中考针对性训练_几何探究压轴题(有答案详细讲解)

1、几何探究题针对性训练1. 如图 1, 在正方形ABCD有一点P满足AP=AB， PB=PC，连结AC、 PD.1（ 1）求证 : APBDPC； （ 2）求证: PAC= BAP； （ 3）若将原题中的正方形ABCD变2为等腰梯形ABCD（如图2）,AD BC,且 BA=AD=DC形一点,P仍满足AP=AB， PB=PC,试问（2） 中结论还成立吗?若成立请给予证明; 若不成立, 请说明理由.A2如图1，在 ABC中， ACB 为锐角，点D 为射线 BC 上一点，联结AD ，以 AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF 1 ）如果AB AC ， BAC 90o，当点 D 在线段 BC上时（

2、与点B 不重合） ，如图2，线段CF、BD 所在直线的位置关系为CF、 BD 的数量关系为当点 D 在线段 BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；1AFDE3（ 2）如果 AB AC ， BAC 是锐角，点D 在线段 BC 上，当ACB 满足什么条件时， CF BC （点C、 F 不重合） ，并说明理由（3）若AC=4 2 ， BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点P，求线段CP 长的最大值。3.如图1，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DF BE（ 1 ）求证：CE CF；（ 2）在图1

3、 中，若 G 在 AD 上，且GCE 45°，则GE BE GD 成立吗？为什么？（ 3）运用（1 ） （ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中， AD BC（BC>AD）， B90°，ABBC12，E 是 AB 上一点，且DCE 45°， BE 4，求DE 的长24如图，在Rt ABC 中， A 90o， AB 6， AC 8， D， E 分别是边AB， AC 的中点，点P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ BC 于 Q， 过点Q 作 QR BA 交 AC 于 R，Q 与点 C 重合时，点P 停止运动设

4、BQ x， QR y1 ）求点D 到 BC 的距离 DH 的长；2）求y关于 x的函数关系式（不要求写出自变量的取值围）3）是否存在点P，使PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由5如图17，点A 是 ABC 和 ADE 的公共顶点，BAC DAE 180°，AB k· AE，AC k· AD，点M 是 DE 的中点，直线AM 交直线 BC 于点 N探究ANB 与 BAE 的关系，并加以证明说明： 如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面中选取一个作为已知条件，完成你的证明，选取比选原题少得2 分，选取比选原题少得5 分 如

5、图 18， k 1 ；如图19， AB AC如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，若 ADE 绕点 A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中的结论是否发生变化？并直接写出变化后ANB 与 BAE 的关系NBM图 186.已知，CD 是经过 BCA顶点 C 的一条直线，CA CB E， F 分别是直线CD 上两点，且 BEC CFA （ 1）若直线CD 经过 BCA的部，且E， F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图9-1，若BCA 90o，90o，则 BECF ； EFBE AF （填“”， “ ”或“”） ； 如 图 9-2， 若 0o BC

6、A 180o， 请 添 加 一 个 关 于 与 BCA关 系 的 条 件，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（ 2） 如图9-3， 若直线CD 经过BCA的外部，条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）BE F DC B E F DCAA图 9-1图 9-2BCA， 请提出EF， BE， AF 三E B C FAD 图 9-37在等边ABC的两边AB、 AC 所在直线上分别有两点M、 N， D 为 VABC外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：当M、 N 分别在直线AB 、 AC 上移动时，BM 、 NC、 MN 之间的数量关系及AMN 的周长 Q 与等边 A

7、BC的周长 L 的关系123（ I）如图1，当点M 、 N 边 AB 、 AC 上，且 DM=DN 时， BM 、 NC、 MN 之间的数量关系是； 此时 Q；LII）如图2，点M、 N 边 AB、 AC 上，且当DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（ III ） 如图3，当M 、 N 分别在边AB 、 CA 的延长线上时，若AN= x ，则 Q=x 、 L 表示） 参考答案1 （1） 略（ 2）略（ 3）设PAC x , BAP y ， 则 CAD DCA （60 x） PDC y1由 X型得，x 60 y 60 x得 y 2x即 PAC BAP2 （ 1

8、）垂直，相等；1 分当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立2 分由正方形ADEF得 AD AF， DAF 90oBAC 90o， DAF BAC ， DAB FAC，又AB AC，DAB FAC，CF BD，ACF ABDBAC 90o， AB AC ，ABC45o，ACF45o，BCF ACB+ ACF90o即 CF BD. 5分（ 2）当ACB 45o时，CF BD（如图） 6分理由：过点A 作 AG AC 交 CB 或 CB 的延长线于点G，则GAC 90o， ACB 45° , AGC 90°ACB 45°， ACBAGC，AC AG，点 D 在线段

