概率论与数理统计第四版答案习题答案

1、1习题1.1解答1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件A, B, C分别表示“第一次出现正面”，“两 次出现同一面，“至少有一次出现正面。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。解：Q = (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反) A = (正，正)，(正，反)；B = (正，正)，(反，反)C = (正，正)，(正，反)，(反，正) 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件A, B,C,。分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB, A+B, AC,BC, A B C D中的样本点。解：Q = (1,1),(1,2)， ，(

2、1,6),(2,1),(2,2)， (2,6)，(6,1),(6,2)， ， (6,6);AB = ：(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)：;A B=1,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1；AC =；BC = 01),(2,2)；A-B - C - D = X1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4)?3.以A, B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A, B,C表示以下C事件A1,A2, A3分别表示甲、乙、丙射中。试说A2,AA3,A1A2, AA2,

3、A1A2A,AA A2AM.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有 人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人 击中。5.设事件A,B,C满足ABC#小，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:A + B +C , AB +C , B AC.事件：(1)只订阅日报；(3)只订一种报；(5)至少订阅一种报；(7)至多订阅一种报；(9)三种报纸不全订阅。解：(1) ABC ；(2) ABC ；(4) ABC十入百。十ABC ;(6) ABC ;(7)(2)只订日报和晚报；(4)正好订两种报；(6)不订阅任何报；(8)三种报纸都订阅；(3

4、)ABC +ABC + ABC ；(5) ABC;ABC + ABC十ABC + ABC或AB +AC +BC(8) ABC ;(9) A + B4.甲、乙、丙三人各射击一次，明下列事件所表示的结果:2解：如图:A B C =ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC;AB C = ABC C;B - AC = ABC ABC ABC=BA ABC=BC ABC6. 若事件A, B,C满足A+C = B +C，试问A = B是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A = 3,4,5, B=b, C=Z,5,那么，A+C =B +C ,但A# B。7. 对于事件A, B,C，试问A

5、 (BC) = (A B) + C是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A = &4,5h B=,5,6, C = 6,7,那么A(B C)=七,但是(A B)+C =&6,7。8. 设P(A) = 1, P(B) = 1，试就以下三种情况分别求P(BA):32(1)AB=C ,(2)AUB ,(3)P(AB)=8.解：1(1) P(BA) =P(B AB) =P(B) P(AB)=；21(2) P(BA) =P(B_A) =P(B)_P(A) =_;6一 一113(3) P(BA) =P(B _ AB) =P(B) _ P(AB) = _=_。2 8 839. 已知P(A

6、) =P(B) =P(C) =4 , P(AC) = P(BC)=* ,P(AB) = 0求事件A, B,C全不发生的概率。4解：P(ABC) = P A B C = 1 - P(A B C)=1 - P(A) P(B) P(C)-P(AB) _P(AC)-P(BC) P(ABC) I11111c 3二_ _0_ - 0 = _|4 4 416 16810.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A=“三个都是红灯”=“全红”；B=“全绿”；C =“全黄”；D =“无红”；E =“无绿”；F =“三次颜色相同”；G =“颜色全不相

7、同”；H= “颜色不全相同”。解：P(A) = P(B) = P(C)1 1 11；P(D)= P(E)2 2 28-3 3 3一273 3 327 111P(F)=1-=9；P(G)=3!2= ;3 3 3 918P(H) =1-P(F)=1m.9911 .设一批产品共 100件，其中 98件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件(分三 种情况：一次拿 3件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3次)，试求：(1)取出的 3件中恰有 1 件是次品的概率;(2)取出的 3件中至少有 1 件是次品的概率。解：一次拿3件：12.从0,1,2，,9中任意选出 3 个不同

8、的数字，试求下列事件的概率:A,= 三个数字中不含 心5, A2= 三个数字中不含0或5。CC1(1) P=- =0.0588；(2)C00每次拿一件，取后放回，拿3次：_ _22 98(1)P=2 98x3 =0.0576 100每次拿一件，取后不放回，拿3次：2 98 97(1)p =2 98 97x3 =0.0588 100 99 98C2C98+C；C；8=0.0594；C1300(2)P=1-竺=0.0588；100(2)p=_98邓7叩6100 99 98= 0.05945解:C3P(Ai)C1013 .从0,1,2广，9中任意选出 4个不同的数字，计算它们能组成一个4 位偶数的概

