概率论与数理统计习题及答案

1、-1 -概率论与数理统计习题及答案第章1.1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：(1)(1)掷一颗骰子，记录出现的点数.A=.A=出现奇数点；(2)(2) 将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A A = =两次点数之和为 1010 , , B B = =第一次的点数，比第二次的点数大2 2(3)(3)一个口袋中有 5 5 只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5;1,2,3,4,5;从中同时取出 3 3 只球，观察其结果，A =球的最小号码为 1;1;(4)(4) 将a,b两个球，随机地放入到甲、 乙、丙三个盒子中去， 观察放球情况，A =甲盒中至少有一球；(5)(5)记录在

2、一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =通过汽车不足 5 5 台，B =通过的汽车不少于 3 3 台。解(1) S =e1,e2,e3,e4,e5,e6其中 =出现i点i =1,2，6,A= e1,e3,e5。(2)(2)S = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)(2.1) ,(2, 2), (2, 3),(2, 4),(2,5),(2, 6)(3.1) ,(3, 2),(3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)(4.1) ,(4, 2), (4, 3),(4, 4),(4,5),(4, 6)(5.1) ,(5, 2), (5, 3

3、),(5, 4),(5,5),(5, 6)(6.1) ,(6, 2), (6, 3),(6, 4),(6,5),(6,6);A =(4, 6), (5, 5), (6, 4);B =(3,1),(4, 2), (5, 3), (6, 4)。(3)(3)S=(1,2, 3),(2, 3,4),(3, 4, 5),(1,3,4), (1,4, 5),(1,2, 4),(1,2, 5)(2, 3, 5),(2, 4,5),(1,3, 5)A=(1,2, 3),(1,2,4), (1,2, 5),(1,3, 4), (1,3, 5),(1,4, 5)-2 -(4)(4)S=( ab,-，一(一，ab,

4、 -(一，一,ab(a,b,-( a,-，b), (b, a,(b,a(,a, b, (,b,a)，其中 表不仝盒；A=( ab,(a , b, ( a,b), (b , a,(b，,a)O(5)(5)S =0,1, 2, A =0,1, 2, 3, 4, B =3, 4 。2 2.设A, B,C是随机试验E的三个事件，试用A, B,C表示下列事件:-3 -(1)仅A发生；(2)A, B,C中至少有两个发生；(3)A, B,C中不多于两个发生；(4)A, B,C中恰有两个发生；(5)A, B,C中至多有一个发生。解(1)ABC-(2)AB UAC UBC或ABC U ABC U ABC U A

5、BC ;(3)AUBUC或ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC；(4)ABC UABC UABC；(5)AB UAC UBC或ABC U ABC U ABC U ABC ;3.3.一个工人生产了三件产品，以Aj(i =1,2, 3)表示第i件产品是正品，试用A表示下列事件：(1)没有一件产品是次品；(2)至少有一件产品是次品；(3)恰有一件产品是次品；(4)至少有两件产品不是次品。解(1) A1A2A3 ;(2)AA,AA|A3; (3) & A2A3UA1A2A3UA1A2A3 ;(4)A1A2U A1A3U A2A3。4.4.在电话号码中任

6、取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。设A =任取一电话号码后四个数字全不相同5.5.一批晶体管共 4040 只，其中 3 3 只是坏的，今从中任取 5 5 只，求(1)(1) 5 5 只全是好的的概率；(2)(2) 5 5 只中有两只坏的的概率。解 (1)(1)设 A A = = 55 只全是好的，贝UC37P(A)=号B0.662 ;C40(2)(2)设 B B = = 5 5 只中有两只坏的，贝UC：C3；P(B) = 5二0.0354. .6 6 .袋中有编号为 1 1 到 1010 的 1010 个球，今从袋中任取 3 3 个球，求(1)(1) 3 3 个球的最小号码为 5

7、5 的概率；(2)(2) 3 3 个球的最大号码为 5 5 的概率. .P(A)_ 里126104250=0.504-4 -解 (1)(1)设 A A = =最小号码为 5 5，则-5 -P(A)Cio(2)(2)设B =最大号码为2C41P(B) =r=一C10201；127.7. (1)(1)教室里有 r r 个学生，求他们的生日都不相同的概率； 房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率(1)(1)设A =他们的生日都不相同，贝UPr365P(A);(2)(2)解设B =至少有两个人的生日在同一个月，则_2_1_2 _2_2_3_2一1C4C12P11C4C12C4P12 C12

8、41P(B) =-4 121212496P(B) =1 P(B)二1一冬1296418.8.设一个人的生日在星期几是等可能的，求期中的某两天，但不是都在同一天的概率. .6 6 个人的生日都集中在一个星解 设A=生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天P(A)=C1 =0.01107. .9 9.将C,C,E,E,I,N,S等 7 7 个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词 SCIENCESCIENCE 的概率是多少?解1设A =恰好排成 SCIENCESCIENCE 将 7 7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母C在 7 7 个位置中占两个位置， 共有C；种占法，字母