9、 BC 上，点D 在线段 GC 上，由（1）可知CF BD. 7 分（ 3）如图：作AQBC 于 Q ACB=45 ° AC=4 2 CQ=AQ=4 PCD= ADP=90 ° ADQ+ CDP= CDP+ CPD=90 ° ADQ DPC PC = CDDQ AQ设 CD 为 x（ 0< x< 3）则 DQ=CQ CD=4 x则 PC = x4x4 PC= 14 （ x2+4x）= 14 （x 2）2+1 1 当 x=2 时， PC最长，此时PC=13.（ 1 ）证明：如图1，在正方形ABCD 中， BC CD，BCDF， BE DF，CBECDF

10、CE CF .3分（ 2） GE BE GD 成立理由是： CBE CDF， BCE DCF BCE ECD DCF ECD即ECFBCD 90°，又 GCE 45°，GCFGCE 45° CE CF，GCEGCF， GC GC，ECGFCG .4 分 GE GF GE DF GD BE GD .5分（ 3）解：过C 作 CG AD，交AD 延长线于G在直角梯形ABCD 中， AD BC AB 90°又CGA 90°，AB BC，四边形ABCG 为正方形B1设 DE x，则DG x 4，AD AG DG=12 （x 4）=16 x在 Rt AE

11、D 中，2DE222AD 2 AE 22x216 x282解这个方程，得：x 10DE 104. （1 ）Q A RtAB6 ， ACBC 10 Q 点 D 为 AB 中 点 ，BDDHAC1AB 3 Q2BD， DHBCDHBBDBCgAC2） QQR AB ，QRCA 90o，130 8A 90oB BHD BAC ，125C C，RQC ABC ，RQ QCyAB BC ，63）存在，分三种情况：10 x10y 关于 x 的函数关系式为：y65分当 PQ PR 时，过点P 作 PMQR 于 M ，则 QMQ 12 90o，C2 90o，1 C RM H QAG BC 12 已知DCE 4

12、5°，根据（1） （ 2）可知，ED BE DG .7 分cos 1cosC 84，105QM 4QP 5x651251858 分312当 PQ RQ时， 3x 6 12， x 65510 分当 PR QR 时，则 R 为 PQ 中垂线上的点，R为 EC 的中点，CR1 CE1AC 2 4Q tanCQRCRBACA ，68，15 x213分15综上所述，当x 为 或 6 或 15 时，PQR 为等腰三角形14 分185 （ 1）ANB+ BAE=180o1 分证明： （法一）如图1，延长AN 到 F，使MF =AM，连接DF、 EF. 2 分3分M 是 DE 的中点，DM =ME，

13、 四边形ADFE 是平行四边形AD EF， AD=EF， DAE+ AEF =180o， BAC+ DAE=180o，BAC= AEF ，4 分 AB=kAE， AC=kAD，AB ACAB AC，6 分AE ADAE EFAF图1ABCEAFB= EAF8分B= AEF，6分M 是 DE 的中点，DM =ME，ANB+ B+ BAF =180o ANB+ EAF+ BAF =180o即 ANB+ BAE=180o，10 分2，延长DA 到 F，使 AF=AD，连接 EF. 2分BAC+ DAE=180o，DAE + EAF =180o，BAC= EAF，3 分 AB=kAE， AC=kAD，

14、AB ACAB ACB，4 分BAE ADAE AFABCAEF，5 分又 AF=AD， AM 是 DEF 的中位线，AM EF，7 分 NAE= AEF，B= NAE，8 分 ANB+ B+ BAN=180o，E图3ANB+ NAE+ BAN =180o，即 ANB+ BAE=180o10分（2）变化如图3（仅供参考）， ANB= BAE12分选取（），如图 4.证明：延长AM 到 F，使 MF=AM，连接 DF、 EF.M 是 DE 的中点，DM =MEADFE 是平行四边形，4分AD FE， AD=EF， DAE + AEF =180o，BAC+ DAE=180o， BAC= DAE6分