9、P(A2)2C； -C；C3014C；=一或pg) =iT15Ci301415解：P=5p93一4P；2419014. 一个宿舍中住有6 位同学，计算下列事件的概率:（1） 6 人中至少有 1 人生日在 10月份;(2)6 人中恰有 4 人生日在 10月份；(3)6 人中恰有 4 人生日在同一月份；解：642(1) P =1 - =0.41 ；(2) P=661212_ 1 _ 4 .2(3) P=0.0073= 0.00061 ;15.从一副扑克牌（52张）任取 3张（不重复），计算取出的3 张牌中至少有 2张花色相同的概率。解：C4C13C4C13C39P =-；-= 0.602或P =

10、1C2C3C1C1C1C4C13C13C13C26习题1.2解答1.假设一批产品中一、二、三等品各占60% , 30%、10%,从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解： 令 A = “取到的是 I 等品”，I =1,2,3PZA AX P(A1A3) P(A1)0.62P (A1A3)P(A) P(A3)0.93时，系统 I和 II有效的概率分别 0.92 和 0.93,在系统 I失灵的条件下，系统 II仍有效 的概率为 0.85,求(1)两种报警系统 I和 II都有效的概率；(2)系统 II失灵而系统 I有效的概率；(3)在系统 II失灵的条件下，系统 I仍有效的概率。解：

11、令A =系统(I)有效 ，B =系统(n)有效则P(A) = 0.92,P(B) = 0.93,P(B | A) = 0.85(1)P(AB) =P(B - AB) = P(B) - P(AB)= P(B) -P(A)P(B|A) =0.93-(1 -0.92) 0.85 = 0.8 6 2(2)P(BA) =P(A AB) =P(A) P(AB) =0.920.862=0.058(3)P(A|B)= = 50.8286P(B) 1-0.934.设0 P(A) 1 ,证明事件A与B独立的充要条件是P(B| A) = P(B|A)证: n ： 丁A与B独立，二A与B也独立。P(B| A) = P

12、(B),P(B| A) = P(B)P(B|A) =P(B| A) u :v0 P(A) 10 P(A) 1 -P(A)7而由题设P(B |A) = P(B| A)()二(_ )P(A) P(A)即1 _P(A)P(AB) =P(A)P(B) _P(AB)二P(AB) =P(A)P(B)，故A与B独立。5.设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是，求P(A)和P(B).4一_1解：P(AB) =P(AB)=,又A与B独立41.P(AB) = P(A)P(B) =1 -P(A)P(B) =_41P(AB) =P(A)P(B) =P(A)1 _ P(B):4.P(A)

13、=P(B), P(A) -P2(A) =14胃1即P(A) =P(B)=。26. 证明 若P(A)0,P(B)0,则有(1)当A与B独立时，A与B相容；(2)当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A) 0, P(B) 0(1)因为A与B独立，所以P(AB) =P(A)P(B) A0 , A与B相容。(2)因为P(AB) =0，而P(A)P(B)0 ,P(AB) =P(A)P(B), A与B不独立。7. 已知事件A, B,C相互独立，求证AUB与C也独立。证明：因为A、B、C相互独立，P( A B) C = P(AC BC)=P(AC) P(BC) -P(ABC)= P(A)P(C) P(B

14、)P(C) -P(A)P(B)P(C)= P(A) P(B) -P(AB)P(C) = P(A B)P(C)A U B与C独立。8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为 0.7, 0.8和 0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，8那么P(A) =0.7,P(A2) =0.8,P(A3) =0.9令B表示最多有一台机床需翌J人照顾，_那么P(B) = PSA2A3A1A2A3A1A2A3AA2A3)9(&A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)=

15、 0.7 0.8 0.9 0.3 0.8 0.9 0.7 0.2 0.8 0.7 0.8 0.1那么P(A) =P(AA2An) (AniAn.2A2Q1= P(AA2An)1P(AniAn2A2n) LP(AIA2A2n)n2n2n=【P(Ai) . I P(A)-H P(A)i1i zfl 1 i=1= 2Pn_p2n= Pn(2 _pn)P(B) =P(A An1)(A2An 2)(AnA/n=1P(AiAni)i n= P(Ai) P(An i) -P(Ai)P(An j)注：利用第 7题的方法可以证 明(A十Af)与(Aj+An+j)i尹j时独立。10.0 张奖券中含有 4张中奖的奖

16、券，每人购买(1)前三人中恰有一人中奖的概率；(2)第二人中奖的概率。解：令A =第i个人中奖”，i =1,2,3PIAA+AAA+ AAA)i n：I2P P2 = Pn(2 P)ni 31 张，求= 0.9 0 29.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0 p in_2/c22n-22(2)P(BJ3)= Cn(0.94)(0.06) = Cn(0.94) (0.06)(3)PC Bk) =1-P(Bna)-P(Bn) =1 -C：0.06(0.94)n1-(0.94)n15.进行算 U独立试验，每次试验成功的概率均为p ,试求以下事件的概率：(1)直到第r次才成功；(2)第r次成

