6研究年高考天津卷理科压轴题

1、研究 2014 年高考天津卷理科压轴题题 1 (2014 年高考天津卷理科第20 题 ) 设 f(x) xaex(a R) ，x R.已知函数 y f( x)有两个零点 x1，x2，且 x1<x2.(1)求 a 的取值范围；(2)x2随着 a 的减小而增大；证明： x1(3)证明： x1 x2 随着 a 的减小而增大解 (1)题设即关于 x 的方程 x xa有两个零点 .e用 导 数 可 得 函 数 g ( x)xe x在 (,1),(1, ) 上分别是增函数、减函数，且limg( x), g (1)1 , limg( x)0 .由此可作出函数g (x) 的图象如图 1 所示：xe x图

2、 1所以所求答案为0, 1.e(2)设 0a a1.关于 x 的方程 xe xa 的两个零点分别是 x1 , x2 ( x1x2 ) ；关于 xe的方程 xe xa 的两个零点分别是 x1, x2 (x1x2 ) .图 2由图 2 可得 0 x1 x1 x2x2，所以 x2x2x2 ，即欲证成立 .x1x1x1(2)的另证可得 x1e x1x2 e x2a ，所以 x2ex2 x1 .x1由已证的 0x1x1x2x2 ，得 x2x1x2x1x2x1，所以 ex2x1ex2 x1，x2x2，即欲证成立 .x1x1(3)可设 x2t (t1) .在 (2)的另证中已得x2ex2x1 ，即 x2x1

3、lnt .所以x1x1x1ln t, x2tln t(t1)t1 lnt .t1t1得 x1x2t1t1 lnt(tt2 ln t1设 h(t)1)，得 h (t )(t1) 2t (t1) .t11(t2再设 u(t )t2 ln t1) ，得 u (t )110(t1)，所以 u(t) 是增函数，得ttu(t ) u(1) 0(t 1) .再由此得 h (t)0(t1) ，所以 h(t ) 即 x1x2 是 t 的增函数 .又由 (2)的结论知， t 是 a 的减函数 .所以 x1x2 是 a 的减函数，即欲证结论成立 .笔者研究题1 后，得到了如下结论：定理 1若函数 f(x)x aex

4、(x R)有两个零点 x1， x2(x1<x2)，则 (设 tx2)：x1的取值范围分别 是1,(0,1), (1,), (1,)，且(1)120,a, x , x ,tex1ln ttln t1) .t, x2t(t11(2) x1x2 , x2x1, x2 , 11 , x12x22 , x12x2 , x1x22均是 t 的增函数也均是a 的减函x1x1x2数，它们的取值范围分别是 (2, ), (0, ), (1,), (2,), (2,), (0,1), (2,) ； x1 x2 是 t的减函数也是 a 的增函数，其取值范围是(0,1).(3)11x1x22x1 x2 x12

5、x2 .x1x2证明(1)由题 1(1)的解答及式立得 .(2)由以上题1 的结论 (2),(3) 及 (2) 的另证得：x2 , x1x2 , x2x1 均是 a 的减函数 .x1又题 1 的结论 (2)“ x2 即 t 是 a 的减函数”也即“ a 是 t 的减函数”，所以 x2 , x1x2 , x2x1x1x1均是 a 的增函数 .由 (1)的结论，可得x1x2t 1 ln t , x2x1ln t, x2t (t 1)t 1x1再由洛必达法则，可得x1x2 , x2x1, x2的取值范围分别是(2,), (0,), (1,) .x1由 (1)的结论，可得11t 21 (t1).设 g

6、(t )t 21(t1) ，得x1x2t ln tt ln tg (t )t 2 (ln t1)ln t10(t1)t2 ln t所以 g(t ) 是增函数，再由洛必达法则，可得函数g(t )t 21(t1) 的值域是 (2,) .t ln t所以 11是 t 的增函数也是 a 的减函数，其取值范围是(2,) .x1x2由 (1)的结论，可得x1 x2t ln t (t1) .设 g(s)s ln s (s 1)，得t 1s21g ( s)s2 (ln s1)ln s 10(s 1)(s21)2所以 g(s) 是减函数，再由洛必达法则，可得函数g (s)sln s (s1) 的值域是 0, 1

