计算机图形学 第五章

1、Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系计计 算算 机机 图图 形形 学学 Computer GraphicsComputer Graphics翟瑞芳翟瑞芳Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系本章主要介绍以下内容：本章主要介绍以下内容：如何在指定的输出设备上根据坐标描述构造如何在指定的输出设备上根据坐标描述构造基本二维几何图形（点、直线、曲线及其相基本二维几何图形（点、直线、曲线及其相关属性等）。关属性等）。第五章第五章 二维图形生成技术二维图形生成技术Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计

2、算机科学与技术系图形的生成：图形的生成：是在指定的输出设备上，根据坐标描述是在指定的输出设备上，根据坐标描述构造二维几何图形。构造二维几何图形。图形的扫描转换：图形的扫描转换：在光栅显示器等数字设备上确定一在光栅显示器等数字设备上确定一个最佳逼近于图形的象素集的过程。个最佳逼近于图形的象素集的过程。 图5-1 用一系列的象素点来逼近直线第五章第五章 二维图形生成技术二维图形生成技术Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.1 5.1 基本绘图元素基本绘图元素OYX P(x,y)1. 点点Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科

3、学与技术系2. 直线3. 曲线5.1 5.1 基本绘图元素基本绘图元素Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2 5.2 直线段的生成算法直线段的生成算法 直线的扫描转换直线的扫描转换: 确定最佳逼近于该直线的一确定最佳逼近于该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作。行写操作。Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2 5.2 直线段的生成算法直线段的生成算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2 5.2 直线段

4、的生成算法直线段的生成算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2 5.2 直线段的生成算法直线段的生成算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5. 5. 要求直线具有不同的色泽、亮度、线型等要求直线具有不同的色泽、亮度、线型等5.2 5.2 直线段的生成算法直线段的生成算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系解决的问题：解决的问题： 给定直线两端点给定直线两端点P0(x0,y0)和和P1(x1,y1)，画出该直线。，画出该直线。常用算法：常用算法： 逐点比较法逐点比

5、较法 数值微分法（数值微分法（DDA） 中点画线法中点画线法 Bresenham算法。算法。5.2 直线的生成算法直线的生成算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.2 数值微分数值微分(DDA)法法 基本思想基本思想 已知过端点已知过端点 的直线段的直线段L： 直线斜率为直线斜率为 从从 的左端点的左端点 开始，向开始，向 右端点步进。步长右端点步进。步长=1(个象素个象素)，计算相应的，计算相应的y坐标坐标 ；取象素点；取象素点(x, round(y)作为当前点的坐标。作为当前点的坐标。0101xxyyk),(),(111000yxPyxPb

6、kxyx0 xxbkxyDesigned by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系 计算量分析：计算量分析： 每个点计算量：上边的算法每个点需要每个点计算量：上边的算法每个点需要 一个一个“+” 一个一个“*” 用到浮点数的乘法、加法和取整运算用到浮点数的乘法、加法和取整运算 作为最底层的光栅图形算法，在通常的作为最底层的光栅图形算法，在通常的CAD/图形图形系统中，会被大量应用，因此，哪怕节约一个加系统中，会被大量应用，因此，哪怕节约一个加法或减法，也是很了不起的改进。法或减法，也是很了不起的改进。 由此出发点，导致增量算法的思想。由此出发点，导致增量算法的思想。bkxy

7、5.2.2 数值微分数值微分(DDA)法法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系增量算法的思想增量算法的思想设步长为设步长为计算计算当当 时时;即：当即：当x每递增每递增1，y递增递增k(即直线斜率即直线斜率)；计算量：每个点只有一个计算量：每个点只有一个“+” 注意：注意：上述算法仅适用于上述算法仅适用于|K|1时，把时，把X、Y互换。互换。 xkyxkbkxbkxyiiii 11xkyyii11x1iyxxxii15.2.2 数值微分数值微分(DDA)法法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系 增量算法增量算法

8、：在在一个迭代算法中，如果每一步的一个迭代算法中，如果每一步的x、y值值是用前一步的值加上一个增量来获得，则是用前一步的值加上一个增量来获得，则称为增量算法称为增量算法。 DDA算法就是一个增量算法。算法就是一个增量算法。5.2.2 数值微分法（数值微分法（DDA）Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.2 数值微分法（数值微分法（DDA）DDA算法原理：算法原理： 2)-(5 11yyyxxxiiiixxiyxyixi+1yi+1y图5-2 DDA算法原理=1/max(|x|,|y|) 直线的微分方程：直线的微分方程： 0101kxxyyxydx