17、功之前恰失败k次；13(3)在n次中取得r(1rn)次成功;(4)直到第n次才取得r(1 qr壬n)次成功。解：(1) P :r _1=p(1 - p)(2) P :c r 1rk-Cr k 1p (1-p)(3) P :入 r rn _r=Cnp (1-p)(4) P :入 r rn _r-Cn 1p (1-p)16 ,对飞机进行 3 次独立射击，第一次射击命中率为 0.4 ,第二次为 0.5 ,第三次为0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6,若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：令A =“恰有i次击中飞机”，i =0

18、,1,2,3B =“飞机被击落”显然：P(A0) =(1 -0.4)(1 -0.5)(1 -0.7) =0.09P(A) =0.4 (1-0.5) (1-0.7) (1-0.4) 0.5 (1-0.7) (1-0.4) (1-0.5) 0.7= 0.36P(A2) =0.4 0.5 (1 - 0.7) 0.4 (1 -0.5) 0.7 (1 -0.4) 0.5 0.7= 0.41P(A3) =0.4 0.5 0.7 =0.14而P(B|Ao)=0, P(B|A)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1所以P(B)= P(Ai)P(B |Ai) =0.458;P(B) = 1 P

19、(B) =1 0.458 = 0.542i =014习题1.3解答1.设X为随机变量，且P(X = k) =(k = 1,2,)，则(1)判断上面的式子是否为X的概率分布；(2)若是, 试求P(X为偶数)和P(X芝5).一 ._1解：令P(X=k) = pk= ,k=1,2，(1)显然0 M pk0，求k!15CO(2) P(X为偶数)=p2kk注QOP(X一5) = Pkk=52.设随机变量 X的概率分布为P(X常数C.14解：Z ce = 1 ,而 = 1 s k! k!二c.|1号e-*1=1,即c = (1eT广3.设一次试验成功的概率为p(0 P 1),不断进行重复试验，直到首次成功

20、为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。解：P(X =k) = p(1 - p)k4,k =1,2,4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求(1)X的概率分布；(2)P(X芝5)。解：(1)P(X =k) =(1 p)kp = (0.9)kxo.1,k = 0,1,2，QOCO(2)P(X 5) =Z P(X =k)=Z (0.9) 0.1 = (0.9)55. 一张考卷上有 5 道选择题，每道题列出4 个可能答案，其中有 1 个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？所以

21、P(X =k)1， F,k =1,2， 为一概率分布。= 】o2k k注2二1=-T/k1611解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为p =1,所以这是一个n = 5,p=己的44独立重复试验。,4 Q4 d44550P(X _4) =C5(丁)C5(匚)(匚)=4444646.为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为 0.01 ,各台设备工作情况相互独立。(1)若由 1人负责维修 20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；(2)设有设备 100台，1台发生故障由 1 人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过

22、0.01?解：(1)1 (0.99)2020 x0.01x(0.99)19出0.0175(按Poisson(泊松)分布近似)(2) n =100,np =100 x0.01 =1=舄(按Poisson(泊松)分布近似)P(X芝N +1)= W。0(0.01)*0.99)100由 W1 Xe0.01k出1k出1k!查表得N =47.设随机变量X服从参数为 赤的 Poisson(泊松)分布，且P(X=0) =(1)舄；(2)P(X A1).解：P(X = 0) =e =【，=ln 20!2P(X 1) =1 P(X 1) =1 -P(X =0) P(X =1)111=1一ln 2 = (1ln2)

23、2228.设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从 Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4 页，每页上都没有印刷错误的概率。I 1. n- 2解：L P(X =1) =P(X =2),即一e-* = e顼，九=21!2!二P (X =0) =e2、4-8P = (e ) =e9.在长度为的时间间隔内， 某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)，求(1)某一天从中午 12时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率；2,求17(2)某一天从中午 12时至下午 5 时收到 1 次紧急

24、呼救的概率；9.在长度为 t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X 服从参数为2的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).求(1)某一天从中午 12时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午 12时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率;185P(X _1) E P(X =0) =1 -/10,已知X的概率分布为:X-2-10123P2a110-3aaa2a2试求(1)a；(2)Y=X 1 的概率分布。解：,1(1)- 2a +3a+a+a+2a=110-1.r a O10(2)Y-1803313P1051015试求：(1) t 的值；解：

