三角形四边形的有关计算证明

1、三角形四边形的有关计算证明高占芳一、考点，热点分析：(1) 了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系了解四边形的不稳定性；(2) 掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等， 或两组对边分别相等， 或对角线互相平分的四边形是平行四边形）了解中心对称图形及其基本性质；(3) 掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；(4) 了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论5进一步认识三角形的有关概

2、念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。6. 了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。7. 经历探索三角形全等条件的过程， 掌握两个三角形全等的条件， 能应用三角形的全等解决一些实际问题。8. 在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明） 。二、知识点归纳：平行四边形的菱形、矩形、正方形性质、判别方法的性质、判别方法图形的旋中心对称图形转、平移等腰梯形的性质和判别方法特殊的四边形一般多边形的内角和（n 2）· 180°，外角和为360°平面图形的密铺一般的多边形三角形的概念及

3、表示三角形的基本要素及基本性质三边的关系 , 三内角的关系三角形的高 , 中线 , 角平分线三角形三角形全等的表示及特征三角形的全等探索三角形全等的条件三角形全等的应用三、【例题经典】三角形内角和定理的证明例 1如图所示，把图（ 1）中的 1 撕下来，拼成如图（ 2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论点证：此题是让学生动手拼接，把1 移至 2，已知 a b，根据两直线平行，?同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于 180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导探索三角形全等的条件例 2如图所示， E= F=90°， B=

4、 C， AE=AF，给出下列结论： 1= 2； BE=CF； ACN ABM； CD=DN其中正确的结论是 _解析：由 E=F， B= C， AE=AF可判定 AEB AFC，从而得 EAB= FAC 1= 2，又可证出 AEM AFN依此类推得、点评：注意已知条件与隐含条件相结合全等三角形的应用例 3（ 2006 年重庆市）如图所示， A、 D、 F、B 在同一直线上， AD=BF， AE=BC，且 AE BC求证：（ 1） AEF BCD；（ 2） EF CD【解析】（ 1）因为 AE BC，所以 A= B又因 AD=BF，所以 AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因 AE=BC，所以

5、AEF BCD（ 2）因为 AEF BCD，所以 EFA= CDB，所以 EFCD【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行利用平行四边形的性质求面积例 4（ 2006 年河南省）如图，在 YABCD中， E 为 CD的中点，连结 AE并延长交 BC的延长线于点 F，求证： S ABF =SY ABCD 【解析】四边形ABCD为平行四边形， ADBC E 是 DC的中点， DE=CE AED FEC S AED =SFEC S ABF =S 四边形 ABCE +S CEF =S 四边形 ABCE +S AED =S Y ABCD会根据条件选择适当方法判定平行四边形例 5（

6、2005 年山东省）如图，在YABCD中，对角线 AC、 BD相交于点 O，E、 F?是对角线AC上的两点，当E、F 满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A OE=OFB DE=BFC ADE=CBFD ABE=CDF【分析】 虽然判别平行四边形可从 “边、 角、对角线” 三个角度来考虑，但此例图中已有对角线， 所以最适当方法应是 “对角线互相平分的四边形为平行四边形” 能利用平行四边形的性质进行计算例 6（ 2005 年西宁市）如图，在YABCD中，已知对角线 AC和 BD相交于点长为 15， AB=6，那么对角线AC+BD=【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相

7、平分，先求出AO+BO=9， ?再求得 AC+BD=18O， AOB?的周四、【考点精练】（一）、基础训练1如图 1 所示，若OAD OBC，且O=65°， C=20°，则OAD=（ 1）（2）（3）2如图2，在 ABC中， C=90°， AD平分 CAB， BC=8cm， BD=5cm，那么 D?点到直线AB的距离是 _cm3如图 3，AD、AF分别是 ABC的高和角平分线， 已知 B=36°， C=?76?°，则 DAF=_度4（ 2006 年烟台市）如图4， A=65°， B=75°，将纸片的一角折叠，使点C?落在 A

8、BC内，若 1=20°，则 2 的度数为 _（ 4）（5）（6）5如图 5，已知 CD AB，BE AC，垂足分别为D、E，BE、CD?交于点 O，?且 AO?平分 BAC，那么图中全等三角形共有_对6（ 2006 年河南省）如图6，在 ABC中， AC=BC=2， ACB=90°， D 是 BC边的中点， E?是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 _7以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）A 1cm， 2cm， 4cmB 8cm，6cm， 4cmC 12cm， 5cm，6cmD 2cm，3cm， 6cm8（ 2006 年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“

