二次根式的乘除法和加减法

1、学员编号： 学员姓名：年 级：九课 时 数： 2辅导科目：数学学科教师：郭姗姗中科教育学科教师辅导讲义讲义编号：ZK guoshanshan课题二次根式授课日期及时段2015 年 月 日 :00 :00教学目的1、掌握二次根式的乘、除法运算法则，会进行简单的二次根式的乘除运算；2，会利用积的算术平方根的性质，商的算术平方根的性质对二次根式进行化 简；3、掌握将二次根式化为最简二次根式的一般方法教学内容 知识点一 二次根式的乘法二次根式的乘法法则： a b ab（a 0,b 0）二次根式的乘法法则的拓展： a b c abc（a 0,b 0,c 0）例1 计算：（ 1） 4 3 3 2（2） 1

2、 21 11（3）4 xy 1y知识点二 积的算术平方根（即二次根式乘法法则的逆用）把 a b ab（a 0,b 0）反过来，就得到 ab a b（a 0,b 0） ，也就是说，积的算术平方根等 于各因式算术平方根的积注意：（ 1）化简时要把所有能开得尽方的因数（或因式）移到根号外面；（2）在利用 ab a b（a 0,b 0）时，要特别注意满足条件 a 0,b 0 。例2 计算与化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）（1） 300（ 2） 8a4（3） 2 3 （ 6）（4） （ 36） （ 4） （5） a3b4知识点三 二次根式的除法注意：（ 1 ）由于二次根式的被开方数必须是非负

3、数，又因为分母不能是0 ，所以公式中分子的被开方数要大于或者等于 0，分母的被开方数要大于 0，即公式要满足条件 a 0 ,b 0a(a 0,b 0)二次根式的除法法则：abb2）当二次根式前面有系数时， 可类比单项式与单项式相除的法则， 把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即m a (n b) m a(a 0,b 0)nb例3 计算：1) 3x 62) 2 324）2(3) 27ab23b知识点四 商的算术平方根（即二次根式除法法则的逆用）商的算术平方根用式子可表示为： a a （a 0,b 0） ，也就是说，商的算术平方根，等于两个算术平方根的商注意：（ 1）商的算术平方根的性质的限制条

4、件是 a 0,b 0 ，它与积的算术平方根的限制条件类似，但 也有区别，因为分母不能为 0，即除式 b 不能为 0，所以除式 b必须是正数（2） aa （a 0,b 0）中的字母可以是数，也可以是代数式，无论是数还是代数式，只有满bb足a 0,b 0 ，才能用此性质进行计算例4 化简：（ 1） 2（2） 121（3） 9 7（4） 272a9 100 4 b2知识点五 最简二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式注意：最简二次根式要从以下两点来解释（ 1）根号下是整数或整式；（ 2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，也就

5、是每个因数或因式的指数都是1例5 下列各式中属于最简二次根式的是（）A 、 3x知识点六 化二次根式为最简二次根式B 、 8a C化简二次根式，就是把二次根式化为最简二次根式把一个二次根式化为最简二次根式的一般步骤：（ 1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于 1 的小数化为分数；（ 2）把被开方数中的多项式进行因式分解；（ 3）使被开方数中不含分母；（ 4）把被开方数中能开的尽方的因数或者因式利用公式a2 a（a 0） 去掉根号；（ 5 ）化去分母中的根号；（ 6 ）约分例 6 把下列各式化为最简二次根式：1) 183) 8x2y3(x 0,y 0)2 4 4 24) x2y4 x4y2

6、 (x 0,y 0)知识点七 分母有理化 把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化（1）在计算二次根式除法时，当分母中的被开方数不能开的尽方时，常用分母有理化的方法化简 （2）分母有理化的依据是： 分数（或分式）的基本性质和二次根式的性质 a2 a（a 0），（ a）2 a（a 0） 分母有理化的方法是：将分子和分母都乘一个恰当的二次根式（即分母的有理化因式），化去分母中 的根号如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成两个算术平方根的形式，然后将分子、分母同乘一个恰当的因式进行化简， 如 aaa 5 5a ，也可以根据分式的基本性质，555 55将分子、 分母都乘同一个不为

7、零的整式， 将分母化成完全平方式， 然后利用商的算术平方根的性质化简，（2）如果已知二次根式不是最简二次根式，例7 化简：（1） 12（2） 3472要先把它化为最简二次根式后， 再确定其有理化因式例8 化简：132注意：（1） a 的有理化因式是 a ， m a（m 0）的有理化因式是 a ；知识点八 同类二次根式（重点） 与整式中同类项相类似，我们像 3 a 、 2 a 与 4 a 这样的几个二次根式，称为同类二次根式， 3 3 与 2 3 也是同类二次根式； 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式是同类二 次根式【注意】（ 1）判断两个二次根式是否为同类二次

