巴特沃斯滤波器的设计

1、武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书0目录1数字滤波器的设计1.1滤波器的分类1.2数字滤波器性能指标1.3数字滤波器设计方法概述1.4巴特沃斯滤波器1.5用冲击响应不变法设计IIR数字低通滤波器1.6用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器2本次课程设计中相关MATLAE数2.1循环结构for语句2.2buttord函数2.3butter函数2.4freqz函数2.5impz函数3程序设计及运行结果4心得体会5参考文献5参考文献1阙大顺.数字信号处理学习指导与考研辅导.武汉：武汉理工大学出版社，20072陈怀琛.MATLAB在电子信息课程中的应用（第2版）.北京：电子工业出版社，20033刘

2、 泉.数字信号处理原理与实现（第2版）.北京：电子工业出版社，20094郑阿奇.MARTLAB实用教程（第2版）.北京：电子工业出版社，20075 Emmanuel C. Ifeachor, Barrie W. Iervis. Digital Signal Processing, A PracticalApproach （Second Edition）. Publishing House of Electronics Industry,2003武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书11数字滤波器的设计1.1滤波器的分类按功能划分经典滤波器可分为低通、高通、带通、带阻四种滤波器按结构划分经典滤波

3、器可分为递归系统、非递归系统按实现方法经典滤波器可分为无限长单位脉冲响应数字滤波器IIR和有限长单位脉冲响应数字滤波器FIR1.2数字滤波器性能指标QP是通带边界频率，Q c是阻带边界频率，Q s是3db截止频率。用ap表示通带最大衰减（或称为通带峰值波纹）|/7（次。）|心a 尸=20lg - dB%越小，通带越平坦 H（严）用表示阻带最小衰减（以分贝（dB）表示波纹）1.3数字滤波器设计方法概述设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：1、模拟滤波器：首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合丁设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等

4、。2、直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由丁要联立方程，设计时需要计算机作久越大，阻带衰减越大Ha(j)图1典型模拟低通滤波器幅频特性及其指标描述武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书2辅助设计。武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书31.4巴特沃斯滤波器1、基本性质巴特沃斯滤波器以巴特沃斯函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅 频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示I 21Ha。Q)=2NN = 1,2下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征a对所有的N,Ha(j。净=1。b对所有的N, Ha(jQ )= 0.707即20lgHa(jQ =3

5、dBc c2CHa(jQ】是Q的单调下降函数。dHa(j Q f随着阶次N的增大而更接近丁理想低通滤波器。如下图2所示，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N的增加而变得越来越好,在截止频率Qc处的函数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的频带区的值接近丁1;在阻带内更迅速的趋近丁零图2巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数2、系统函数设巴特沃斯的系统函数为Ha(s),贝U:= i+l（式1.4.1）武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书43、设计过程巴特沃思低通滤波技术指标关系式为ap-20log|Ha(jQ)| ,Q QPasQs其中：QP为通带边界频率，Q s为阻带边界频率。代入式1.4.1

6、可得:(7-lOlog 1 +经过化简整理可得:a =L (|05_1严即查表求得归一化传输函数H(s),令s/ Qc代替归一化原 型滤波器系统函数中的s,即得到 实际滤波器传输函数。1.5用冲击响应不变法设计IIR数字低通滤波器1、基本思想使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性；从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等丁模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT), H(Z)=ZTh(n)2、设计方法1由模拟滤波器设计理论得模拟滤波器系统函数H(s)。2取拉氏逆变换得模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)。3进行采样得ha(nT)。4取Z变换得数字滤波器

7、传递函数H(Z)3、优缺点分析1)/(1 0-osT)取满足上式的最小整数2 1g(Q/QQN作为滤波器的阶数。再将N代入可得:武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书5冲激响应不变法使得数字滤波器的h(n)能完全模仿模拟滤波器的ha(t),即时域逼近良好，而且数字频率与模拟频率之间是线性关系，因此频率之间不存在失真。但是使用冲 击响应不变法存在频谱混叠失真，频谱混叠失真会使数字滤波器在 3 =兀附近的频率响应偏 离模拟滤波器频响特性曲线，混叠严重时可使数字滤波器不满足阻带衰减指标。所以，脉 冲响应不变法不适合设计高通和带阻滤波器。1.6用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器1、设计思想脉冲响应

8、不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个 频率轴上的频率范围压缩到-兀/T兀/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第 一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-兀/T兀/T一条横带里；第二步再通过标准变 换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应 的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。2、双线性变换公式用双线性变换法直接将模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H( z)的变换公式为：H(z)=Ha(s)2 s

9、1 -z -3优缺点分析双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j Q轴单值地对应丁Z平面 单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线 性关系而得到的，由丁这种频率之间的非线性变换关系，产生了新的问题。首先，一个线 性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性 相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一 频率段的幅频响应近似等丁某一常数，不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对丁原模 拟滤波器的幅频响应会