9、共边三角形”为公共边的“共边三角形”有（）A2对B3对C4对D6对， ?则图中以BC（7）（ 8）（9）9（ 2006 年德阳市）已知ABC的三边长分别为20cm，50cm， 60cm，现要利用长度分别为30cm 和 60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与ABC相似 ?要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）A 10， 25B10， 36 或 12， 36C 12， 36D10， 25 或 12， 3610（ 2005 年黄冈市）如图所示，已知ABC中， AB=AC， BAC=90°，直角 EPF的顶点 P是 BC

10、中点，两边PE、 PF 分别交 AB、 AC于点 E、F，给出以下四个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；S 四边形 AEPF =1S ABC ； EF=AP当 EPF在 ABC内绕顶点P2旋转时（点E?不与 A、 B 重合），上述结论中始终正确的有（ABCD11如图 1，该多边形的内角和为_度）(1)(2)(3)12如图 2，E、 F 是 YABCD对角线 BD上的两点，请你添加一个适当的条件：_ ，使四边形AECF是平行四边形13（ 2006 年长沙市）如图3，四边形ABCD中， ABCD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是_ （添加一个条件即可） 14（ 2006 年

11、扬州市） YABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（）A YABCD是中心对称图形B AOB CODC AOD BOCD AOB与 BOC的面积相等15（ 2005 年天津市）如图4，在 Y ABCD中， EF AB，GH AD， EF与 GH交于点 O，则该图中的平行四边形的个数共有（）A7个B8个C9个D11个16（ 2006 年广东省）如图5 所示，在 YABCD中，对角线AC、BD交于点 O，下列式子中一定成立的是（）A AC BDB OA=OCC AC=BDD AO=OD(4)(5)(6)17（ 2006 年淄博市）如图6，在 MBN中， BM=6，点 A， C， D 分别在边形

12、 ABCD为平行四边形，NDC=MDA，则 YABCD的周长是（MB，NB， MN?上， ?四）A24B18C16D1218（ 2006 年怀化市）如图7， AB=AC， ADBC， AD=BC，若用剪刀沿AD剪开， ?则最多能拼出不同形状的四边形个数是（）A2个B3个C4个D5个19如图 8， Y ABCD中，点 E、 F 分别是 AD、AB 的中点，值为（? ）A1：2B1： 3C1：4D 2：3EF 交AC于点G，那么AG： GC的(7)(8)(9)20（ 2006 年南通市）如图（）A 6mB12cm9， YABCD的周长是28cm， ABC的周长是C 4cmD8cm22cm，则AC的

13、长为（二）、能力提升21已知：如图，点C、D 在线段 AB上， PC=PD请你添加一个条件， ?使图中存在全等三角形，并给予证明所添条件为 _你得到的一对全等三角形是_ _22已知：如图， ABC是等边三角形，过 AB 边上的点 D 作 DG BC，交 AC于点 G，?在 GD 的延长线上取点 E，使 DE=DB，连结 AE、 CD（ 1）求证： AGE DAC；（ 2）过点 E 作 EFDC，交 BC于点 F，请你连结 AF，并判断 AEF 是怎样的三角形，试证明你的结论23（ 2005 年大连市）如图，ABCD， AB=CD，点 B、 E、 F、 D 在一条直线上， A= C，求证： AE

14、=CF（说明：证明过程中要写出每步的证明依据）24（ 2006 年内江市）如图，在ABD和 ACE中，有下列四个等式： AB=AC AD=AE 1= 2 BD=CE请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）?25如图，在 YABCD中， E、 F 是对角线AC上的两点， AE=CF，求证： BE=DF26（ 2006 年德阳市）如图，已知点的中点， ?求证： ?DAN= BCMM、N 分别是YABCD的边AB、 DC27（ 2006 年临安市）已知：如图， E、F 是平行四边形 ABCD?的对角线 AC?上的两点， AE=CF求证：（ 1） AD

15、F CBE；（ 2） EB DF28如图， DB AC，且 DB=1AC， E 是 AC的中点，求证： BC=DE2（三）、应用与探究29（ 2006 年浙江省）如图， ABC与 ABD中， AD与 BC 相交于 O点， 1=2， ?请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使 AC=BD，并给出证明你添加的条件是：_ 30（ 2006 年江阴市）已知平行四边形ABCD中，点 E、 F 分别在边AB、 BC上（ 1）若 AB=10， AB与 CD间距离为 8， AE=EB，BF=FC，求 DEF的面积（ 2）若 ADE、 BEF、 CDF的面积分别为5、 3、 4，求 DEF的面积答案：考点精练195° 2 3 3 20° 4 60° 5 4对 6 57B8B9D10C11答案不唯一，比如：A=B， PAC PBD12（ 1）证略（ 2）连接 AF， ?则 AEF是等边三角形证略13 ABCD， AB=CD， A= C， ABE CDF（ ASA） ?， ? AE=CF（全等三角形对应边相等）14为题设为结论，证略15 C=D，证略例题经典例 2B考点精练1