15、EAB=kAE， AC=kAD， k 1 ， AB=AE ，AC=AD，AC=EF，7 分 ABCEAF，B= EAF ，8分ANB+ B+ BAF=180o，ANB+ EAF+ BAF=180o，即 ANB+ BAE=180o10分选取（），如图 5.1证明：AB=AC， B=2180o- BAC) ，3分BAC+ DAE=180o， DAE=180o- BAC，B= 1 DAE ， AB=kAE， AC=kAD，2AE=AD ， AM 是 ADE 的中线，AB=AC，AE1EAM= DAE， B= EAM，24分ANB+ B+ BAM=180o，ANB+ EAM + BAM=180o，即

16、ANB+ BAE=180o5 分6.（ 1 ）；2 分 所填的条件是：BCA 180o 4分证明：在 BCE 中， CBE BCE 180oBEC 180oQ BCA 180oCBE BCE BCA又 Q ACF BCEBCA，CBE ACF 又 Q BC CA， BEC CFA，BCE CAF (AAS) 7分BE CF ， CE AF 又 Q EF CF CE ， EF BE AF（ 2） EF BE AF Q27. （ I ）如图1 ， BM 、 NC、 MN 之间的数量关系BM+NC=MN 此时L3（ II ）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长AC 至 E，使 CE=BM ，连接DEB

17、D CD ,且BDC 120 DBC DCB 30又 ABC是等边三角形，MBD NCD 90o在 MBD 与 ECD中：BM CEMBD ECDBD DCMBD ECD(SAS) DM=DE, BDM CDEEDN BDC MDN 60在 MDN 与 EDN 中：DM DEMDN EDNDN DNMDN EDN (SAS)MN=NE=NC+BMAMN 的周长 Q=AM+AN+MN=AB+AC =2AB而等边 ABC 的周长 L=3ABQ 2AB 2L 3AB 3III ）如图3，当M 、 N 分别在 AB 、 CA 的延长线上时，若AN= x，2则 Q=2 x+ L （用 x、 L 表示）

18、38. 如图24 1 ，正方形ABCD和正方形QMNP，M 是正方形ABCD的对称中心，MN交 AB于 F，QM交 AD于 E1 ）猜想：ME 与 MF的数量关系探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以改为“菱形”，且 M =B，其它条件不变，2）如图242，若将原题中的“正方形”证明3）如图243，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且 AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由4）如图244，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且M =B ，AB:BC = m，其它条件不变，求出ME： MF的值。（直接写出答案）8.（ 1） ME=MF 1 分 （ 2

19、） ME=MF 2 分证明：过点M 作 MH AD 于 H， MG AB 于 G，连结AM M 是菱形 ABCD 的对称中心，O 是菱形 ABCD 对角线的交点， AM 平分BAD，MH=MG M= B，M+ BAD=180o，又MHA = MGF =90o， HMG + BAD =180oEMF = HMG ，EMH = FMG MHE = MGF ，MHE MGF， ME=MF4 分3） ME:MF=1:2 5分证明：过点M 作 MH AD 于 H， MG AB 于 G，M= B，A= EMF=90o，又MHA= MGA =90o，HMG =90oEMF = HMG ，EMH = FMGM

20、HE = MGF ， MHE MGFME MH6分MF MG又 M 是矩形 ABCD 的对称中心，O 是矩形 ABCD 对角线的中点，1又 MG AB，MG BC，MG BC21同理可得MH AB，ME:MF=1:2 7 分2(4) ME:MF=m 8分9. 在ABC中 ,AC=BC=2, C=90o，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点 P处 , 将三角板绕点P 旋转 , 三角板的两直角边分别交射线AC， CB于 D， E 两点 , 如图 1,2,3 是旋转三角板得到的图形中的3 种情况， ，研究：三角板绕点P旋转，观察线段PD和 PE之间有什么数量关系？并结合图2加以证明。三

21、角板绕点P 旋转，PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处 , 且 AM:MB=1:3， 和前面一样操作, 试问线段 MD和 ME之间有什么数量关系？并结合图4 加以证明。9 （ 1） PD=PE （提示：连结PC，证PDC PEB 可得）（ 2）能，CE 的长： 0或 1或 22 （ 3） MD ： ME=1 ： 310 图 1 是边长分别为4 3 和 3 的两个等边三角形纸片ABC 和 C D E叠放在一起（ C与 C 重合） 。（ 1 ）操作：固定ABC ，将 C D E绕点C 顺时

22、针旋转30°得到CDE，连结AD、 BE， CE 的延长线交AB 于 F（图2） ；探究：在图2 中，线段BE 与 AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论。2） 操作： 将图 2 中的 CDE， 在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒1 个单位的速度平移，平移后的CDE 设为PQR（图3） ；请问：经过多少时间，PQR 与 ABC 重叠部 分的面积恰好等于7 3 ？4（ 3）操作：图1 中C D E 固定，将ABC 移动，使顶点C 落在 C E 的中点，边 BC 交 DE于点M， 边 AC 交 DC于点N， 设 AC C=（30°<<90，图4） ；探究：

