二次函数中三角形面积最大值综合题

1、2017 中考数学全国试题汇编 二次函数中三角形面积最大值综合题28（ 2017甘肃白银）如图，已知二次函数 y ax2 bx 4的图象与 x 轴交于点（2）连接 AC, AB ，若点 N在线段 BC上运动（不与点 B,C重合），过点 N 作 NM /AC，交 AB于点M ，当 AMN 面积最大时，求 N点的坐标； （3）连接OM ，在（ 2）的结论下，求 OM 与AC的数量关系解：（ 1）将点 B，点 C的坐标分别代入 y ax2 bx 4 ，得：4a 2b 4 0 ，1分64a 8b 4 0 ，解得： a 1 ， b 3 42该二次函数的表达式为12x43x 4 3 分22）设点 N 的坐

2、标为（ n，0）（ 2<n<8），则 BN n 2 ， CN 8 n B（-2 ，0）, C（8，0）, BC=10.令 x 0 ，解得： y 4 ， 点 A（0，4）， OA=4，MNAC，AM NC 8 n 4AB BC 10OA=4，BC=10，S ABC 1BC OA 1 4 10 20 ABC 2 2S ABN1BN2OA1(n+ 2) 4=(2 n+2)2又SAMNAMCN8 n,SABNABCB10 , S 8 S AMNnS ABN1(8 n)(n 2)1(n 3)2 5 1055当 n=3时，即 N（3，0）时，AMN的面积最大73）当 N（3，0）时，N为 BC

3、边中点.1 M为 AB边中点， OM 1 AB.2 8分AB OB2 OA24 16 2 5 ，AC OC 2 OA264 16 4 5 ，1 ABAC,29分1 OMAC 410 分24(2017海南) .抛物线 y ax2 bx 3经过点 A 1,0 和点 B 5,0 。（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线 y 3x 3 相交于 C、D两点，点 P是抛物线上的动点且5位于 x轴下方。直线 PM /y 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交与点 M、N。连结 PC、PD ，如图 12-1，在点 P运动过程中， PCD的面积是否存在最大 值若存在，求出这个最大值；若不存在，说明

4、理由；连结 PB ，过点 C 作 CQ PM ，垂足为点 Q，如图 12-2 。是否存在点 P ， 使得 CNQ 与 PBM 相似若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由。分析】 （1）由 A、B 两点的坐标，利用待定 系数法可求得抛物线解析式；2）可设出 P 点坐标，则可表示出 M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得 C、D的坐标，过 C、D作 PN的垂线，可用 t 表示出 PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；当 CNQ与PBM相似时有=或=或=两种情况，利用 P 点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于 P点坐标的方程，可求得 P 点坐标解答】 解：1）抛物

5、线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（ 5 ，0），解得该抛物线对应的函数解析式为 y= x2 x+3；2）点 P是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，可设 P（t ， tt+3)1<t <5），直线 PMy 轴，分别与 x 轴和直线 CD交于点 M、 N，M（t，0），N（t， t+3 ），2PN= t+3( t 2t+3 )= (t）2联立直线 CD与抛物线解析式可得，解得C（0，3）， D（7， ），分别过 C、D 作直线 PN的直线，垂足分别为 E、F，如图 1，则 CE=t，DF=7t ，当 t= 时， PCD的面积有最大值，最大值为；存在 CQN= PM

6、B=9°0 ，当 CNQ与PBM相似时，有 = 或 = 两种情况， CQPM，垂足为 Q，Q（t，3），且 C（0，3）， N（ t ， t+3 ）， CQ=t， NQ= t+3 3= t ，=P（t ， t 2 t+3 ）， M（ t ， 0）， B（5，0），22BM=5t，PM=0（ t2 t+3 ）= t 2+ t3，当 = 时，则 PM= BM，即 t2+ t3= （5t），解得 t=2 或 t=5（舍 去），此时 P（2， ）；当 = 时，则 BM= PM，即 5t= （ t 2+ t 3），解得 t= 或 t=5 （舍 去），此时 P（ ， ）；综上可知存在满足条件的点

