第一章　三角形的证明及其应用 单元测试（含答案）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第一章三角形的证明及其应用(满分：120分时间：120分钟)一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是()A．24cm2B．30cm2C．40cm2D．48cm22．如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是()A．120°B．130°C．140°D．150°3．如图，在△ABC和△DEF中，已知AC＝DF，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加的条件可以是()A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠FC．∠B＝∠DEFD．∠ACB＝∠D4．如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m。现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢()A．(24－123)mB．(24－83)mC．(24－63)mD．(24－43)m5．如图，△ABC中，∠A＝30°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB＋∠FEC的度数为()A．140°B．60°C．70°D．80°6．在下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝12∠B＝13∠C；⑤∠A＝∠B＝12∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有()A．5个B．4个C．3个D．2个7．如图，P为△ABC外部一点，D，E分别在AB，AC的延长线上，若点P到BC，BD，CE的距离都相等，则关于点P的说法最佳的是()A．在∠DBC的平分线上B．在∠BCE的平分线上C．在∠BAC的平分线上D．在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，连接CO，BO，则图中全等三角形有()A．4对B．3对C．2对D．1对9．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝()A．40°B．45°C．50°D．55°10．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地。甲：A→C→B，路程为l甲。乙：A→D→E→F→B，路程为l乙。丙：A→G→H→B，路程为l丙。下列关系正确的是()A．l甲>l乙>l丙B．l乙>l甲>l丙C．l甲>l丙>l乙D．l甲＝l乙>l丙二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)11．“等边对等角”的逆命题是________。12．牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一。我们用反证法证明命题“5是无理数”时，应先假设________。13．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：________。14．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，则图中符合条件的格点有________个。15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，点F在AB边上，过点D作DE⊥BC，垂足是E，∠FED＝∠B，4∠FDE－∠A＝180°。下列结论：①2∠CDE＝∠A；②BC＝BF＋CD；③△DEF是等边三角形；④过点D作DM⊥DE，交AB边于点M，若M是AF的中点，DM＝3，则BC＝9。其中正确的是________。(把所有正确结论的序号填在横线上)三、解答题(本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)16．(8分)若两个多边形的边数之比为2∶3，两个多边形的内角和之和为1080°，求这两个多边形的边数。17．(8分)如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD交于点O。(1)求证：△AEC≌△BED。(2)若∠2＝42°，求∠C的度数。18．(8分)如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O。(1)求证：AD垂直平分EF。(2)若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，并证明。19.(8分)已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F。求证：(1)BF＝AC。(2)CE＝12BF20．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角。实践与操作：根据要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)。(1)作∠DAC的平分线AM。(2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与边BC交于点E，连接AE，CF。探究与猜想：(3)若AE＝5，EF＝8，求AB的长。21.(8分)如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点E自点A向点B以2cm/s的速度运动，动点F自点B向点C以4cm/s的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发。(1)试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？(2)填空：出发________s后，△BEF为直角三角形。22.(11分)定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫作“准等边三角形”。【理解概念】(1)顶角为120°的等腰三角形________“准等边三角形”。(填“是”或“不是”)【巩固新知】(2)已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C>90°，求∠B的度数。【解决问题】(3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1＋3，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长。23.(12分)如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转。(1)在图1中，DE交AB于点M，DF交BC于点N。①证明：DM＝DN。②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积。(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于点M，延长BC交DF于点N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于点N，延长ED交AB于点M，DM＝DN是否仍然成立？直接写出结论，不用证明。