9、dyDesigned by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.2 数值微分法（数值微分法（DDA）max(|x|,|y|)=|x|，即，即|k|1的情况：的情况：max(|x|,|y|)=|y|，此时，此时|k|1：3)-(5 11111kyyxyyyyxxxxxxxiiiiiiii4)-(5 111111iiiiiiiiyyyyyyykxxyxxxxDesigned by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.2 数值微分法（数值微分法（DDA）注意：注意：round(x)=(int)(x+0.5)图5-3 DDA算法生成直线段(xi,yi

10、)(xi+1,round(yi+k)(round(xi+1/k),yi+1)Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x；float dx, dy, y, k;dx, = x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0; for (x=x0; xx1, x+) drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k; 5.2.2 数值微分法（数值微分法（DDA）Designed by Ruifang ZHAI华

11、中农业大学计算机科学与技术系例：画直线段例：画直线段x int(y+0.5) y+0.5000 +0.5100.4+0.5210.8+0.5311.2+0.5421.6+0.5522.0+0.5注：注：网格点表示象素网格点表示象素)2 , 5()0 , 0(10PP4 .0)05/()02(/xyk5.2.2 数值微分法（数值微分法（DDA）Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系2021 222324 252627 28 2930101112131415161718用用DDADDA算法计算出端点算法计算出端点(20,10)(30,18)(20,10)(3

12、0,18)之间的中间点坐标。之间的中间点坐标。5.2.2 数值微分法（数值微分法（DDA）Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.2 数值微分法（数值微分法（DDA）例如例如: :绘制从绘制从(0,0)(0,0)到到(-8,-4)(-8,-4)的直线的直线运用运用DDADDA方法计算如下方法计算如下: :初始值计算初始值计算: :x = 0 , y = 0 , k = 0.4 ,dx = -1 , dy = -0.5绘制过程如下绘制过程如下: :(1)(1)c = 7 x = -1 y = -0.5 x = -1 y = -0.5 画点画点(-1

13、, -1 )(-1 , -1 )(2)c = 6 x = -2 y = -1 (2)c = 6 x = -2 y = -1 画点画点(-2 , -1 )(-2 , -1 )(3)c = 5 x = -3 y = -1.5 (3)c = 5 x = -3 y = -1.5 画点画点(-3 , -2 )(-3 , -2 )(4)c = 4 x = -4 y = -2 (4)c = 4 x = -4 y = -2 画点画点(-4 , -2 )(-4 , -2 )(5)c = 3 x = -5 y = -2.5 (5)c = 3 x = -5 y = -2.5 画点画点(-5 , -3 )(-5 ,

14、-3 )(6)c = 2 x = -6 y = -3 (6)c = 2 x = -6 y = -3 画点画点(-6 , -3 )(-6 , -3 )(7)c = 1 x = -7 y = -3.5 (7)c = 1 x = -7 y = -3.5 画点画点(-7 , -4 )(-7 , -4 )(8)c = 0(8)c = 0 x = -8 y = -4 x = -8 y = -4 画点画点(-8 , -4 )(-8 , -4 )Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.2 数值微分法（数值微分法（DDA）优点：优点： 增量算法增量算法 直观、易实现

15、直观、易实现 缺点：缺点： 有浮点数取整运算有浮点数取整运算 不利于硬件实现不利于硬件实现 效率低效率低Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系 采用增量思想的采用增量思想的DDA算法，每计算一个象素，只需算法，每计算一个象素，只需计算一个加法，是否最优？计算一个加法，是否最优？ 如非最优，如何改进？如非最优，如何改进？ 目标：进一步将一个加法改为一个整数加法。目标：进一步将一个加法改为一个整数加法。 新思路新思路 DDA算法采用点斜式，可否采用其他的算法采用点斜式，可否采用其他的直线表示方式？直线表示方式？5.2.3 中点中点Bresenham算法算法D

16、esigned by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.3 中点中点Bresenham算法算法直线的方程：直线的方程：5)-(5 , 0),(0101xxyyxykbkxyyxF其中Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.3 中点中点Bresenham算法算法基本原理（假定基本原理（假定0k1，x是最大位移方向）：是最大位移方向）：P Pu u( (x xi i+ +1 1, ,y yi i+ +1 1) )M M( (x xi i+ +1 1, ,y yi i+ +1 1/ /2 2) )P P( (x xi i, ,

