2020年高三数学数形结合常用的工具

1、2020年高三数学数形结合常用的工具郭银生依照题意的实际意义得:32 x 025 x 0,解不等式可得25 x 32 x x 0数形结合确实是对题目中的条件和结论既分析其代数意义又分析其几何意义，通过数与形的相互转化来解决数学咨询题的一种数学方法，它的本质是 ''以形助数，以数定形，数学家华罗庚曾言：''数形结合百般好，割裂分家万事休。数形结合思想是高中数学要紧的四大思想之一，是每年高考试题必考的内容，高考试题常以以下方式显现：研究方程根的情形，讨论函数的值域， 求变量的取值范畴解不等式。笔者就常用的 ''以形定数''的工具归纳如

2、下，以求抛砖引玉之效。一、韦恩图韦恩图是解决集合运算咨询题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如An B=AUBA=B,A=AABABB=AUB,CU(A n B)= C U AUCU B, C U (A U B)= C U ACCuB 等。例1.某班50人中，参见数学竞赛的25人，参加化学竞赛的 32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。解：设两科都参加的人数是x人，那么参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分不是32-x,25-x7<x<25.两科都参加得人数的最大值是25和最小值是7例 1.12003 上海春，5集合 A=x|x|<2, xC R, B=

3、 x|x>a,且 隼B,那么实 数a的取值范畴是.解析：1a<-2;. A= x|-2<x<2 , B=x|x>a,又 A B,利用数轴 上覆盖关系，因此有a<- 2.点评：利用韦恩图和数轴能够直观地解决集合咨询题三、斜率公式y=受一yx2Xi分式型的最值咨询题能够通过变形利用斜率公式解决。例3.函数y= 3 s1nx最大值是,最 2 cosx小值是 。解：函数解析式表示通过 A一 cosx,sinx和B2, 3两点连线的斜率 k, A在单位圆x2+y2=1上，通过A和B两点的直线方程为 y-3=k(x-2)即kx-y+3-2k=0,由直线和圆的位置关系得P

4、2klwi解之可得；6 23wkw6 2V3.1k233因此函数得最大值是 6 2 3最小值是6 2、333四、两点间的距离公式求通过变形能够显现<1(xi X2)2 (yi y2)2的模式的式子的最值咨询题，能够优先提示：a2+b2= Ja2 b22 = J(a 0)2 (b 0)22,表示点a,b到原点的距 离。五、直线方程y=kx+b (kw0)求含有两个变量的线性式子的最值，能够构造直线方程，利用截距的意义解决咨询题。这一应用在线性规划中表达的专门充分求线性目标函数的最值。22例5. x,y满足条件-y-1625=1,求y-3x的最小值和最大值解：令 y-3x=b,即 y=3x+

5、by由x2253x b2y16联立可得：1691x2 + 966y2 +16b2 -400=0,令/0 0 得:-13<b< 13y-3x的最小值和最大值分不是一 六、圆或半圆单位圆13和 13。1例 6. sin +sin =4cos+cos1一, 求tan( + )的值3解:点AcosB(cos ,sin )都在单位圆上,由可知A和B的中点C坐标J J)，那么直线AB过定点C8 6/ xOC= += 一22tan / xOC= tan2*tan()=24716点评：另外，单位圆中的三角函数线能够辅助解决三角不等式组咨询题。 七、二次曲线椭圆，双曲线，抛物线例 7. a>0

6、 且 awl,试求使方程 log (x-ak)=log (x 2 -a2) aa有解的实数k的取值范畴。解：原方程等价于 0V x-ak = Jx2 a2构造曲线C:y= x x a ，直线L:y= x-ak从而使咨询题转化为直线L和双曲线C:x 2 -y 2=a2 (y> 0)x轴上半部分有交点，求实数 k的取值范畴，如下图：有三条临界直线 L1、L 2、L 3当L在L4DL2之间时，直线L在y轴上的截距 ak满足av akv 0时L与C有一, 个交点，解之可得0V k< 1当L在L3上方时，直线L在y轴上的截距-ak满足av ak时L与C有一个交点，解之可得k< 1综合可

7、得，所求 k的取值范畴是 kk 1或0 k 1例8.求函数y= 72t 4 + 66t的值域。22解：设 m=V2t 4 , n= <6 t , 那么 m +n =16 (0<4,0 w nW2.2)原函数可变形为y=m+n, y表示直线在n轴上的截距，结合图形可知ymin=22y max=2 6点评：这两道题目能够建立目标函数，然后利用求函数最值的方法解决，但利用圆锥曲线定 义数形结合求解，事半功倍，迅速而准确。八、余弦定理例 9.求 sin2 20 +cos250 +sin20 cos50 的值。解：原式=sin 2 20 +sin240 + sin20 sin40=sin 2

8、 20 +sin 240 -2 sin20 sin40 cos1201一 一.设二角形的外接圆半径是一，二角形的二边分不是a,b,c,那么c= sin20 ,b= sin402由余弦定理，原式 =a2=(2 sin120 )2= 3 24九、向量平面向量，空间向量利用向量能够解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角异面直线的角、线面角、二面角和空间距离点线距、线线距、线面距、面面距，建立坐标系，写出坐标，能够''以数定形''。例10.如下图，P是正方形的ABCD的对角线BD上一点，四边形求证：1.PA=EF2.PAX EFPECF是矩形,建立如图的坐标系,设正方

9、形的边长是1, I那么 A(0,1),P(.22,22)，E(,0),F(1,2 PA=(-2,1-FE2=(T.2T )-1,-DP I =(i). I pA i =(-22+(1-2- 2+1-,J 2I FE 1 =(2-1)2 + (-二22- 2+1I PA | = | FE | ,即PA=EF-T、2)(y -1).2+ (1-2)(-PA ± FE ,即 PAL EF例11.如下图，在棱长为1的正方形ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分不是DD1 ,BD的中点,G在棱CD上，且CG =1 一 一 _-CD,H是CiG的中点,4.求证:EF± B1c.求证:

10、EF与C 1G所成角的余弦值.解:求FH如下图,1E(0,0,-)B1(1,1,1)的长建立空间直角坐标系 D-xyz ,F(1,1 ,0) C(0,1,0)D(0,1,1)2 2G(0, 3,0)4(1).证明:EF =(-,-,-)B1C =(-1,0,-1)2 2 2''' EF , B1C = , (-1)+ , 0+ , (-1)=0222EF ± B1c. EaBC(2). C1G =(0,-%) I C1G I =4)2(1)24I EF IEF GG = .cos EF,CG =EF CG 51EF C1G17(3). .H1G的中点.H( 2又F(1,l,0)2 2FH= I FH I =(0 2)28 i)2(i 0)2418点评：利用空间向量解决立体几何咨询题，将抽象的逻辑论证转化为代数运算，以数助形, 大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。十.复平面借助复平面上的两点间的距离公式和直线、圆、圆锥曲线等，再利用复数的意义求解咨询题，比单纯利用代数运算优越的多。例12 .假如复数z满足| z+i | + | z-i | =2，那么| z+i