【详解答案】1．A解析：∵62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积为12×6×8＝24(cm2)。故选A2．D解析：由题图及三角形外角的性质得∠α＝90°＋60°＝150°。故选D。3．B解析：A.添加∠A＝∠D，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF；B.添加∠ACB＝∠F，满足SAS，能判定△ABC≌△DEF；C.添加∠B＝∠DEF，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF；D.添加∠ACB＝∠D，两角不是对应角，不能判定△ABC≌△DEF。故选B。4．D解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12m。∵CD⊥AB，∴BD＝AD＝6m，∴CD＝63m，AE＝BE。∵∠BED＝60°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE，∴在Rt△BDE中，由勾股定理易得DE＝23m，BE＝43m，∴AE＝43m，∴新钢架减少用钢为(AB＋AC＋BC＋CD)－(AE＋BE＋AB＋DE)＝AC＋BC＋CD－AE－BE－DE＝(24－43)m。故选D。5．B解析：∵△DEF是由△DEA折叠而成的，∴∠A＝∠F＝30°。∵∠A＋∠ADF＋∠AEF＋∠F＝360°，∴∠ADF＋∠AEF＝360°－∠A－∠F＝300°。∵∠FDB＝180°－∠ADF，∠FEC＝180°－∠AEF，∴∠FDB＋∠FEC＝180°－∠ADF＋180°－∠AEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝360°－300°＝60°。故选B。6．B解析：①∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＝∠C＝12×180°＝90°，∴△ABC是直角三角形，②∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，∴∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，符合题意；③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，∴2x＋2x＋x＝180°，解得x＝36°，∴2x＝72°，不符合题意；④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，∴△ABC是直角三角形，符合题意；⑤∵∠A＝∠B＝12∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝12∠C＋12∠C＋∠C＝2∠C＝180°，∴∠C综上所述，能确定△ABC为直角三角形的是①②④⑤，共4个。故选B。7．D解析：由角平分线的判定并结合已知可知点P在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上。故选D。8．A解析：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴CD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴OC＝OB。∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，根据全等三角形的判定定理SSS推出△AOC≌△AOB，△ADC≌△ADB，△OCD≌△OBD，△AEO≌△CEO，即全等三角形共4对。故选A。9.A解析：如图，作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，P1P2。当M，N分别是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，由点P，P1关于OA对称，易得∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，∠OP1M＝∠OPM＝50°。同理可得∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2，∴∠P1OP2＝∠P1OP＋∠P2OP＝2(∠MOP＋∠NOP)＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP，∴△P1OP2是等腰三角形。∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°，∴∠P1OP2＝180°－2×50°＝80°，∴∠AOB＝40°。故选A。10．D解析：在图丙中，延长AG，BH交于点P，如图所示：设AB＝a，在图甲中，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝a，∴甲所行走的路程l甲＝AC＋BC＝2a；在图乙中，AE＋BE＝AB＝a，∵∠A＝∠AED＝∠FEB＝∠B＝60°，∴△DAE和△FEB都是等边三角形，∴AD＝DE＝AE，EF＝FB＝EB，∴乙所行走的路程l乙＝AD＋DE＋EF＋FB＝2(AE＋BE)＝2a；在图丙中，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴AP＝AB＝a，根据三角形三边之间的关系得GH<PG＋PH，∴AG＋GH＋HB<AG＋PG＋PH＋BH＝PA＋PB＝2a，∴丙所行走的路程l丙＝AG＋GH＋HB<2a，∴l甲＝l乙>l丙。故选D。11．等角对等边解析：“等边对等角”的逆命题是等角对等边。12.5是有理数解析：用反证法证明命题“5是无理数”时，先假设513．