25、11(1)云(-t)勺占+三叩占伯=1解:3(1) t=3,舄=23P(X =0) =/(2) t =5，九=52(3) P(-2 ： X 2).(2) X的概率密度;11.19 t =一12011、 X+ , Xu_1,0)22一.11(2)f(x)=一-x+,X0,3)620,其它(3)P ( 2 X 2) = (lx+1)dx+ (Ix + dxd2206212.设连续型随机变量X的概率密度为1112f(x)sinx,0,0 x % a其他试确定常数a并求P（X蓦）.a解：令Jf （x）dx =1，即sin xdx =1二-co sa=1,JI即cosa = 0,a =2JIP（X6JI

26、2口j3=sinxdx cox|2产二6213.乘以什么常数将使e2*变成概率密度函数？-bo解：令ce*dx = 1二4xJ.)21c e2e4dx=12114.随机变量X N（P,。2）,其概率密度函数为_x2-4x ：4f (x) =e6-6:bo试求k,。2；若已知f f(x)dx =C解：x2-4x 41f(x)= e66二1e7（-二：x： ,二）C顷(x)dx,求C.(x212( 3)22一，3。了2=322-bo若Jf(x)dx= ff(x)dx,由正态分布的对称性c二：可知c =2.15.设连续型随机变量X的概率密度为1.解：P(X )= 2xdx = 2，17.设顾客排队等

27、待服务的时间X(以分计)服从 九=1 的指数分布。某顾客等5待服务，若超过 10 分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5 次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y芝1).解：10P(X -10) =1 -P(X : 10) =1 _1 -e5=e. P(Y =k) =C；(e)k(1e)5*,k =0,1,2,3,4,5_2 5P(Y -1) =1 _(1 -e )5： 0.5 1 6 7以Y表示对X的三次独立重复试验中“公，0壬x 1 0,其他1 ,弓出现的次数，试求概率P(Y = 2).16.2123P(Y=2)=C3(,(-)64设随机变量X服从1,5上的均

28、匀分布，试求P(x1 X x2).如果(1)为1乂25；(2)145乂2.1解：X的概率密度为f(x)=401 _ x _ 5其他(1)P(x1: X : x2)x211羊七、1)(2)P(x1: X ：x2)51=一dx =1_(5_为)423(1)_ 11X3D0.40.4P0.2P(X - -1)2(2) P(X ：2|X=1)必-=三P(X =1)3习题1.4解答1.P(X解:已知随机变量X的概率分布为P(X=1) = 0.2 , P(X=2) = 0.3,=3)=0.5，试求X的分布函数；P(0.5壬X42)；画出F(x)的曲线。-00.20.5.1F(x)曲线：F(x)F(x),1

29、 x ：: 2；P(0.5壬X壬2) =0.5,2三x ： 3,x _30.50.22.设连续型随机变量X的分布函数为0,x 10.4,一1苴x 1|0.8,1 x 3I1,x芝3试求:解:(1) X的概率分布;24从家到学校的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独且概率均是 0.4,设X为途中遇到红灯的次数，试求(1)X的概率分布；3.立的，X的分布函数。(2)250,x _ 0P(X =k) =C；(2)k(3)*k = 0,1,2,3551251X0213275436p1251251258125列成表格x ：0(2) F(x) =125811251174.解:F(x

30、)1.3 中第 11题X的分布函数,试求习题并画出F (x)的曲线。设连续型随机变量X的分布函数为”A十Be-2xx 05.F(x)=解:(1)027x _3260,x _ 027试求：(1)A, B的值；(2)P(1X1);(3)概率密度函数解：(1)V F(S = lim (A + Bex) =1A =1XJ :又！m(A Be) =F(0) =0 . B=-A = 1(2)P(1 X 1) =F(1)-F(_1) =1-e2”c -2Xw, . c(3)f (x) =F(x)=，0, X 4 06.设X为连续型随机变量，其分布函数为a,x : 1;F (x) = bx ln x cx d, 1三x e;d,x e.试确定F(x)中的a,b,c,d的值。解：.F(-二)=0 . a E又.F(二)=1 . d =1又lim (bxln x cx 1) = a = 0 . c = -1x 1 -又vlim (bxln x -x +1) = d = 1二be e + 1 = 1即b =1x )e 7.设随机变量X的概率密度函数为f (x) =a试确定a的值并求 二(1 x2)F(x)和P(X| 0时，P(X只)=?小仕)=0) =队.F(t) =P