第2章平面汇交力系

1、工 程 力 学第2章 平面汇交力系教学提示：本章主要介绍平面汇交力系的基本内容，包括平面汇交力系的基本概念以及平面汇交力系平衡与合成的几何法和解析法。教学要求：本章让学生理解平面汇交力系的基本概念，掌握平面汇交力系平衡与合成的几何法和解析法。平面汇交力系是平面任意力系的特殊情况，主要研究以下2个问题：(1) 平面汇交力系平衡与合成的几何法。(2) 平面汇交力系平衡与合成的解析法。2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法1.概念汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。平面汇交力系：汇交力系中各力的作用线位于同一平面内的力系，否则称为空间汇交力系。2.平面汇交力系合成的几何法（1）两个汇交力的合

2、成。如图2.1所示，设在物体上作用有汇交于点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点。也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图21b所示。图2.1（2）多个力汇交力的合成。设作用于物体上点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2.2a所示。应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F3合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图2.2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式

3、为 R=F1F2F3F4 （21）实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2.2c所示。然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图2.2d所示。把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点指向终点，合力的作用线通过汇交点。这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。从图2.2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不

4、会影响合成的最后结果。图2.2将这一作法推广到由n个力组成的平面汇交力系，可得出如下结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。矢量关系式为： R=F1F2F3Fn=Fi （21b）或简写为：R=F （矢量和） （21c）若力系中各力的作用线位于同一条直线上，在这种特殊情况下，力多边形变成一条直线，合力为： R=F （代数和） （22）需要指出的是，利用几何法对力系进行合成，对于平面汇交力系，并不要求力系中各分力的作用点位于同一点，因为根据力的可传性原理，只要它们的作用线汇交于同一点即可。另外，几

5、何法只适用于平面汇交力系，而对于空间汇交力系来说，由于作图不方便，用几何法求解是不适宜的。对于由多个力组成的平面汇交力系，用几何法进行简化的优点是直观、方便、快捷，画出力多边形后，按与画分力同样的比例，用尺子和量角器即可量得合力的大小和方向。但是，这种方法要求这图精确、准确，否则误差会较大。3.平面汇交力系平衡的几何条件如图2.3所示，设作用在刚体上的力组成平面汇交力系，若力系平衡，则图2.3在用几何法求解力系的合力中，合力为0，意味着力多边形自行封闭。结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的矢量和为零或力多边形自行封闭。例1 已知：简支梁AB，在中点作用力，方向如图，求反力。解

6、：1取研究对象AB梁2受力分析如图3作自行封闭的力三角形如图 4求解 例2已知：支架ABC，A、B处为铰支座，在C处用销钉连接，在销上作用，不计杆自重。求：AC和BC杆所受的力。解：1取研究对象销钉C2受力分析3作自行封闭的力多边形。4解三角形 从以上例题可以得出, 几何法解题步骤：选择研究对象；作出受力图；选择适当的比例尺作力多边形；求出未知量。2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的。1.力在平面直角坐标轴上的投影设力F用矢量表示如图2.4所示。取直角坐标系oxy，使力F在oxy平面内。过力矢量的两端点

7、A和B分别向x、y轴作垂线，得垂足a、b及a/、b/，带有正负号的线段ab与a/b/分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。并规定：当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值；反之，当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时，力的投影取负值。力的投影的值与力的大小及方向有关，设力F与x轴的夹角为，则从图2.4可知 （23）一般情况下，若已知力F与x和y轴所夹的锐角分别为、，则该力在x、y轴上的投影分别为 （24）即：力在坐标轴上的投影，等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。当力与轴垂直时，投影为零；而力与轴平行时，投影大小的绝对值等于该力的大