23、在图 4 中， 线段 C ' N · E ' M 的值是否随的变化而变化？如果没有变化， 请你求出 C ' N · E ' M 的值，如果有变化，请你说明理由。10.（ 1） BE=AD证明：ABC 与 DCE 是等边三角形ACB= DCE=60 ° CA=CB ， CE=CDBCE= ACD BCE ACDBE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD ）2）设经过x 秒重叠部分的面积是7 3 ，如图在CQT 中4TCQ=30 ° RQP=60°QTC=30 ° QTC= TCQ QT=QC= x RT=3

24、 x RTSR=90 ° RST=9033 × 32 3483 x）2=7 3x1 1，4x2 5，因为0 x 3，所以x=13） C N · E M 的值不变证明：ACB=60 ° MCE NCC =120°CNCNCC =120° MCE = CNCE = CE MCC CNE/ME/CC/CC/ N339C N· E M=C C· E C= ×=22411 请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt ABC 中，BAC=90°， AB = AC，点D、 E 分别为线段BC 上两动点，若DAE=

25、45°.探究线段BD、 DE、 EC 三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC 绕点 A 顺时针旋转90°，得到ABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（ 1）猜想BD、 DE、 EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；图（ 1）（ 2）当动点E 在线段 BC 上，动点D 运动在线段 CB 延长线上时，如图（2） ，其它条件不变， （ 1 ）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图（ 2）3）已知：如图（3），等边三角形ABC 中，点D、 E 在边 AB 上，且DCE=3°0 ，请你找出一个条件，使

26、线段DE、 AD、 EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；11.（ 1） DE2=BD2+EC21 分5分3）（ 2）关系式DE 2=BD2+EC2仍然成立证明：将ADB 沿直线 AD 对折，得AFD ，连FE AFD ABD 6 分 AF=AB， FD =DBFAD= BAD，AFD= ABD又AB=AC，AF=ACFAE= FADDAE= FAD 45EAC= BACBAE=90°( DAEDAB)= 45°DAB FAE= EAC 又 AE=AE AFE ACEFE=EC , AFE= ACE=45° AFD= ABD=180°

27、;ABC=135 DFE= AFDAFE=135°45° =90°7分Rt DFE中DF2 FE2=DE2即 DE2=BD2+EC28 分图2）当 AD=BE 时，线段DE、 AD 、 EB 能构成一个等腰三角形.如图，与（1 ）类似，以CE 为一边，作 ECF= ECB，在CF 上截取 CF=CB ，可得 CFECBE， DCF DCA.AD=DF ， EF=BE. DFE1 2 AB 120°. 5 分若使 DFE 为等腰三角形，只需DF=EF，即 AD=BE.当 AD=BE 时，线段DE、 AD、 EB 能构成一个等腰三角形. 6 分且顶角DFE

28、为 120°.京模12.如图1，在ACB 和 AED 中，AC=BC， AE=DE， ACBAED 90° , 点 E 在AB 上， F 是线段 BD 的中点，连结CE、 FE.1）请你探究线段CE 与 FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；2） 将图1 中的 AED 绕点 A 顺时针旋转，使 AED 的一边 AE 恰好与ACB 的边 AC在同一条直线上（如图2） ，连结BD，取 BD 的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；3）将图 1 中的AED 绕点 A 顺时针旋转任意的角度（如图3） ，连结 BD，取 BD 的中点 F，问（1）中的结论是否

29、仍然成立，并说明理由AAA12 （ 1 ）线段 CE 与 FE 之间的数量关系是CE= 2 FE2 分（ 2） （ 1）中的结论仍然成立如图2，连结CF ，延长 EF 交 CB 于点GACBAED90 , DE BCEDF=GBF又 EFD GFB ， DF=BF， EDF GBF EF=GF， BG DE AE AC=BC， CE=CGEFC=90°，CF=EF CEF 为等腰直角三角形CEF=45°CE= 2 FE 5分3） （ 1 ）中的结论仍然成立如图3，取AD 的中点 M, 连结 EM， MF, 取 AB 的中点 N, 连结FN， CN， CF1 DF=BF， FM /AB,且 FM AB.2AE=DE，AED=90° , AM=EM，CA=CB, ACB=90° ,CN AN