可以 看作是一个立义域为正整数集或它的有限子集的函数当自变量从小到大依次 取值时对应的一列函数值.这样就可以将数列与函数联系起来,不仅可以加深 对数列概念的理解,而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两 种方法,其中数列的通项公式,教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破 了这一点,数列与函数的内在联系揭示得就更加淸楚此外,正如并非每一函数 均有解析表达式一样,也并非每一数列均有通项公式有通项公式的数列只是少 数,因

4、而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范国大大扩展递 推是数学里的一个非常重要的概念和方法,数学归纳法证实问题的根本思想实 际上也是“递推在数列的研究中,不仅很多重要的数列是用递推公式给出的, 而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得岀较为容易写出的数列的递 推公式,然后再根据它推得通项公式但是,这项内容也是极易膨胀的,例如研 究用递推公式给岀的数列的性质,从数列的递推公式推导通项公式等,这样就 会加重学生负担考虑到学生是在高一学习,我们必须牢牢把握教学要求,只要 能初步体会一下用递推方法给出数列的思想,能根据递推公式写出一个数列的 前几项就行了.在等差数列这一局部,在讲等差数列的

5、概念时,突出了它与一次函数 的联系,这样就便于利用所学过的一次函数的知识来熟悉等差数列的性质：从 图象上看,为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上,为什么两 项可以决龙一个等差数列从几何上看两点可以决圧一条直线在推导等差数 列前n项和的公式时,突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距 离的两项的平均数都与该项相等,熟悉这一点对解决问题会带来一些方便.在等比数列这一局部,在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它 与指数函数的联系赵不仅可加深对等比数列的熟悉,而且可以对处理某类问题 的指数函数方法和等比数列方法进行比拟,从而有利于对这些方法的掌握.二、本章的特点一在启发学生思维上

6、下功夫本章内容,是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材,使学 生在获得知识的根底上,观察和思维水平得到提升.在问题的提出和概念的引入方面,为了引起学生的兴趣,在本章的“前 言里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子.它用一个涉及求 等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难 获问题答案的悬念,又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数 列与等比数列的概念时,都是先写出几个数列,让学生先观察它们的共同特点, 然后在归纳共同特点的根底上给岀相应的左义.二增强了知识的应用除了上而提到的“研究性课题多具有应用性的特点以外还在教材中 适当增加了一些应用问

7、题如在“阅读材料里介绍了有关储蓄的一些计算；在 所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等.三照应前面的逻辑知识,增强了推理论证的练习考虑到?新大纲?更加重视对学生逻僅思维水平的培养,且在前而第 一章已介绍了"简易逻辑,为进行推理论证作了准备,紧接着又在第二章“函 数"里进行了一主的推理论证练习因此本草在推理论证方而有所增强四注意渗透一些重要的数学思想方法由于本章处在知识交汇点的地位,所蕴含的数学思想方法较为丰富, 教材在这方而也力求充分挖掘教材注意从函数的观点去看数列,任这种整体 的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加淸楚,某些问题也能得到更 好的

8、解决,例如“复习参考题B组第2题便是一个典型例子.方程或方程组的 思想也是表达得较为充分的,不少的例、习题均属这种模式：数列满足某 某条件,求这个数列.这类问题一般都要通过列岀方程或方程组.然后求解关于 递推的思想方法,不仅在数列的递推公式里有所表达观察、归纳、猜测、证实 等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示.为学生了解它们各自的作用、 相互间的关系并进行初步运用提供了条件.三、教学中应注意的几个问题一把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广,具有知识交汇点的特点,在应试教育的"一 步到位的教弃思想的影响下,本章的教学要求很容易拔高,过早地进行针对 "高考的综合性练