17、y yi i) )P Pd d( (x xi i+ +1 1, ,y yi i) )图5-5 Brensemham算法生成直线的原理Q当前象素点为当前象素点为(xi i, yi i) 。下一个。下一个象素点为象素点为Pd d 或或Pu u 。设设M=(xp p+1, yp p+0.5)，为，为pu u与与pd d之中点，之中点，Q为理想直线与为理想直线与x=xi i+1垂线的交点。将垂线的交点。将Q与与M的的y坐标进坐标进行比较。行比较。当当M在在Q的下方，则的下方，则Pu u 应为应为 下一个象素点；下一个象素点；M在在Q的上方，应取的上方，应取Pd d为下一为下一点点如何判断如何判断M点与

18、点与Q点之间的关系？点之间的关系？Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系由常识可知：由常识可知： 对 于 直 线 上 的 点 ，对 于 直 线 上 的 点 ， F(x,yF(x,y)=0)=0； 对 于 直 线 上 方 的 点 ，对 于 直 线 上 方 的 点 ，F(x,yF(x,y)0)0； 对 于 直 线 下 方 的 点 ，对 于 直 线 下 方 的 点 ，F(x,yF(x,y)0)0。P Pu u( (x xi i+ +1 1, ,y yi i+ +1 1) )M M( (x xi i+ +1 1, ,y yi i+ +1 1/ /2 2) )P

19、P( (x xi i, ,y yi i) )P Pd d( (x xi i+ +1 1, ,y yi i) )图5-5 Brensemham算法生成直线的原理Q5.2.3 中点中点Bresenham算法算法欲判断中点欲判断中点M M是否在是否在Q Q点上方还是点上方还是Q Q点下方，只需把点下方，只需把M M带入带入F F（X,Y)X,Y)，并检查其符号。，并检查其符号。Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系构造判别式：构造判别式： ) 1(5 . 0) 5 . 0, 1(),(bxkyyxFyxFdiiiiMM则有：则有： 当当d0d0d0，M M在在

20、L(QL(Q点点) )上方，上方，取右方取右方PdPd为下一个象素；为下一个象素； 当当d=0d=0，选，选PdPd或或PuPu均可，均可，约定取约定取PdPd为下一个象素为下一个象素( (注意：所有的点都采取注意：所有的点都采取相同规则）。相同规则）。P Pu u( (x xi i+ +1 1, ,y yi i+ +1 1) )M M( (x xi i+ +1 1, ,y yi i+ +1 1/ /2 2) )P P( (x xi i, ,y yi i) )P Pd d( (x xi i+ +1 1, ,y yi i) )图5-5 Brensemham算法生成直线的原理Q5.2.3 中点中点

21、Bresenham算法算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系但这样做，每一个象素的计算量包括加法，减法，乘但这样做，每一个象素的计算量包括加法，减法，乘法，除法法，除法“山穷水尽疑无路山穷水尽疑无路”如果也采用增量算法呢？如果也采用增量算法呢？d d是是x xi i, , y yi i的线性函数，因此可采用增量计算，提高运的线性函数，因此可采用增量计算，提高运算效率。算效率。bxkydii) 1(5 . 05.2.3 中点中点Bresenham算法算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系 若当前象素处于若当前

22、象素处于d d 0 0情况，情况，则取正右方象素则取正右方象素Pd (xi+1, Pd (xi+1, yiyi), ), 要判下一个象素位要判下一个象素位置，应计算置，应计算 kdkbxkybxkyyxFdiiiiii ) 1(5 . 0 )2(5 . 0 )5 . 0, 2(5.2.3 中点中点Bresenham算法算法增量为增量为-k-kDesigned by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系kdkbxkybxkyyxFdiiiiii1 ) 1(5 . 1 )2(5 . 1 )5 . 1, 2(5.2.3 中点中点Bresenham算法算法 若当前象素处于若当前象素处

23、于d d 0 0情况，情况，则取右上方象素则取右上方象素PuPu (xi+1, (xi+1, yi+1), yi+1), 要判下一个象素要判下一个象素位置，应计算位置，应计算增量为增量为1-k1-kDesigned by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.3 中点中点Bresenham算法算法初始值初始值d的计算的计算kkbkxybxkyyxFd5 .0 5 .0 )1(5 .0 )5 .0, 1(0000000Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.3 中点中点Bresenham算法算法0k1时中点时中点Bresenh