7、.s212令 st (t1) 后，可得 x1x2 是 t 的减函数也是 a 的增函数，其取值范围是(0,1).由 x12x22(x1x2 ) 2 2 x1 x2 ， x1x2 ,2x1 x2 分别是 t 的增函数， x1 x2 0 ，可得2x22是 t 的增函数也是a 的减函数 .x1可得 x12x22t 21ln 2 t (t 1) ，再由洛必达法则，可得x12x22的取值范围是(t1) 2(2, ).ln t3ln t3可得 x12 x2t(t1) .三次用导数可证函数 g(t) t(t1) 是减函数，再t 1t 1由洛必达法则，可得x12 x2 的取值范围是 (0,1).可得 x1x2

8、2t 2 ln 2 tt ln t ln t (t1) .设 g (t )t 2 ln 2 t t ln t ln t (t 1) ，得(t 1)2(t1)22t 2 ln t 2t ln 2 t3t ln tln tt12g (t)(t1)3t(t1)设 h(t)2t 2 ln t2t ln 2 t3t ln tln tt12(t1) ，得th (t)4t ln t 2t7 ln t2 2 ln 2 t11(t1)t1 4t 2 ln ttt 2h (t)3( 2t1)(3t2)0(t1)tx12(2,) . 进而可得x2均是 t 的增函数也是 a 的减函数，其取值范围是(3)由(2)的结论

9、得0x1x21，又0x11x2 ， 所以11x1x22 x1 x22x1x2x12 x2 .x1x2推论若函数f ( x)xka x (0,a1)( x0) 有两个零点x1， x2(x1<x2) ，则 ( 设t x2 )： x1(1)k, x1 , x2 , t的取值范围分别是0, 0,(1, )，且elnalnalnax1lnt , x2ln atln t (t1) .lna t1t 1(2)x1x2 , x2x1, x2 , 11 , x12x22 , x12 x2 均是 t 的增函数也均是k 的减函数， 它们x1x1x222ln a23的取值范围分别是, (0,), (1,),2,

10、 0,；ln alnaln a2x1 x2 是 t的减函数也是 k 的增函数，其取值范围是0,lna.(3)11x1x22x1 x2x12 x2 .x1x2定理 2若 ln xa 有两个零点 x1， x2(x1<x2)，则 (设 tx2)：xx1的取值范围 分别是1,(0, e), (e,), (1,)，且(1)120,a, x , x ,te1tx1t t 1 , x2t t 1 (t 1) .(2)x2 , x2x1 , x1x2 均 是 t的 增 函 数也 均 是 a 的 减 函数 ， 它 们 的 取值 范 围 分 别 是x1(1,), (0,), (e2 ,) .证明(1)略 .

11、(2)由 (1) 的结论，得x2t1t1t, x2 x1 t t 1t t 1 , x1x2t t 1 (t 1)x1x2 即 t 显然是 t 的增函数；用导数可证t1t1t t 1 ,t t 1 , t t1 (t1)均是 t 的增函数，所以x1x2 x1 , x1x2 均是 t 的增函数 .由函数 ln x 的图象可知x2 即 t 是 a 的减函数，所以x2, x2x1 , x1x2 均是 a 的减函数 .xx1x1再由洛必达法则，可得欲证成立.猜想 1x1x2 , x12x22 , x1 x22 均是 t 的增函数；11是 t 的减函数 .x1x2定理 3若 xln xa 有两个零点 x1，x2 (x1<x2) ，则 (设 tx2)：x1的取值范围分别 是1111 2,t,0,0,1 ,(1, )，且(1) a, x , xeee