9、习,从而影响了根本内容的学习和加重了学生负担事实 上,学习是一个不断深化的过程.作为在高一上学习的这一章,应致力于打好 根底并进行初步的综合练习,在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获 得稳固和提升最后在髙三数学总复习时,通过知识的系统梳理和进一步的综合 练习使对本章内容的掌握上升到一个新的档次为此,本章教学中应特别注意一 些容易膨胀的地方例如在学习数列的递推公式时,不要去搞涉及递推公式变形 的论证、计算问题,只要会根据递推公式求岀数列的前几项就行了：在研究数 列求和问题时,不要涉及过多的技巧.二有意识地复习和深化初中所学内容对于初中学过的多数知识.在高中没有系统深入学习的时机而初中内 容

10、是学习髙中数学的必要根底,因而在学习髙中内容时有意识地复习、深化初 中内容显得特别重要本章是高中数学的第三章,距离初中数学较近,与初中数 学的联系最广,因而教学中应在沟通初、髙中数学方而尽可能多地作一些努力三适当增强本章内容与函数的联系适当增强这种联系,不仅有利于知识的融汇贯穿,加深对数列的理解, 运用函数的观点和方法解决有关数列的问题,而且反过来可使学生对函数的认 识深化一步比方,学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数,而 到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后,就能进一步理解函数的一 般左义,预防了前而内容安排可能产生的学生熟悉上的负迁移；本章内容与函数的联系涉及以下几个方

11、面.1. 数列概念与函数概念的联系.相应于数列的函数是一种左义域为正整数集或它的前n个数组成的 有限子集的函数,它是一种自变量“等距离地离散取值的函数从这个意义 上看,它丰富了学生所接触的函数概念的范围但数列与函数并不能划等号,数 列是相应函数的一系列函数值.基于以上联系,数列也可用图象表示,从而可利 用图象的直观性来研究数列的性质数列的通项公式实际上是相应因数的解析 表达式.而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式,由于只要给左一个自 变量的值n,就可以通过递推公式确左相应的f n这也反过来说明作为一个函 数并不一泄存在直接表示因变量与自变量关系的解析式.2. 等差数列与一次函数、二次函数

12、的联系.从等差数列的通项公式可以知道,公差不为零的等差数列的每一项a 是关于项数n的一次函数式于是可以利用一次函数的性质来熟悉等差数列.例 如,根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质,就容易 理解为什么两项可以确定一个等差数列.此外,首项为、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：c 一 1S+-d即当 HO时,S是n的二次函数式,于是可以运用二次函数的观点和方法来熟悉求等差数列前n项和的问题如可以根拯二次函数的图象了解S“ 的增减变化、极值等情况.3. 等比数列与指数型函数的联系.由于首项为、公比为q的等比数列的通项公式可以写成S =0工1它与指数函数尸"X有着

13、密切联系,从而可利用I指数函数的性质来研究等比数列.四注意等差数列与等比数列的比照,突出两类数列的根本特征等差数列与等比数列在内容上是完全平行的,包括：立义、性质等差 还是等比、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差等比中项具体问题 里成等差等比数列的三个数的设法等因此在教学与复习时可采用比照方法, 以便于弄淸它们之间的联系与区别顺便指岀,一个数列既是等差数列又是等比 数列的充要条件是它是非零的常数列.教学中应强调,等差数列的根本性质是"等差,等比数列的根本性 质是“等比,这是我们研究有关两类数列的主要岀发点,是判断、证实一个 数列是否为等差等比数列和解决其他问题的一种根本方法.要让

14、学生注意, 这里的“等差“等比,是对任意相邻两项来说的.上述根本性质,引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项 “等距离的两项之和之积等于该项的2倍平方.利用上述性质,常使一些问题变得简便.对于学有余力的学生,还可指 岀等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是 一种绝对均匀变化,等比数列描述的是一种相对均匀变化非均匀变化通常要转 化或近似成均匀变化来进行研究,这就成为教材之所以重点研究等差数列与等 比数列的主要原因所在.五注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜测、证实等方法的能 力综合运用观察、归纳、猜测、证实等方法研究数学,是一种非常重要 的学习水平事实上,在问题探索求解中,常常是先从观察入手,发现问题的特 点,形成解决问题的初步思路：然后用归纳方法进行试探,提岀猜测：最后采 用证