8、小。图2.4 图2.5反过来，若已知力F在坐标轴上的投影Fx、Fy，亦可求出该力的大小和方向角： （25）式中为力F与x轴所夹的锐角，其所在的象限由Fx、Fy的正负号来确定。在图23中，若将力沿x、y轴进行分解，可得分力Fx和Fy。应当注意，力的投影和分力是两个不同的概念：力的投影是标量，它只有大小和正负；而力的分力是矢量，有大小和方向。它们与原力的关系各自遵循自己的规则。在直角坐标系中，分力的大小和投影的绝对值是相同的。同时，力的矢量也可以转化为力的标量进行计算，即 F=Fx+Fy= （26）式中i、j分别为沿直角坐标轴x、y轴正向的单位矢量。力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用

9、非常普遍，必须熟练掌握。例2.1 如图2.5所示，已知，各力的方向如图，试分别求各力在x轴和y轴上的投影。解：根据公式（23）或（24），列表计算如下力力在x轴上的投影（）力在y轴上的投影（）F1F2F3F42.合力投影定理为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。图2.6如图2.6所示，设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的点，如图2.6所示。从任一点A作力多边形ABCD，如图2.6b所示。则矢量就表示该力系的合力R的大小和方向。取任一轴x如图示，把各力都投影在x轴上，并且令FX1、FX2、FX3和Rx分别表示各分力F1、F2、F3和合力R在x

10、轴上的投影，由图2.6b可见 Fx1=ab，Fx2=bc，Rx=ad而 ad=ab+bc-cd因此可得Rx=Fx1+Fx2+Fx3这一关系可推广到任意个汇交力的情形，即Rx=Fx1+Fx2+Fxn=Fx （26） 由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。3.用解析法求解平面汇交力系的合力当平面汇交力系为已知时，如图2.7所示，我们可选直角坐标系，先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影Rx、Ry，从图2.7中的几何关系，可见合力R的大小 和方向由下式确定： （27）式中：为合力R与x轴所夹的锐角，R在哪个

11、象限由Fx和Fy的正负号来确定，具体详见图2.8所示。合力的作用线通过力系的汇交点。 图2.7 图2.8 例2.2如同2.9所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向。解： （1）几何法取比例尺为：1cm代表10kN，画力多边形如图2.9b所示，其中ab=。从起点a向终点d作矢量，即得合力R。由图上量得，ad=4.4cm，根据比例尺可得，R=44kN；合力R与水平线之间的夹角用量角器量得=。图2.9（2）解析法取如图2.9所示的直角坐标系，则合力的投影分别为：则合力R的大小为： 合力R的方向为： 由于0，0，故在第一象限，而合力R的作用线通过汇交力系的

12、汇交点。例2.3如图2.10所示，一平面汇交力系作用于点。已知 各力方向如图。若此力系的合力R与F2沿同一直线，求F3与合力R的大小。解： （1）几何法取比例尺如图所示。取任一点a开始作力多边形，由b点作得折线abc，再从折线上的c点和a点分别作F3和R的平行线，它们相交于一点d。多边形abcd即为力多边形。根据比例尺量得R=573N，F3=141N，合力R的作用线通过汇交点。图2.10（2）解析法取如图2.10所示的坐标系。由题可知R沿x轴正向，则：又因为： 则得： 即 得 又由 得 即 4.平面汇交力系平衡的解析法由公式（27）可知要使R=0，必须R=0，即=0上面式中和恒为正值，所以要使

13、R=0，必须且只须： （29）因此，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中各力在两个不平行的坐标轴中的每一轴上的投影的代数和等于零。式（29）称为平面汇交力系的平衡方程。它们相互独立，应用这两个独立的平衡方程可求解两个未知量。利用平衡方程求解实际问题时，受力图中的未知力指向有时可以任意假设，若计算结果为正值，表示假设的力的指向就是实际的指向；反过来，若计算结果为负值，表示假设的力的指向与实际指向相反。在实际计算中，适当地选取投影轴，可使计算简化。用几何法求解时，未知力的实际指向由力多边形的封闭边来确定。力多边形中所有力都环绕力多边形的同一方向且首尾相接，利用这一条件即可确定未知力的指