9、E在余下的 5 5 个位 置中占两个位置，共有C：种占法，字母I, N,C剩下的 3 3 个位置上全排列的方法 共3!种，故基本事件总数为C； C： 3! =1260，而A中的基本事件只有一个，11P(A)=C； C523广云；解2七个字母中有两个E，两个C,把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有 n n 个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素-6 -, 7 ,有n2个，第k种元素有nk个n+山+h = n),将这n个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为n !-,n ! n?!n!I2k对于本题有1P(A)=7!12602 !2 !10.10.从0,1

10、, 2，9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事 件的概率：A=三个数字中不含 0 0 和5 , A?每堆各成一双共有n!种情况，故因为A, B不相容，所以A B，于是P(A B) = P(A) =0.6三个数字中含解P (Ai)P(A2)0 0 但不含 5.5.C3C8=顼C10C3C915C93C；14I八3,C10C1015P(A2)=1 -P(A2) =1C；C：。14,15P(A3)C：0一30=三个数字中不含 0 0 或 5 5A311.11.将 n n 双大小各不相同的鞋子随机地分成堆各成一双的概率.n n 堆，每堆两只，求事件A =每解 n n 双鞋子随机地分成 n

11、 n 堆属分组问题,(2n)!不同的分法共2!2 L 2 !(2n)!(2 !)nP(A)(2n)!1212 .设事件A与B互不相容，P(A B)解P ( A B) = 1 - P ( A B)=P(A) =0.4, P(B)1- P ( A) P( B)= 0.3，求P(AB )与-8 -13.13.若P(AB ) = P(AB )且P(A) = P，求P(B). ., 9 ,解P(AB)= 1_ P(AB)= 1_ P(A) P( B) P( A B)由P(AB) = P(AB)得P(B) =1 _P(A) =1 -p14.14. 设事件A, B及AUB的概率分别为p,q,r，求P(AB)

12、及P(AUB)解P(AB)=P(A) P(B)_P(A B)=pq_rP(A B) =P(A) P(B) _P(AB) =P(A) 1 P(B) -P(A) P( AB ) =1-qpq-r=1p-r. .15.15.设P(A) +P(B) =0.7，且A, B仅发生一个的概率为 0.5,0.5,求A, B都发 生的概率。解1由题意有_0.5 =P(AB AB) =P(AB) P(AB )=P(A) -P(AB) P(B) -P(AB)= 0.7 -2P(AB),所以P(AB) =0.1. .解2A, B仅发生一个可表示为A】B - AB,故0.5 =P(A B) - P(AB) =P(A)

13、P (B) -2P(AB),所以P(AB) =0.1. .16.16.设P(A) =0.7, P( A -B) =0.3, PBT 0-2，求P(AB)与P(AB). . 解0 . 3= P A B )= P (A ) P (A B 0 =7 P A B所以P (AB) =0.4 ,故P(AB) =0.6 ;0.2 =P(B) - P(AB) =P(B) 0.4. .所以P(B) =0.6P(AB ) =1 - P(A B) =1 -P(A) - P(B) P(AB) = 0.117.17. 设AB UC，试证明P(A) +P(B) P(C) 1证因为AB U C ,所以P(C) _P(AB)

14、 = P(A) P(B)P(A B)_P(A) - P(B) -1-10 -P(A) P(B) P(C) 1. .18.18.对任意三事件A,B,C，试证P (AB) P(AC) _ P(BC)土P(A). .证P(AB)+P(AC)_P(BC) MP(AB)+P(AC)_P(ABC)=P (AB U AC) =P A(B UC)苴P( A).证毕.11919 . .设A, B,C是二个事件，且P(A) =P(B) =P(C)=-，P(AB) = P(BC) =0 ,41P(AC)=，求A, B,C至少有一个发生的概率。8解P(AU的C= R於P宜PC P AB P AC (P招)C (P A

15、 B C因为0P(ABC)壬P( A B= , 0所以P( ABC )= 0,于是P(A B C)=爻一=-54882020 . .随机地向半圆0 y i J2ax -x2(a为正常数)内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与 x x 轴的夹角小于X/ 4的概率.1_ 212_ _ a a421 _2一a22121 . .把长为 a a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率解1设A =三段可构成三角形，又三段的长分别为x , y , a - x - y , x + y a，不等式构成平面域S. .aaA发生 u0 x，0y ,22不等式确定S的子域A ,所以A的面积1设A =原点与该点连线与 x x 轴夹角小于2:解2设三段长分别为解：半圆域如图由几何概率的定义A的面积P(A)半园的面积y y则0 : x : a,0 ：y : a, 0, 11 ,P( A)=-=一S的面积4x,y,z,贝U 0 xa, 0ya, 0za且-12 -x +)弓Zf=a，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.A发生 ux + yzxz . yyz x不等式确定S的子域A ,所以A的面积1P (A)=-=.S的面积42222 .随机地取两个正数 x x 和 y y , ,这两个数中的每一个都不超过1,1,试求 x x 与y之和不超过