12矩阵的QR分解

1、11111c111T厂1a1111s1i第一讲矩阵的QR分解一、Givens矩阵与Givens变换1.定义：设实数c与s满足J s' = 1，称1IIIsI:I:I1Ic（j）1I1-j（i j）为Givens （吉文斯）矩阵（初等旋转矩阵），也记作T厂Tj（c,s）.由Givens矩阵所确定的线性变换称为Givens变换（初等旋转变换）说明：（1 ）实数c1，故存在r，使c = cos 二, s 二 sin 二.（2）y =jX中Tj确定了将向量x变成y的一种变换，正是 Givens变换.二阶情况下，cos sin -y =x确定的正是平面直角坐标系中IL- sin 二 cos&qu

2、ot;绕原点的一个旋转变换（按顺时针方向旋转 ：角）.（3）以上实Givens矩阵也可推广成为复初等旋转矩阵1Tikce"se，2-se"3(k)ik其中c与s仍为满足的实数，实角度，显然，det( U ik 厂2 j(t t) c e当 1 J 2 S 时，det(UiJ =;当% = 2n 时，det(Uik)= 1 .2.性质_1_T(1) Tj(c,s) = Tj(c,s) - Tj(c, s),- s二- sin（日）=sin（-日），（即旋转日度再反向旋转9度，就可还原），det Ti/ c,s则有ss jcc j(k = i, j)匕s =j门2，In i 使

3、ii nj，TijX =込 巴1 ， i -1j-1,0定理1设X =pt t 1 , 2 , ,则存在有限个Givens矩阵的乘积t，使得t x二说明:(1)x|； XT X （x为实向量时）；zxh（X为复向量时）；(2)e10 , 0, , 0T证:0的情形:构造2（c,s）: c 二(2)T12 X 一0,对T12x再考虑3（C,S）:_右27 c阳：Tx 二:3,0,0,2 ,3T1n（3）依此类推，构造Tik(c,s): c 二：221k2 2亠 亠2，12k“2I 2，（2,3，E ）T1 k (T1 ,k -1T13 T12 X )7； 2 :, 0，0，0,T匕1k 1 ,

4、n直至 k= n .令T 二 T1nT1,n_1 T12 ,则有Tx =7；2n2，0，0,再考虑厂0的情形:若1八2k0，k 0(1n),则从第一个不为零的k开始运用上述方法即可.证毕.推论：对于任何非零列向量x Rn及任何单位列向 量Z（ |z| = 1），均存在着有限个 Givens矩阵的乘积T， 使 T x = x z .证：由上述定理，对 x存在有限个 Givens矩阵(1)(1)12,T13,T,：）的乘积(1 )(1)T(1)1, n -1(1)T13(1)12(1 )对z同理存在有限个Givens矩阵T,2）,32）厂，t,的乘积(2)(2)(2).1, n -1(2)t13(

5、1)x e1(2)-1T(1)x(2)12(2)(2(2)(xz)其中T (2)t (2).T 1n T 1,n -1T122)" T(1 )丁 (1)1n T1,n -1T121)x = x z(2)t12(2)1n 113(2)-112(1 )(1 ).1 n 1(112(1)T(1 ).1 n -1(1)T1 n -1(1 )12为有限个Givens矩阵的乘积证毕.(2)(2)(2)(1 )(1 )121312例1.用Give ns变换将向量x =( 1 , - 3 , 5)变换为与e ( 1 , 0 , 0 )同方向.解：对 X 构造 T12(c,s) : c 二-3佑宀帀，

6、则%X =(币，0,5),对T12x构造3(c,s) : c 二105,S = r ，贝UV 35 V 35T13 (T12 X)(/ 35 ,0,0)于是XJ035T " T13T12 10735V10101000 1001000135V35V 351311一 币1V1001151510350350V 35Tx 二 V 35 e!.例2.用Givens变换将向量 ( 2,3,0,5)变换为 与e (1 ,0,0,0)同方向.23解：对 x 构造 T12(c,s): c =, s =，贝yV13<13/T%X 二(13 ,0,0,5),r5对T12X构造 Ti4(c,s): c

7、, s，贝yV38<38T/T12X)= (V38 ,0,0,0)于是235V387 380&381321二713713001001010151307494494“38Tx 二 V38e1.14Jl35 12311 V3800研;丁1300111 0100 1 132111 0010 :：001|；5丘10010 11 V38000001 一12二、QR分解1.定义：如果实（复）非奇异矩阵A可化为正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵 R的乘积，即A = QR，则称上式为A的QR分解.2.求QR分解的方法(1) Gram-schmidt 正交化方法：定理2.设A是n阶非奇异矩

8、阵，则存在正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R使得A = Q R且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外，上述分解唯一证：设A记为A = _ai , a2，,an，由A非奇异二 aa2, ,an线性无关.采用Gram-schmidt正交化方法将它们正交化:先对ai，a2，,an正交化，可得biIb2aia2b3a3k21 b1k31 b1k 32 b2bnankn1bi幣匕？心川一上心1k2ikni其中aajk厂 (j i)(bj,bj )(bi , bj ) = 0,j 将上式改写为a11=b11a2=k21bq + b2彳a31-k 31 b1 * k32 b2 +b

9、31lan=k b + k b + n 1 F叫 n 2+kn_1bn_1+bn再对d，b2，,bn单位化，可得1q bi(i = 1, 2, n)，即 b厂 $ q：.bi用矩阵形式表示为1k2ikni1k2iknianbib2bnkn2knn -1b2bib2qiq2QR其中q2qnR = diagb21k2ikni1k2ikniQ是正交（酉）矩阵R是实（复）上三角矩阵唯一性：采用反证法。设存在两个 QR分解，Q Q1R1 ,Q = QRR 1 = QD式中D = RiR 1仍为实非奇异上三角矩阵于是TTT TTI = Q Q 二 Q1DQ1D = D Q1 Q1 D = D DHHH(I

10、 = Q Q = Q1D Q1D = D D )-D为正交矩阵(酉矩阵)于是ai1ai2aina22a2丨 aj = 0 (j < j)2 n2：:厂 1 (i = j)a nn故，D只能为对角阵，且D是对角元素绝对值(模)全为1的对角阵这一证明方法可推广为：定理3.设A是mx n的实（复）矩阵，且其 n个列线性无关，则A具有分解A = QR其中Q是m n实（复）矩阵，且满足QtQ=I（QhQ=I），R是n阶实（复）非奇异上三角矩阵该分解除了相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角矩阵因子外，上述分解唯一例3.使用Schmidt正交化方法求矩阵1 2 2IIA=2121 2 1的QR分

11、解.解：令 a = （1, 2,1）, a? = （2,1, 2f , a （2, 2,1）,1 2 22112- (a1 ,a2 ，a3),121A先正交化:1 2 21 2 2匕? a(a2bi(b1 , b1 )(1(1 y1 1 6111 |-2 | =-1 11 6111l2丿1丿<1丿1 2 21 2 2=a2 b|b3a3(a 3，bi ) bi(bi, bi)(a 3，b2 ). b2(b2，b2 )1 2 21 2 21_1、 (1I2 ,1171 1 1 112一2 | - | T |0 11 613 |1l1丿11丿l1丿1< 2丿71a3_b1P631在单位化:q111|bi |b1171q2b1q3于是a1|b2|1|b3I2b3=3 ,a2bj 二、6q1 5b21打,1打11bV2b1+3b2 ?b2 二 v 3q210142丿a32 5716b1+3b2 b3二 2q3-711_ I11611A -(ai , a2 ,a3)-(bi , b2 ,b3)0111310011J-117_ 111611=(