7、 P，其坐标为（ 2， ）或（ ， ） 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次 函数的性质、相似三角形的判定和性质、 方程思想及分类讨论思想等知识 在（1） 中注意待定系数法的应用，在（ 2）中用 P 点坐标表示出 PCD的面积是解题 的关键，在（2）中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键 本 题考查知识点较多，综合性较强，难度较大24. 在平面直角坐标系 xoy 中，规定：抛物线 y a x h 2 k 的伴随直线为2y a x h k . 例如：抛物线 y 2 x 1 2 3 的伴随直线为 y 2 x 1 3 ，即 y 2x 1.2（1）在上面

8、规定下，抛物线 y x 1 4 的顶点为. 伴随直线为 ；抛物线 y x 1 4 与其伴随直线的交点坐标为 和；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 y m x 1 4m 与其伴随直线相交于 点A,B （ 点A在点B 的右侧）与x 轴交于点 C,D.若 CAB 90 , 求 m的值；如果点 P x,y 是直线 BC上方抛物线的一个动点， PBC的面积记为 S， 当 S 取得最大值 27 时，求 m 的值 .【分析】 （1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得 伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可 求得其交点坐标；（2）可先用 m表示出 A、B、C、D 的坐标，利用勾

9、股定理可表示出 AC2、AB2 和 BC2，在 Rt ABC中由勾股定理可得到关于 m的方程，可求得 m的值；由 B、 C的坐标可求得直线 BC的解析式，过 P作 x轴的垂线交 BC于点 Q，则可用 x表 示出 PQ的长，进一步表示出 PBC的面积，利用二次函数的性质可得到 m的方 程，可求得 m的值解答】 解：（1）y=（x+1）24，顶点坐标为（ 1， 4）， 由伴随直线的定义可得其伴随直线为联立抛物线与伴随直线的解析式可得y=（x+1） 4，即 y=x 3，或，其交点坐标为（ 0， 3）和（ 1，4），故答案为：（ 1， 4）； y=x3；（ 0， 3）；（ 1， 4）；（2）抛物线解析

10、式为 y=m（x1）2 4m，其伴随直线为 y=m（x1）4m，即 y=mx 5m， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ，解得 或 ， A（ 1， 4m）， B（ 2， 3m），在 y=m（ x 1） 2 4m中，令 y=0 可解得 x= 1 或 x=3，C（1，0），D（3，0），AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2， CAB=9°0 ，抛物线开口向下，舍去）或m= AC2+AB2=BC2，即 4+16m2+1+m2=9+9m2，解得 m，当 CAB=9°0 时， m的值为设直线 BC的解析式为 y=kx+b， B（ 2， 3m）， C（ 1，0），

11、直线 BC解析式为 y= mx m， 过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 Q，如图，2P（x，m（x1） 4m）， Q（x，mxm），P 是直线 BC上方抛物线上的一个动点， PQ=m（ x 1） 2 4m+mx+m=（mx2 x 2） =m（x ）2 ，SPBC= × （2（1）PQ= （x ）2 m，当 x= 时， PBC的面积有最大值 m，S 取得最大值 时，即 m= ，解得 m=2【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数 的图象的交点、勾股定理、 方程思想等知识在（ 1）中注意伴随直线的定义的 理解，在（ 2）中分别求得 A、B、C、D 的坐

12、标是解题的关键，在（ 2）中用 x 表示出 PBC的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中24（2017湖北恩施）如图，已知抛物线 y=ax2+c 过点（ 2，2），（ 4，5）， 过定点 F（0，2）的直线 l ：y=kx+2与抛物线交于 A、B两点，点 B在点 A的右 侧，过点 B作x 轴的垂线，垂足为 C（1）求抛物线的解析式；（2）当点 B在抛物线上运动时，判断线段 BF与 BC的数量关系（、 =）， 并证明你的判断；（3）P为 y 轴上一点，以 B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点 P（0，m），求自然数 m的值；（4）若 k=1，在直线 l 下方的抛物线上是否

13、存在点 Q，使得 QBF的面积最大若【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）设 B（x， x 2+1），而 F（0，2），利用两点间的距离公式得到 BF2=x2+（x2+1 2） 2=，再利用配方法可得到 BF=x2+1，由于 BC=x2+1，所以 BF=BC；（3）如图 1，利用菱形的性质得到 CB=CF=P，F加上 CB=FB，则可判断 BCF为等 边三角形， 所以 BCF=60°，则 OCF=3°0 ，于是可计算出 CF=4，所以 PF=CF=4， 从而得到自然数 m的值为 6；（4）作QEy轴交 AB于 E，如图 2，先解方程组得 B（1+ ，3+ ），

