概率论与数理统计期末试题与详细解答

1、概率论与数理统计期末试卷一、填空题(每题4分，共20分)1、假设事件A和B满足P(B/A) 1 ,则A和B的关系是2、设随机变量X()，且PX1PX2,则P X kO2、3、 设X服从参数为1的指数分布，则E(X)o4、设XN(0，2)，YN(0，1)，且X与Y相互 独立，则Z X Yo5、X N(1,5)，Y NQ，16)，且X与Y相互独立，令Z 2X Y 1,则二、选择题(每题4分，共20分)1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为()旦31JA、32B、8C、16D、82、 随机变量X和Y的XY。，则下列结论不正确的是()A、D(X Y) D(X) D(Y)B、

2、X a与Y b必相互独立C、X与Y可能服从二维均匀分布D、E(XY) E(X)E(Y)23、样 本X1，X2， ， Xn来 白 总 体X,E(X)，D(X)， 则 有()2A、Xi(1I n)都是的无偏估计B、X是的无偏估C、Xi2（1n）是2的无偏估计D、X2是2的无偏估2、4、设Xl，X2,，Xn来白正态总体N（,）的样本，其中已知,未知，则下列不是统计量的是（）min XA、1i n5、在假设检验中，检验水平的意义是（）A、原假设H。成立，经检验被拒绝的概率B、原假设H。不成立，经检验被拒绝的概率C、原假设H。成立，经检验不能拒绝的概率D、原假设H。不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题

3、（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为求：X的分布函数，（2）D（X）。（5分）2、已知连续型随机变量X的分布函数为D、Pk0.20.30.5F(x)A B arctan x,x），求（1）常数A和B ,(2)p(1)（3）概率密度f（x）(8分)4、设X1,X2Xn是总体X的样本，求X的数学期望 和方差的矩3、设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1U0,6,X2服从2的指数分布，X3 （3）,计算D（X12X23X3）。（5分）估计量。（5分）5、设随机变量X服从N（0,1）分布，求随机变量Y eX的概率密度函数。（5分）四、应用题（共32分）1、1、已知在10只晶体管中有2只次

4、品，在其中任取两次，每次任取一只，不放回抽样。求下列事件的概率：（1）两只都是正品;（2）一只正品，一只次品。（8分）2、已知随机变量（X，Y）的分布律为问：（1）当，为何值时，X和Y相互独立。（2）求PX2Y 1。（8分）3、某批矿砂的5个样品中的镣含量，经测定为（）3.253.273.243.263.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在0.01下能否 接受假设：这批矿砂的镣含量的均值为3.25。（以054.6041）（8分）4、若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁， 用他们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的，若把每把钥匙 试开1231/31/61/91

5、/18YX一次后放回。求试开次数X的数学期望。（8分）D(X12X23X3) D(X)4D(X2) 9D(X3)概率论与数理统计期末试卷答案、填空题（每题4分，共20分）1、A B2、2ke2k!(k0,1,.)3、24、23二、选择题（每题4分, 共20分）1、B2、B3、B5、A三、计算题（共28分）0 x1F(x)P X1P X10.2P X20.512x 2x 31、p X 1P X2P X 31x3D(X)E(X2)E2(X)3.62、解（1）lim F(x)因为x0,lim F(X)x1.N(0,3)5、lim所以x(AB arctanx)0,limx(AB arctanx)1.A

6、解得(2)p( 1X 1)F(1) F(1)(1f(x)F (x)(3)1_(1 x2),111-)(-)2 42 423、解：因为随机变量XX2,X3相互独立，所以随机变量X2X2,3X3也相互独立。D(X12X23X3) D(X)4D(X2) 9D(X3)(2) P(AA2A1A2)P(A/2)P(AiA2)P(Ai)P(A Ai) P(A)P(A2AI)8=102 2 89 10 91645又由于X1U0,6】,所以Dg)_2(6 0)12由于X2服从12的指数分布,所以D(X2) 4由于X3所以D(X3)3(6D(X12X23X3)=120)2+4464、解:E（X）_2,E(X )D

7、(X).2E(X)1nXii 1nXi21解得:nXi1X,n(XiX)i 1】S25、解fX(x)0,FY(y)0,FY(y)fY(y)所以四、应用题（共32分）y0,fY(y)yXP eyLnyLny12122(Lny)2eyyP X000P YP Y；(Lny)2e2x221201、解：设A为事件“第i次取出的是正品”（i 1, 2 ）,P() P(AJP(A2.A1)(1)8 710 92845砂的镣含量为3.25。PiY123Pi1112918219，9。经验证pjPIP，i 1,2, j 1,2,3.成立21所以当9,&时，X和Y相互独立。(2)由于X和Y相互独立，可得取。