24、am算法的算法步骤为：算法的算法步骤为： 1. 输入直线的两端点输入直线的两端点P0(x0,y0)和和P1(x1,y1)。 2. 计算初始值计算初始值x、y、d=0.5-k、x=x0、y=y0； 3. 绘制点绘制点(x,y)。判断。判断d的符号；的符号；若若d0，则，则(x,y)更新为更新为(x+1,y+1)，d更新为更新为d+1-k；否则否则(x,y)更新为更新为(x+1,y)，d更新为更新为d-k。 4. 当直线没有画完时，重复步骤当直线没有画完时，重复步骤3。否则结束。否则结束。Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.3 中点中点Bresen

25、ham算法算法 至此，至少新算法可以和至此，至少新算法可以和DDA算法一样好。算法一样好。 能否再做改进？能否再做改进？ 能否实现整数运算？能否实现整数运算？Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.3 中点中点Bresenham算法算法改进：用改进：用2dx代替代替d1. 输入直线的两端点输入直线的两端点P0(x0,y0)和和P1(x1,y1)。2. 计算初始值计算初始值x、y、d=x-2y、x=x0、y=y0。3. 绘制点绘制点(x,y)。判断。判断d的符号。的符号。 若若dx1) x=x1; x1=x0; x0=x; y=y1; y1=y0;

26、y0=y; x=x0, y=y0; dx=x1-x0; dy=y1-y0; d=dx-2*dy; UpIncre=2*dx-2*dy; DownIncre=-2*dy; while(x=x1) drawpixel(x, y, color); x+; if(d0.5，则，则(x,y)更新为更新为(x+1,y+1)，同时将，同时将d更新为更新为d-1；否则；否则(x,y)更新为更新为(x+1,y)。5.当直线没有画完时，重复步骤当直线没有画完时，重复步骤3和和4。否则结束。否则结束。Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.4 改进的改进的Bresenh

27、am算法算法改进改进1：令令e=d-0.50)(e 0)(e 1111iiiiiyyyxx e初初=-0.5， 每走一步有每走一步有e=e+k。 if (e0) then e=e-1Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.4 改进的改进的Bresenham算法算法1. 输入直线的两端点输入直线的两端点P0(x0,y0)和和P1(x1,y1)。2. 计算初始值计算初始值x、y、e=-0.5、x=x0、y=y0。3. 绘制点绘制点(x,y)。4. e更新为更新为e+k，判断，判断e的符号。若的符号。若e0，则，则(x,y)更更新为新为(x+1,y+1)

28、，同时将，同时将e更新为更新为e-1；否则；否则(x,y)更新为更新为(x+1,y)。5. 当直线没有画完时，重复步骤当直线没有画完时，重复步骤3和和4。否则结束。否则结束。算法步骤为：算法步骤为：Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int x, y, dx, dy; float k, e; dx = x1-x0, dy = y1- y0, k=dy/dx; e=-0.5, x=x0, y=y0; for (i=0; idx; i+)

29、 drawpixel (x, y, color); x=x+1，e=e+k; if (e0) y+, e=e-1; 5.2.4 改进的改进的Bresenham算法算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系例：Line: P0(0, 0), P1(5,2)k=dy/dx=0.4 x y e 0 0 -0.5 1 0 -0.1 2 1 0.3(-0.7) 3 1 -0.3 4 2 0.1(-0.9) 5 2 -0.5 5.2.4 改进的改进的Bresenham算法算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系改进改进2：用

30、用2ex来替换来替换e e初初=-x， 每走一步有每走一步有e=e+2y。 if (e0) then e=e-2x5.2.4 改进的改进的Bresenham算法算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系5.2.4 改进的改进的Bresenham算法算法算法步骤：算法步骤：1. 输入直线的两端点输入直线的两端点P0(x0,y0)和和P1(x1,y1)。2. 计算初始值计算初始值x、y、e=-x、x=x0、y=y0。3. 绘制点绘制点(x,y)。4. e更新为更新为e+2y，判断，判断e的符号。若的符号。若e0，则，则(x,y) 更新为更新为(x+1,y+1

31、)，同时将，同时将e更新为更新为e-2x；否则；否则 (x,y)更新为更新为(x+1,y)。5. 当直线没有画完时，重复步骤当直线没有画完时，重复步骤3和和4。否则结束。否则结束。Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系例：用例：用Bresehem算法计算出端点算法计算出端点(0,0), (8,5)之间的中之间的中间点坐标。间点坐标。x=8, 2y=10, -2 x=-16 计算初始值计算初始值x、y、e=-x；e更新为更新为e+2y，判断，判断e的符号。若的符号。若e0，则，则(x,y) 更新为更新为(x+1,y+1)，同时将，同时将e更新为更新为e-2