8、根式，应先将各个二次根式化为最简二次 根式；再观察每个最简二次根式的被开方数，若被开方数相同，则称它们为同类二 次根式（2）几个二次根式是不是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号 外面的因数（或因式）无关例1 在二次根式 12, 23, 2, 27中，与 3是同类二次根式的是（3A 、 12, 23BC 、 12, 27知识点九 合并同类二次根式 法则：将同类二次根式的系数相加减作为结果的系数，被开方数和根指数不变例2 计算： 27 12 43知识点十 二次根式的加减(重点)知识点十一 二次根式的混合运算(难点) 二次根式混合运算的常见类型及方法：1)a( b c d )型，运用乘

9、法对加法的分配律化简2)(ab)( c d )型，可类比多项式乘多项式的法则进行计算，即(ab)( c d) ac ad bc bd3)(ab)( a b) ( a)2 ( b)2 a b(其中 a 0,b 0)， ( ab)2 a b2 ab其中a 0,b 0 )4)( a b) c ac bc 其中 a 0,b 0,c 0 )；cc5)(ab)( a b)a b ( a b)( a b) a b 2 ab a b ( a b)( ab)其中 a 0,b且ab)例4 计算：1)3( 6 8)(2) (4 3 3 6)3)( 6 2)( 63)4)(5 7)(5 7)(5) (2 3 2)2例

10、5 化简：（ 1） 221典型例题剖析题型一 公式 a b ab（a0,b 0)及 ba ab(a 0,b 0) 的运用例1 （1） x 1 x 1 A 、x 1 B（ 2）当时，x2 1 成立的条件是（x1x 1或 x 15a4a例2 不改变原式的值，将根号外的非负因数移到根号内1) 2 32) 3 5题型二 二次根式的化简例3 已知a b ，化简二次根式a3b的正确结果是（）A 、 a ab Ba ab C 、 a abD 、 a ab(2 6)题型三 二次根式的乘除运算例4 计算：（ 1） 15 1 20 （ 3 18）24题型四 实数大小的比较 例5 比较2 3和3 2的大小题型五 根

11、据同类二次根式的定义确定字母的取值 例1 若最简二次根式 3 3a b与(a b) b是同类二次根式，求 a,b的值题型六 二次根式的混合运算2) ( 3 1)22(1 2)例2 计算：(1)2 3 ( 16 23)题型七 含二次根式条件的代数式的化简求值问题例3 先化简，再求值： (1 1) x 22x 1，其中 x 2x x 1题型八 二次根式的加法在生活中的应用例4 教师节到了，为了表示对老师的敬意，小方同学做了两张大小不同的正方形壁画准备送 给老师, 其中一个面积为 800cm2,另一个面积为 450cm2,她想如果再把壁画的边用金色的 彩带镶上就更加漂亮了 ,她现在有的金色彩带 ,

12、请你帮她算一算 ,她的金色彩带够用 吗?如果不够,还需要再买多长的金色彩带 ?(根号 2约等于,结果保留整数)题型九 二次根式大小的比较例5 设a 3 2,b 2 3,c 5 2，则a,b,c的大小关系是()A、 a b c B 、a c b C、c b a D 、 b c a题型十 有关二次根式的探究题例6 是否存在正整数 a,b(a b) ，使其满足 a b 50 ？若存在，试求出 a, b的值；若不存在，请说 明理由课后作业：)、 2b D 、 0.2m 41、下列二次根式中，不是最简二次根式的是(A、 a2 1 B 、 2x 1 C2、如果 ab 0,a b 0 ，那么下列各式：ba

13、ba 1； ab ab b ，其中正确的是(A 、 B 、 C 、 D 、 3下列各式计算正确的是 ( )A 2 3 5 B 2 22 2C3 22 22 D 1221065估计8×123的运算结果在 ()A1到 2之间 B 2到3之间C 3到 4之间 D 4到5之间5若 a<1，化简a1 21 等于()A a2B2aCaD a6已知实数 a满足|2 011 a| a2 012a，则a2 011 2的值是()A2 011B 2 010C2 012D2 0097计算212613 8的结果是 ()A3 2 23B 5 2 C 5 3D2 28若 x1(y2 012) 20，则 xy9当 1<x<3 时，化简：x3 2 x22x1410如果代数式有意义，则 x 的取值范围是 x311计算： (