14、向。例2.4 一物体重为30kN，用不可伸长的柔索AB和BC悬挂于如图2.11a所示的平衡位置，设柔索的重量不计，AB与铅垂线的夹角，BC水平。求柔索AB和BC的拉力。解：（1）受力分析：取重物为研究对象，画受力图如图2.11b所示。根据约束特点，绳索必受拉力。（2）先用几何法求解作力多边形，求解未知力。选取比例尺1cm代表15kN，任取一点a，作ac平行于W，且，过c点作TBC的平行线，过a点作TAB的平行线，两线相交于b点。于是得到封闭的力三角形abc。从图中按比例量得 TAB=34kN TBC=17kN 图2.11（3）用解析法求解建立直角坐标系Oxy，如图210b所示，根据平衡方程建立

15、方程求解例2.5 简易起重机如图2.12所示。B、C为铰链支座。钢丝绳的一端缠绕在卷扬机D上，另一端绕过滑轮A将重为W=20kN的重物匀速吊起。杆件AB、AC及钢丝绳的自重不计，各处的摩擦不计。试求杆件AB、AC所受的力。解：（1）取滑轮A为研究对象进行受力分析：杆件AB及杆件AC仅在其两端受力且处于平衡，因此都是二力杆，设都为受拉；由于不计摩擦，钢丝绳两端的拉力应相等，都等于物体的重量W。如果不考虑滑轮的尺寸，则滑轮的受力图如图211b所示。（2）用几何法求解作力多边形，求未知力。取比例尺1cm表示10 kN，再任选取一点a，作ab平行于T1，且ab=W；过b点作bc平行于T2，且bc=W；

16、然后再从a点与c点分别作直线平行于力RAC和RAB，此两直线相交于d点。于是得到封闭的力四边形abcd，如图2.12c所示。根据力多边形首尾相接的矢量规则，即可确定出力RAB和RAC的指向。从图中按比例尺量得RAB=7.3kN， RAC=27kN 由于力多边形上各力的指向表示其实际的受力方向，所以在受力分析中RAC的指向假定错了，即杆件AC为受压力；而RAB的指向假定正确，即AB杆确实是受拉力。图2.12（3）用解析法求解取坐标轴Axy如图212b所示，利用平衡方程，得 由于T1=T2=W=20kN，代入上式即得 RAC=RAC为负值，说明AC杆受压力。 解得 RAB=7.321kNRAB为正

17、值，说明AB杆受拉力。从上面计算过程可以看出，用几何法求解的特点是简单、直观，但不如用解析法计算精确。本章小结本章研究了平面汇交力系的合成和平衡问题：1) 平面汇交力系的合成和平衡问题应用两种方法：（1）几何法，平面汇交力系平衡的几何条件是该力系的力多边形自行封闭。（2）解析法，应用解析法解决平面汇交力系的合成和和平衡问题是本章的重点。合成时分别求解=+=，。然后利用进行合成。其平衡方程是2) 应用平面汇交力系平衡方程时要注意：（1）所选择的研究对象应作用有已知力（或已经求出的力）和未知力；（2）先以受力简单并能由已知力求得未知力的物体作为研究对象，然后再以受力较为复杂的物体作为研究对象。（3

18、）进行受力分析时需将研究对象从其周围物体中隔离出来。画出受力图。（4）选取坐标系应尽量使坐标轴与未知力平行或垂直，使力的投影简便且平衡方程中包括最少的数目的未知量，避免解联立方程。习 题2.1 平面刚架在B处受一水平力F作用，如图所示，刚架自重不计，设F=20kN，L=8m，h=4m，则求A、D处的约束反力。 题图2.12.2铆接薄板在孔心A、B和C处受三力作用，如图所示。，沿铅直方向；，沿水平方向，并通过A；，力的作用线也通过点A。求此力系的合力。 题图2.22.3 如图所示，平面汇交力系由三个力组成，其中沿水平方向作用，大小为20kN，和大小相等且互相垂直。设三力的合力竖直向下，大小为15kN