25二次函数与一元二次方程

1、1 一元二次方程-5t2+40t=0的根为： 。2 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 = 。当0方程根的情况是： ；当=0时，方程 ； 当0时，方程 。b2-4ac有两个不等实数根有两个相等实数根没有实数根t1=0，t2=83 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a0)图像是一条 ，它与x轴的交点有几种可能的情况？抛物线三种可能：两个交点 一个交点 没有交点。复习提问w(1).h和和t的关系式是什么的关系式是什么？w(2).小球经过多少秒后落地小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法你有几种求解方法?与同伴与同伴进行交流进行交流.w我们已经知道我们已经知道, ,

2、竖直上抛物体的高度竖直上抛物体的高度h(m)(m)与运动时间与运动时间t(s)t(s)的关系可用公式的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示表示, ,其中其中h0(m)(m)是抛是抛出时的高度出时的高度, ,v0(m/s)(m/s)是抛出时的速度是抛出时的速度. .一个小球从地面一个小球从地面以以40m/s40m/s的速度竖直向上抛出起的速度竖直向上抛出起, ,小球的高度小球的高度h(m)(m)与运与运动时间动时间t(s)(s)的关系如图所示的关系如图所示, ,那么那么 .405.1:2tth解 . 0405,8 .22tts也可以解方程可以利用图象活动探究活动探究1 10t2468h20

3、406080100活动探究活动探究2 2驶向胜利的彼岸3 抛物线y=x2-4x+4与轴有 个交点，坐标是 。1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ） A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明（-2，0）和（3，0）c1（2，0）课堂练习4 不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。解：解方程x2-3x-4=0得： x1=-1，x2=4 抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是： (-1，0)和(4，0)101xyMN232y=

4、x2-4x+4 5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。课堂练习w二次函数二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程何时为一元二次方程?它们的关系它们的关系如何如何?w在本节一开始的小球上抛问题中在本节一开始的小球上抛问题中, ,何时小球离地面的何时小球离地面的高度是高度是60m?60m?你是如何知道的你是如何知道的? ?.60405,60:2tth得时当解.,方程二次函数即为一元二次取定值时当一般地y知识升华. 6, 2:21xx解得抛出去后第2秒和第6秒时，离地面60米w(1).用描点法作用描点法作二次函数二次函

5、数y=xy=x2 2+2x-10+2x-10的图象；的图象；w你能利用二次函数的图象估计一元二次方程你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x x2 2+2x-+2x-10=010=0的根吗？的根吗？w(2).观察估计观察估计二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x-10+2x-10的图象与的图象与x x轴的交点的横坐标；轴的交点的横坐标；w由图象可知由图象可知,图象与图象与x x轴有两个交点轴有两个交点, ,其横坐其横坐标一个在标一个在-5-5与与-4-4之间之间, ,另一个在另一个在2 2与与3 3之间之间，w(3).确定方程确定方程x x2 2+2x-10=0+2x-10=0的解的解; ;

6、w由此可知由此可知, ,方程方程x x2 2+2x-10=0+2x-10=0的近似根为的近似根为:x:x1 1-4.3,x-4.3,x2 22.3.2.3.活动探究活动探究分别约为分别约为-4.3和和2.3用一元二次方程用一元二次方程的求根公式验证的求根公式验证一下，看是否有一下，看是否有相同的结果相同的结果你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应该注意什么？w(1).用描点法作用描点法作二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x-10+2x-10的图象；的图象；w利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的近的近

7、似根似根. .做一做做一做P75w(3).观察估计观察估计抛物线抛物线y=xy=x2 2+2x-10+2x-10和直线和直线y=3y=3的交点的横坐标；的交点的横坐标；w由图象可知由图象可知,它们有两个交点它们有两个交点, ,其横坐标一其横坐标一个在个在-5-5与与-4-4之间之间, ,另一个在另一个在2 2与与3 3之间之间, ,分别约分别约为为-4.7-4.7和和2.72.7( (可将单位长再十等分可将单位长再十等分, ,借助计借助计算器确定其近似值算器确定其近似值) ). .w(4).确定方程确定方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的解的解; ;w由此可知由此可知, ,方程方

8、程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的近似根为的近似根为:x:x1 1-4.7,x-4.7,x2 22.7.2.7.w(2). 作作直线直线y=3y=3；w(1).原方程可变形为原方程可变形为x x2 2+2x-13=0+2x-13=0；w利用二次函数的图象求一元二次方程利用二次函数的图象求一元二次方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的近的近似根似根. .w(3).观察估计观察估计抛物线抛物线y=xy=x2 2+2x-13+2x-13和和x x轴的交轴的交点的横坐标；点的横坐标；w由图象可知由图象可知,它们有两个交点它们有两个交点, ,其横坐标一其横坐标一个在个在-5-5

9、与与-4-4之间之间, ,另一个在另一个在2 2与与3 3之间之间, ,分别约分别约为为-4.7-4.7和和2.72.7( (可将单位长再十等分可将单位长再十等分, ,借助计借助计算器确定其近似值算器确定其近似值) ). .w(4).确定方程确定方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的解的解; ;w由此可知由此可知, ,方程方程x x2 2+2x-10=3+2x-10=3的近似根为的近似根为:x:x1 1-4.7,x-4.7,x2 22.7.2.7.w(2).用描点法作用描点法作二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x-13+2x-13的图象；的图象；解法解法2 利用二次函数利用二次

10、函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方的图象求一元二次方程程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？的近似根的一般步骤是怎样的？课堂点睛用描点法作二次函数用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；的图象；观察估计二次函数的图象与观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标；确定一元二次方程确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解的解。在求一元二次方程的解的时候，你愿意采用今天学习的这种方法吗？w二次函数二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示，求一元二次的图象如图所示，求一元二次方程方程-2x-2x2 2+4x+1=0+4x+1=0的近似根的近似根. .驶向胜

11、利的岸w(1).观察估计观察估计二次函数二次函数y=-2xy=-2x2 2+4x+1+4x+1的的图象与图象与x x轴的交点的横坐标；轴的交点的横坐标；w由图象可知由图象可知,图象与图象与x x轴有两个交点轴有两个交点, ,其横坐其横坐标一个在标一个在-1-1与与0 0之间之间, ,另一个在另一个在2 2与与3 3之间之间, ,分分别约为别约为-0.2-0.2和和2.22.2( (可将单位长再十等分可将单位长再十等分, ,借借助计算器确定其近似值助计算器确定其近似值) ). .w(3).确定方程确定方程-2x-2x2 2+4x+1=0+4x+1=0的解的解; ;w由此可知由此可知, ,方程方程

12、-2x-2x2 2+4x+1=0+4x+1=0的近似根为的近似根为:x:x1 1-0.2,x-0.2,x2 22.2.2.2.课堂练习综合运用如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x0)。柱子OA的高度是多少米？若不计其它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？AOx/my/m解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3， OA=3m 而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3 水池的半径至少为3m.课堂寄语 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程没有应用价值，但它体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘。x-4.1-4.2-4.3-