32、x；否则；否则 (x,y)更新为更新为(x+1,y)x0123456789y0112234456e-8-14-4-100-6-12-2-8-14e+2y2-460104-2825.2.4 改进的改进的Bresenham算法算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系void InterBresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) dx = x1-x0, dy = y1- y0, e=-dx; x=x0, y=y0; for (i=0; idx; i+) drawpixel (x, y, col

33、or); x+, e=e+2*dy; if (e0) y+; e=e-2*dx; 5.2.4 改进的改进的Bresenham算法算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系 用用Bresehem算法计算出端点算法计算出端点(20,10)(30,18)之之间的中间点坐标。间的中间点坐标。5.2.4 改进的改进的Bresenham算法算法x2021222324252627282930y1011121213141516161718e-10-14-18-2-6-10-14-18-2-6-10e+2y622141062-214106Designed by Ruifa

34、ng ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系Bresenham算法的优点是：算法的优点是：不必计算直线斜率，因此不做除法；不必计算直线斜率，因此不做除法；不用浮点数，只用整数；不用浮点数，只用整数；只做整数加减法和乘只做整数加减法和乘2运算，而乘运算，而乘2运算可以用硬件移运算可以用硬件移位实现。位实现。Bresenham算法速度很快，并适于用硬件实现。算法速度很快，并适于用硬件实现。Bresenham is fast, and fast is good!5.2.4 改进的改进的Bresenham算法算法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系 思考：思考

35、： 利用利用DDA算法、中点算法、中点Bresenham算法、改进的算法、改进的Bresenham算法画出同一条直线如（算法画出同一条直线如（0，0），），（5，4）所获得的像素点是否相同？为什么？）所获得的像素点是否相同？为什么？Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系作业：作业：P149 5.2, 5.3, 5.6P149 5.2, 5.3, 5.6q 查资料，对各个直线生成算法进行对比归纳，查资料，对各个直线生成算法进行对比归纳，查找是否还有新的算法或算法优化思想。查找是否还有新的算法或算法优化思想。q 用算法实现直线的生成，并对生成结果进行比用算法

36、实现直线的生成，并对生成结果进行比较（包括算法效率、画线效果等方面）。较（包括算法效率、画线效果等方面）。Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系本本 次次 授授 课课 结结 束束 谢谢 谢谢 ！Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系算法思想：算法思想： 在绘图过程中，绘图笔每画一步就与规定在绘图过程中，绘图笔每画一步就与规定图形进行比较，然后决定下一步走向，用步步逼图形进行比较，然后决定下一步走向，用步步逼近的方法画出规定的图形。近的方法画出规定的图形。5.2.1 逐点比较法逐点比较法Designed by Rui

37、fang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系O OX XY YA AM1M1M2M2M3M3示意图（第一象限）：示意图（第一象限）：5.2.1 逐点比较法逐点比较法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系数学描述数学描述( (以第一象限为例以第一象限为例) )：O OX XY YA AM MAmmAAmxxxyxytgtg=0 =0 向向X X方向走一步方向走一步0 00，所以只需判断分子，所以只需判断分子MAAMMxyxyF5.2.1 逐点比较法逐点比较法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系iAAiixyxy

38、F推广开来，对于任意一点推广开来，对于任意一点iq 当当Fi=0时，向时，向X方向走一步，则方向走一步，则Fi+1= FiyAq 当当Fi0时，时， 向向y方向走一步，则方向走一步，则Fi+1= FixA5.2.1 逐点比较法逐点比较法Designed by Ruifang ZHAI华中农业大学计算机科学与技术系例如例如: :使用逐点比较法绘制从使用逐点比较法绘制从 O( 0, 0 ) O( 0, 0 )到到A( 4 , 2 ) )A( 4 , 2 ) )直线段直线段 计数器计数器max( 4 , 2 )max( 4 , 2 )的值为的值为4,4,计长方向为计长方向为X,X,直线的斜率为直线的斜率为0.50.5(1)(1)设直线先在设直线先在X X方向走一步方向走一步, ,计数器为计数器为3,3,K K1 1有关数据为有关数据为: :Y Y1 1 = Y