§离散型随机变量的方差

1、三元整合导学模式高二数学理科导学稿（学生版）主编人：张燕秋备课组长 :吴连香学校审批领导：协编人：高二数学备课组课时： 2课时定稿日期： 2015 年 6 月 22 日文档来源网络及个人整理 ,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途座号班级组别姓名§2.3.2离散型随机变量的方差学习目标1. 通过事例理解离散型随机变量的方差、标准差概念；2. 会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.教学重难点重点：离散型随机变量的方差、标准差.难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题学习过程 （请同学们认真阅读教材第65-68 页）一、前置测评：1.数学期望 :一般地，若离

2、散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称Ex1 p1x2 p2xn pn为 的数学期望，简称期望2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数， 它反映了离散型随机变量取值的平均水平3 平均数、均值 :在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令 p1 p2 pn ，则有 p1 p2 pn 1 ， E (x1 x2 xn ) 1 ，所以 的数学期望又称nn为平均数、均值文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途4.期望的一个性质 :E(ab)aEb5. 若 ( n， p) ，则 E=np 二、讲解新课：问题探究已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2

3、 的分布列 :x18910x28910P0.20.60.2P0.40.20.4试比较两名射手的射击水平 .下面的分析对吗？E80.290.6100.29E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9甲、乙两射手的射击水平相同 .（你赞成吗？为什么？）1 / 5显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.样本方差的公式及作用是什么，你能类比这个概念得出随机变量的方差吗？文档来源网络及个人整理 ,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途1. 方差 : 对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值， 是 x1 ，x 2 ， ，x n ， ，且取这些值的概率分别是p1 ， p2 ，

4、 ， pn ， ，那么 ,文档来源网络及个人整理 ,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途D ( x1E ) 2p1 ( x 2E ) 2p2 ( x nE )2pn 称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量 的期望2. 标准差 : D 的算术平方根D叫做随机变量 的标准差，记作注：方差与标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值.文档来源网络及个人整理 ,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途即学即练：1. 若随机变量 x 满足 P（x c） 1，其中 c 为常数，求 Ex 和 Dx.答案：（1）3

5、.5； 2.92；1.71(2)c;02. 刚才问题再思考：其他对手的射击成绩都在 8 环左右，应派哪一名选手参赛？，如果其他对手的射击成绩都在 9 环左右，应派哪一名选手参赛？ 文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途解: E8 0.290.610 0.2 9E 2 80. 490. 210 0.4 9甲、乙两射手的射击平均水平相同. 又D0.4 ,D20. 8;甲射击水平更稳定 .若对手在 8 环左右 ,派甲 . 如果对手在9 环左右 ,派乙.方差的性质（ 1） D( ab)a 2 D ；（2） DE 2(E )2；（ 3）若 B(n，p)，则 Dnp(1-p) （

6、4）若 服从两点分布，则 Dp(1-p)即学即练已知 xB(100,0.5),则 Ex=_,Dx=_,sx=_. E(2x-1)=_,D(2x-1)=_,s(2x-1)=_文档来源网络及个人整理 ,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途答案 50；25；5；99；100；10例题 :有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：乙单位不同职位月工资 X 2元甲单位不同职位月工资/元1000140018002200X 1/1200140016001800获得相应职位的概率 P20.40.30.20.12 / 5获得相应职位的概率 P10.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择

7、哪家单位？解：在两个单位工资的数学期望相等的情况下 ,如果认为自己能力很强 ,应选择工资方差大的单位 ,即乙单位 ;如果认为自己能力不强 ,就应选择工资方差小的单位 ,即甲单位 .文档来源网络及个人整理 ,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途归纳总结：1 随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2 随机变量 的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度； 文档来源网络及个人整理 ,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途3 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛4 求离散型随机变量 的方差、标准差的步骤：

8、理解 的意义，写出 可能取的全部值；求 取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出 E；根据方差、标准差的定义求出D 、若 B(n，p)，则不必写出.分布列，直接用公式计算即可文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途5 对于两个随机变量 1 和 2 ，在 E 1 和 E 2 相等或很接近时，比较 D 1 和 D 2 ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要课堂练习： 已知 B n, p , E 8, D1.6 ，则 n, p 的值分别是（）A 100和0.08 ；B 20和0.4 ；C10和0.2 ；D10和0.8答案： 1.D2.

9、有一批数量很大的商品的次品率为 1%，从中任意地连续取出 200 件商品，设其中次品数为 ，求 E，D 文档来源网络及个人整理 ,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途答案： 2；1.98.3. 设事件 A 发生的概率为 p，证明事件 A 在一次试验中发生次数 的方差不超过 1/44.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和 ，已知 和的分布列如下：（注得分越大，水平越高） 文档来源网络及个人整理 ,勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途3 / 5123123pa0.10.6p0.3b0.3试分析甲、乙技术状况答案：；1.98.3. 证明：因为 所有可能取的值为 0，

10、 1 且 P（ =0）=1-p,P( =1)=p,所以， E=0×(1-p)+1 ×p=pp( 1 p )21则 D=（ 0-p） 2×2×24(1-p)+(1-p)p=p(1-p)4.解：由 0.1+0.6+a+1a=0.30.3+0.3+b=1b=0.4 E=2.3 ,：E =2.0故甲的水平高 .课后练习与提高1甲、乙两个运动员射击命中环数 X 、Y 的分布列如下：环数 k8910P(X=k)0.30.20.5P(Y=k)0.20.40.4其中射击比较稳定的运动员是（）A甲B. 乙C.一样D.无法比较2.设随机变量 XB （n，p），且 EX=1.

11、6， DX=1.28 ，则（）A. n=8,p=0.2B. n=4,p=0.4C. n=5,p=0.32D. n=7,p=0.453.（ 2008高考宁夏、海南卷） AB 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1 和X2 。根据市场分析， X 1 和 X 2 的分布列分别为 文档来源网络及个人整理 , 勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途X 15%10%X 22%8%12%P0.80.2P0.20.50.3（ 1）在 A 、 B 两个项目上各投资100 万元， Y 1 和 Y 2 分别表示投资项目 A 和 B所获得的利润，求方差DY 1 和 DY 2； 文档来源网络及个人整理 , 勿用作商业用途版权文档，请勿用做商业用途（ 2）将 x（0x100）万元投资 A 项目， 100-x 万元投资 B