14、设 Q（t， t 2+1），则 E（t ，t+2 ），则 EQ= t 2+t+1 ，则 SQBF=SEQF+SEQB= ? （1+ ）? EQ= ? （1+ ）? ）（ t 2+t+1），然后根据二次函数的性质解决问题2【解答】解：（ 1）把点（ 2，2），（4，5）代入 y=ax2+c 得，解得 ，所以抛物线解析式为 y= x2+1；（2）BF=BC理由如下：设 B（x， x 2+1），而 F（0，2）， BF2=x2+（ x2+12）2=x2+（ x2 1） 2=（ x2+1） 2，2 BF= x2+1， BCx 轴，2 BC= x2+1，BF=BC；（3）如图 1，m为自然数，则点 P在

15、 F点上方，以 B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形， CB=CF=P，F而 CB=FB，BC=CF=B，F BCF为等边三角形，BCF=60°， OCF=3°0 ，在 RtOCF中， CF=2OF=，4PF=CF=，4 P（0，6）， 即自然数 m的值为 6；4）作 QEy 轴交 AB于 E，如图 2，当 k=1 时，一 次函数解析式为 y=x+2，解方程组得 或，则 B（ 1+ ， 3+ ），设 Q（ t ，得或t 2+1），则 E（t ，t+2 ），EQ=t+2（ t 2+1）= t 2+t+1， S QBF=SEQF+SEQB= ? 2） 2+ +1，当 t=2 时

16、， SQBF有最大值，最大值为+1，此时 Q点坐标为（ 2，2）1+ ）? EQ= ? （1+ ）（ t 2+t+1 ）=25（2017山东东营）如图，直线 y= x+ 分别与 x轴、 y轴交于 B、C两 点，点 A在x轴上， ACB=9°0 ，抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B两点1）求 A、B 两点的坐标；2）求抛物线的解析式；3）在 Rt BOC中由三角函数定义可点 M是直线 BC上方抛物线上的一点，过点 M作 MH BC于点 H，作 MD y求得 OCB=6°0 ，则在 RtAOC中可得 ACO=3°0 ，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得 A

17、点坐标；2）由 A、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；3）由平行线的性质 可知 MDH= BCO=60°，在 RtDMH中利用三角函数的定义可得到 DH、MH与 DM的关系，可设出 M点的坐标，则可表示出 DM的长，从而 可表示出 DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值解答】 解：1）直线 y= x+ 分别与 x 轴、 y 轴交于 B、C两点，B（3，0）， C（0， ）， OB=3， OC= ，tan BCO= = ， BCO=6°0 ， ACB=9°0 ， ACO=3°0 ， =tan30 °= ，即 = ，解得 AO

18、=1，A（1，0）；2）抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点，抛物线解析式为3） MD y 轴， MH BC， MDH= BCO=6°0 ，则 DMH=3°0 ， DH= DM，MH= DM， DMH的周长 =DM+DH+MH=DM，可设 M（t ，DM=DM=t+ ），当 t= 时，DM有最大值，最大值为当 DM有最大值时，其周长有最大值，点 M是直线 BC上方抛物线上的一点，t+ ），t 2+t+ ），则 D（t ，），则 D（t ，（ t+ ）=，此时 DM= × = ，即 DMH周长的最大值为【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角

19、函数的定义、二次 函数的性质、方程思想等知识在（ 1）中注意函数图象与坐标的交点的求法， 在（2）中注意待定系数法的应用，在（ 3）中找到 DH、MH与 DM的关系是解题的 关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中25（2017山东聊城）如图，已知抛物线 y=ax2+2x+c与 y轴交于点 A（0，6）， 与 x 轴交于点 B（6，0），点 P 是线段 AB上方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得 PAB=75°，求出此时点 P的坐 标；（3）当点 P从 A点出发沿线段 AB上方的抛物线向终点 B移动，在移动中，

20、点 P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动， 与此同时点 M以每秒 1 个单位长度的 速度沿 AO向终点 O移动，点 P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动 t 秒时，求四边形 PAMB的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时， S有最 大值，最大值是多少【考点】 HF：二次函数综合题【分析】（1）由 A、B 坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点 式可求得顶点坐标；（2）过P作PCy轴于点 C，由条件可求得 PAC=6°0 ，可设 AC=m，在 RtPAC 中，可表示出 PC的长，从而可用 m表示出 P 点坐标，代入抛物线解析式可求得 m的值，即

