“基本不等式的证明”教学案的设计及意图-2019年文档

1、“基本不等式的证明”教学案的设计及意图2015 年 4 月，笔者参加了一次市级普通高中基础年级数学学科专题教研活动，活动的主题是“高中数学作业与测试的有效性设计” . 活动的过程是先听两位教师的“正弦定理”的教学研讨课 . 然后是进行评课，各市教研员都发表了精彩的点评 . 最后在各个学校交上来的有关“高中数学作业与测试的有效性设计”的材料中选出代表发言，并进行了互动环节 . 回来后，我认真研读了所有的与会材料，发现大家讨论的焦点仍然是传统意义上的上课后布置的作业该如何选题 . 由此引发笔者的思考： 能不能将所有的作业分一半甚至一大半放到课前由学生自学来完成？怎样设计这份作业？下面谈谈 “基本不

2、等式的证明”教学案的设计及意图 .自主学习目标： 1. 了解算术平均数与几何平均数的概念， 探索基本不等式的证明 .2. 体会证明不等式的基本思想方法 .3. 能应用基本不等式解决与函数最值有关的问题 .有了这个目标， 给学生的自学指明了方向， 目标成为学习动机的一个组成部分 .自我测试 1：（1）2 和 8 的算术平均数是，几何平均数是； （2）4和 4 的算术平均数是，几何平均数是； （3）p 和 9p 的算术平均数是，几何平均数是；（4）2 和 2p2 的算术平均数是，几何平均数是 .对于算术平均数与几何平均数的概念， 学生一看就明白了， 不需要教师过多讲解，这道题是由课本练习题略做改动

3、 . 传统作业方式是在课后练习时用的，起到巩固两个概念的作用 . 但是笔者将其放在课前让学生自学完成是想发挥它的另一功效， 即通过这几个特殊的情况来归纳、猜想出算术平均数与几何平均数的大小关系 .自我测评 2：若 a0，b0，请你证明不等式 aba+b2（试用多种方法证明） .探索基本不等式的证明需要时间， 要学生亲身体验， 学生个体的能力有差异，那么通过课后的自主学习， 因人而异给了他们自由的学习条件，要体会基本不等式证明的基本思想， 得先体验它的证明过程，没有过程就谈不上真正的体验 . 所以，让学生课后完成很合适 .自我测评 3：如图 1，AC=a，CB=b，那么 FO=，FC=，FO与

4、FC的大小如何？理由是什么？可以用它来解释基本不等式吗？ （试着想一想）通过这道题，让学生再次感受这两个平均数的由来， 从图形中感受代数可以用图形表示， 图形的关系可以用代数的形式表达， 体现数学中的重要思想：数形结合 . 在这里可以解释清楚“当且仅当 a=b 时取=号”的原因 . 由这里的“半径大于半弦”顺势将不等式进行变形为： a+b2ab 揭示通过不等式可以和化积，和 aba+b22 可以积化和的转化思想 . 这两个变形公式为今后灵活的使用基本不等式搭建了桥梁 .共同探讨：已知a，b 是正数，试证明下列不等式.（ 1）ba+ab2，（ 2）a+1a2，（ 3）（a+1b）（b+1a） 4

5、.分析：可直接（或变形后）应用定理进行证明，但要注意应用定理的条件 .这组题学生的处理方法很多，有些还是用比较法等常规方法，这没有错，但要适当引导学生用基本不等式来证明. 可以通过变式让学生深刻理解这个不等式. 如，（1）如果没有“ a，b 是正数”这个条件，不等式还成立吗？条件可以放宽为什么？这其实是让学生认清使用不等式的真正前提条件是谁为正. （2）可以改条件为a>1，问还能取=号吗？（ 3）可以先去掉括号再用基本不等式，也可以直接用两次基本不等式，但要考虑等号的问题. 通过以上的点评与变式教学，学生就能够解决以下的问题， 从而由运用不等式进行证明其他的不等式来过渡到运用基本不等式求函数的最大或最小值的问题.感悟：课后，还有少量的巩固作业，题目符合课堂教学的内容.课本习题是编写教材的专家精心打磨出来的，很合适，无需再布置其他过多的作业 . 这样保持一种新的教学作业模式，即将原来的课后作业，让学生在自学时就能完成大部分，教师通过课前批