8、01,检验的拒绝域为t旧方。D2、(1)p22p2.p.2,p23p2.p.3,1),-(-)9 18 318,解得3、按题意需检验Ho:3.25 H1:0n 5,X3.252,S0.01304,顷05(4) 46041,算得计0.3434.6041,t未落在拒绝域中，接受H0。认为这批矿计Xi10,zn 1i 1zn 1i 1PiP11 ()P2()nn4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为()2、随机变量X和Y的XY0，则下列结论不正确的是()A、D(X Y) D(X) D(Y)B、X a与Y b必相互独立C、X与Y可能服从二维均匀分布D、E(XY) E(X)E(Y)23 、 样 本X

9、I，X2,X来 白 总 体X,E(X),D(X)， 则 有()A、Xi2(1 i n)是的无偏估计B、X是的无偏估Xi4、引进随机变量1,前i-1次没打开0,前i-1次打开i2,3,X11E (X)E(X。E(Xi)i 2n1E(Xi)i 2n1P2i 2,n 1、，-1、1(-)(-)2nnn(土n1、将3粒黄豆随机地放入A、32C、116n计C、X：(1 i n)是2的无偏估计D、X2是2的无偏估F(x)(3)已知连A B arctan x,x概率密度f（x）续型随（，八求(8分)机变量X的（1）常数A和B ,分布函(2) P( 11),3、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1U0

10、,6，X2服从2的指数分布，X3 （3）,计算D（X12X23X3）。(5分)4、设X1，X2Xn是总体X的样本，求X的数学期望 和方差2的矩估计量。（5分）5、设随机变量X服从N。1）分布，求随机变量Y eX的概率密度函数。、/、/、/ 一 -一.-/2、-_-4、设X1，X2，Xn来白正态总体N（，）的样本，其中已知,未知，则下列不是统计量的是（A、原假设H。成立，经检验被拒绝的概率B、原假设H。不成立，经检验被拒绝的概率C、原假设H。成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为X123Pk0.20.30.5min XiA、1i ninXC、i1D、Xn

11、Xi5、在假设检验中，检验水平的意义是（求：X的分布函数,(5分)D、原假设H。不成立，经检验不能拒绝的概率(2) D(X)。（5分）四、应用题（共32分）1、1、已知在10只晶体管中有2只次品，在其中任取两次，每次任取一只，不放回抽样。求下列事件的概率：（1）两只都是正品;（2）一只正品，一只次品。（8分）2、已知随机变量（X，Y）的分布律为问：（1）当，为何值时，X和Y相互独立。（2）求PX 2Y 1。（8分）3、某批矿砂的5个样品中的镣含量，经测定为（）3.253.273.243.263.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在0.01下能否接受假设：这批矿砂的镣含量的均值为3.

12、25。（t0.0054.6041）（8分）4、若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用他们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的，若把每把钥匙试开一次后放回。求试开次数X的数学期望。（8分）1/31/61/91/18YXYXD(X12X23X3) D(X)4D(X2) 9D(X3)概率论与数理统计期末试卷答案、填空题（每题4分，共20分）1、A B2、2ke2k!(k0,1,.)3、24、23二、选择题（每题4分, 共20分）1、B2、B3、B5、A三、计算题（共28分）0 x1F(x)P X1P X10.2P X20.512x 2x 31、p X 1P X2P X 31

13、x3D(X)E(X2)E2(X)3.62、解（1）lim F(x)因为x0,lim F(X)x1.N(0,3)5、lim所以x(AB arctanx)0,limx(AB arctanx)1.A解得(2)p( 1X 1)F(1) F(1)(1f(x)F (x)(3)1_(1 x2),111-)(-)2 42 423、解：因为随机变量XX2,X3相互独立，所以随机变量X2X2,3X3也相互独立。D(X12X23X3) D(X)4D(X2) 9D(X3)(2) P(AA2A1A2)P(A/2)P(AiA2)P(Ai)P(A Ai) P(A)P(A2AI)8=102 2 89 10 91645又由于X

14、1U0,6】,所以Dg)_2(6 0)12由于X2服从12的指数分布,所以D(X2) 4由于X3所以D(X3)3(6D(X12X23X3)=120)2+4464、解:E（X）_2,E(X )D(X).2E(X)1nXii 1nXi21解得:nXi1X,n(XiX)i 1】S25、解fX(x)0,FY(y)0,FY(y)fY(y)所以四、应用题（共32分）y0,fY(y)yXP eyLnyLny12122(Lny)2eyyP X000P YP Y；(Lny)2e2x221201、解：设A为事件“第i次取出的是正品”（i 1, 2 ）,P() P(AJP(A2.A1)(1)8 710 92845砂的镣含量为3.25。PiY123Pi1112918219，9。经验证pjPIP，i 1,2, j 1,2,3.成立21所以当9,&时，X和Y相互独立。(2)由于X和Y相互独立，可得取。01,检验的拒绝域为t旧方。D4.6041,t2、(1)n 5,X3.252,S0.