10、有畸变，2本次课程设计中相关MATLAE数2.1循环结构for语句基本格式武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书6for循环变量=起始值：步长：终止值循环体end步长缺省值为1,可以在正实数或负实数范围内任意指定。对丁正数，循环变量的值 大丁终止值时，循环结束；对丁负数，循环变量的值小丁终止值时，循环结束。循环结构 可以嵌套使用。2.2buttord函数(1)N,wc=buttord(wp , ws,也p,也s)用丁计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率ws其中，调用参数wp, ws分别为数字滤波器的通带、阻带截止频率的归一化值，要求：0Vw定1, 0wsv 1(1表示数字频率pi)。

11、当wsvwp时，为高通滤波器；当wp和ws为二元欠量时，为带通或带阻滤 波器,这时wc也是二元向量。ap, a s分别为通带最大衰减和组带最小衰减(dB)。N, wc为butter函数的调用参数。N, Qc=buttord( Q p, Qs, a p, a s, s)用丁计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率Q c。其中，Q p, Q s, Q c均为实际模拟角频率。说明：buttord函数使用阻带指标计算3dB截止频率，这样阻带会刚好满足要求，而 通带会有富余。2.3butter函数b , a=butter (N, wc, ftype )计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多

12、项式的系数向量b、a。其中，调 用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值(关丁pi归 一化)，一般是调用buttord(1)格式计算N和wc系数b、a是按照z-1的升籍排歹0。武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书认为107B , A=butter (N, Qc, ftype , s)计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数向量ba、aa。其中，调用参数N和Q c分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率(实际角频率)，可调用buttord(2)格式计算N和Qc。系数B、A按s的正降籍排列。tfype为滤波器的类型：1ftype=high时，高通；

13、Q c只有1个值。2ftype=stop时，带阻阻；此时Q c= Q cl, Q cu,分别为带阻滤波器的通带3dB下 截止频率和上截止频率。ftype缺省时，若Q c只有1个值，则默认为低通；若Qc有2个值，则默认为带 通；其通带频率区间Q cl Q fp=3400; fs=4000; Rp=3; As=40; N,fc=buttord(fp,fs,Rp,As,s); B,A=butter(N,fc,s); hf,f=freqs(B,A,1024); plot(f,20*log10(abs(hf)/abs(hf(1) grid; xlabel(f/Hz); ylabel(幅度(dB);程序运

14、行结果：N =29fc =3.4127e+003其频率特性曲线如下图3所示：武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书9 口园Filt E dii tTns皿”ktqpHalp口巳Q自1 *0飞W向耍a_| S 0图3巴特沃斯模拟低通滤波器频率特性曲线 Fs0=1000,500; for m=1:2Fs=Fs0(m);d,c=impinvar(b,a,Fs);wd=0:512*pi/512;hw1=freqz(d,c,wd);subplot(1,3 ,2)plot(wd/pi,abs(hw1)/abs(hw1(1);hold on;end grid; xlabel(f/(Hz); text(0.5

15、2,0.88,T=0.002s); text(0.12,0.54,T=0.001s); for m=1:2Fs=Fs0(m);f,e=bilinear(b,a,Fs);武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书10wd=0:512*pi/512;hw2=freqz(f,e,wd);subplot(1,3,3);plot(wd/pi,abs(hw2)/abs(hw2(1);hold on;end grid; xlabel(f/(Hz); text(0.5,0.74,T=0.002s); text(0.12,0.34,T=0.001s);程序运行结果:图4模拟滤波器到数字滤波器的转换由图4可见，对冲击

16、响应不变法，抽样频率越高（时间T越小），混频越小；对双线性变换法，无频率混叠，但存在非线性失真。 设计一个10阶的Butterworth滤波器，通带为100250H采样频率为1000Hz,绘 出滤波器的单位脉冲响应。解：其MATLA改现程序如下所示： fs=1000;武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书11 w=100,250; wn=w/(fs/2); Nn=512; b,a=butter(5,wn); subplot(3,1,1) freqz(b,a,Nn,fs) n=-10:80; h=impz(b,a,n);武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书12 subplot(3,1,3) s

17、tem(n,h); xlabel(时间序号N); ylabel(脉冲响应h); title(脉冲响应);程序运行结果：I*/ Figure图5 10阶巴特沃斯滤波器(2)模拟低通转换为数字低通滤波器已知一模拟滤波器的系数函数为,1000Ha* * * (S)=-S-1000分别用冲激响应不变法和双线性变换法将Ha(s)转换成数Fils Edi t Vi ew I_n.EertIO-DISDeskt op WindDvr Help己日命|性您、贮晏块| 口田| DI-10C-2005D 100150200250300350400450500Frequency (Hz)脉冲响应时间序号叫mp)省n-Ec