21、可求得 P 点坐标；（3）用t 可表示出 P、M的坐标，过 P作 PE x轴于点 E，交AB于点 F，则可表 示出 F 的坐标，从而可用 t 表示出 PF的长，从而可表示出 PAB的面积，利用 S 四边形 PAMB=SPAB+SAMB，可得到 S 关于 t 的二次函数，利用二次函数的性质可求得其 最大值【解答】 解：（1）根据题意，把 A（ 0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得，2抛物线的表达式为 y= x2+2x+6，22 y= x2+2x+6= （x2） 2+8，抛物线的顶点坐标为（ 2， 8）；2）如图 1，过 P作 PCy 轴于点 C，OA=OB=，6 OAB=4°5

22、，当 PAB=75°时， PAC=6°0 ， tan PAC= ，即 = ， 设 AC=m，则 PC= m， P（ m，6+m），把 P 点坐标代入抛物线表达式可得 6+m= （ m）+2 m+6，解得 m=0或 m=，经检验， P（0，6）与点 A 重合，不合题意，舍去，所求的 P 点坐标为（ 4， + ）；3）当两个支点移动 t 秒时，则 P（t， t 2+2t+6），M（0，6t ），如图 2，作 PE x轴于点 E，交 AB于点 F，则 EF=EB=6 t，F（t ，6t），2+2t+6（6t ）= t +3t ，点 A到PE的距离竽 OE，点 B到 PE的距离等于

23、 BE， S PA×t ×6=3t ，FP? OE+ FP?B=t 2+9t ，且 S AMFP? （ OE+B）E = FP? OB= × t 2+3t ）× 6= S=S四边形 PAM=B S PAB+S AMB=t 2+12t= （t 4）2+24，当 t=4 时，S 有最大值，最大值为 2424（ 2017山东滨州）如图，直线 ykxb（k、b为常数）分别与 x轴、y 轴2交于点 A（4，0）、B（0，3），抛物线 yx22x1与 y 轴交于点 C（1）求直线 ykxb 的解析式；（2）若点 P（ x，y）是抛物线 yx22x1 上的任意一点，设

24、点 P到直线 AB 的距离为 d，求 d关于 x 的函数解析式，并求 d取最小值时点 P的坐标；（3）若点 E在抛物线 yx22x1 的对称轴上移动，点 F在直线 AB上移动， 求 CEEF的最小值Ay=kx+bCOB y·P（x，x y+）2x+1思路分析：（ 1）将 A、 B两点坐标代入 ykxb 中，求出 k、b的值；（ 2）作出点 P到直线 AB的距离后，由于 AHC90°，考虑构造“ K形”相似，得到MAH、 OBA、 NHP三个三角形两两相似，三边之比都是 345由可得 x m(3m 3) ( x2 2x 1)4d ，整理可得 d 关于 x 的5MAy=kx+b

25、H COB·yFCNxP(Ex，x y+C)2x+ 1NH3CN4CH ”5”3二次函数，配方可求出 d 的最小值；（3）如果点 C关于直线 x1的对称点 C，根据对称性可知， CECE当 CF AB时，CEEF最小解：（ 1）ykxb经过 A（ 4， 0） 、B（0 ， 3） ,4k bb30，解得 k 3，b343 y MAy=kx+b H COB y·NP（x，x y+）2x+1设H（m， 3 m3） ，则 M（4， 3m3），N（x，3m3），P（x，x22x1） x 34（2）过点 P作PHAB于点 H，过点 H作x轴的平行线 MN，分别过点 A、P作MN 的垂线段，垂足分别为 M、NAJOB·FCx E KC1设 F（m，3 m3）4CFAB，AFJCFK90°，CKJK，CCFK90°C AFJ， J K 90°， AFJ FCKAJFK3m3JF ， 4 m 4 ，解得C'K 2 m 3m 24m 8 或 4（不符合题意）25F（ 8 ， 81 ） ， C（2 ， 1） ， FC 25 2514 5CE EF的最小值 CE 14 522（2017浙江温州）如图，过抛