BC＝FE解析：在Rt△ABC和Rt△DFE中，AC＝DE，BC＝FE，∴Rt△14．5解析：如图，①若AB＝BC，则符合要求的有C1，C2，C3共3个点；②若AB＝AC，则符合要求的有C4，C5共2个点；③若AC＝BC，则不存在这样的格点。∴这样的C点有5个。15．①②④解析：①在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°－2∠C。∵DE⊥BC，∠CDE＝90°－∠C，∴2∠CDE＝∠A，故结论①正确。②设∠B＝∠C＝α，则∠FED＝∠B＝∠C＝α，∴∠A＝180°－2α。∵4∠FDE－∠A＝180°，∴4∠FDE－(180°－2α)＝180°，∴∠FDE＝90°－12α，∴∠DFE＝180°－(∠FED＋∠FDE)＝180°－α＋90°－12α＝90°－12α，∴∠FDE＝∠DFE，∴DE＝EF。∵DE⊥BC，∴∠CDE＋∠C＝90°，∠BEF＋∠FED＝90°。∵∠C＝∠FED＝α，∴∠CDE＝∠BEF。在△CDE和△BEF中，∠CDE＝∠BEF，∠C＝∠B，DE＝EF，∴△CDE≌△BEF(AAS)，∴CD＝BE，CE＝BF，∴BC＝CE＋BE＝BF＋CD，故结论②正确。③不妨假设△DEF是等边三角形，∴∠FED＝60°，∴∠B＝∠FED＝60°，∴△ABC是等边三角形，根据已知条件，无法判定△ABC是等边三角形，∴假设是错误的，故结论③不正确。④∵DM⊥DE，DE⊥BC，∴DM∥BC，∠MDE＝90°，∴∠AMD＝∠B，∠ADM＝∠C，∠MDF＋∠FDE＝90°。∵∠B＝∠C，∴∠AMD＝∠ADM，∴△AMD为等腰三角形。∵△CDE≌△BEF，∴∠DEC＝∠EFB＝90°，∴∠EFM＝90°，即∠MFD＋∠EFD＝90°。∵∠FDE＝∠DFE，∴∠MDF＝∠MFD，∴DM＝FM＝3。∵M是AF的中点，∴AM＝FM＝DM＝3，∴△AMD为等边三角形，∴∠ADM＝∠AMD＝∠A＝60°，AM＝DM＝AD＝3，∴∠FMD＝120°，∴∠MDF＝∠MFD＝12(180°－∠FMD)＝12×(180°－120°)＝30°，∴∠ADF＝∠ADM＋∠MDF＝60°＋30°＝90°。在Rt△ADF中，AF＝AM＋FM＝6，AD＝3，由勾股定理得FD＝AF2−AD2＝33。∵∠AMD＝∠B＝60°，∠ADM＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB。∵∠FED＝∠B＝60°，DE＝EF，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝FD＝33。∵∠EFB＝90°，∠B＝60°，∴∠BEF＝30°。∵在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，∴BE＝2BF，由勾股定理得BE2－BF2＝EF2，即(2BF)2－BF2＝(33)2，∴BF16．解：设边数较少的多边形的边数为2n，则(2n－2)·180°＋(3n－2)·180°＝1080°，解得n＝2，则2n＝4，3n＝6，故这两个多边形的边数分别为4，6。17．解：(1)证明：∵∠1＝∠2，∴∠BED＝∠AEC。在△AEC和△BED中，∠∴△AEC≌△BED(ASA)。(2)由(1)知△AEC≌△BED，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C。∵∠1＝∠2＝42°，∴∠C＝12(180°－∠1)＝69°18．解：(1)证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°。在Rt△AED和Rt△AFD中，∵AD＝AD，DE＝DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE＝AF。∵DE＝DF，AE＝AF，∴点A，D都在线段EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF。(2)DO＝14AD证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠EAD＝30°。又∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝60°，DE＝12AD由(1)得AD⊥EF，∴∠DOE＝90°，∴∠DEO＝30°，∴DO＝12DE，∴DO＝1419．证明：(1)∵DH垂直平分BC，且∠ABC＝45°，∴BD＝DC，且∠BDC＝∠CDA＝90°。又∵BE⊥AC，∴∠A＋∠ABF＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ABF＝∠ACD。在△BDF和△CDA中，∠∴△BDF≌△CDA(ASA)，∴BF＝AC。(2)由(1)得BF＝AC，∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°。在△ABE和△CBE中，∠∴△ABE≌△CBE(ASA)，∴CE＝AE＝12AC＝1220．解：(1)如图所示，AM即为所求作。(2)如图所示，EF，AE，CF即为所求作。(3)设AC，EF相交于点O。∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。∵AM平分∠DAC，∴∠DAF＝∠FAC，∴∠DAC＝2∠FAC。又∵∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠ACB，∴∠FAC＝∠ACB。∵EF是线段AC的垂直平分线，∴AO＝CO。在△AOF和△COE中，∠∴△AOF≌△COE(ASA)。∴EO＝FO＝12EF在Rt△AOE中，AO＝52−∴AB＝AC＝2AO＝6。21．解：(1)设出发xs后，△BEF为等边三角形，则AE＝2xcm，BF＝4xcm，BE＝(30－2x)cm，∵∠B＝60°，∴当BE＝BF时，△BEF为等边三角形，∴30－2x＝4x，解得x＝5，即出发5s后，△BEF为等边三角形。(2)3或7.522．解：(1)不是(2)∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C>90°，∴分两种情况：当∠C－∠A＝60°时，∴∠C＝∠A＋60°＝95°，∴∠B＝180°－∠C－∠A＝50°；当∠C－∠B＝60°时，∵∠A＝35°，∴∠C＋∠B＝180°－∠A＝145°，∴2∠B＝85°，∴∠B＝42.5°。综上所述，∠B的度数为50°或42.5°。(3)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1＋3，∴∠ABC＝90°－∠A＝60°，AB＝2BC＝2＋23。∵△BCD是“准等边三角形”，∴分三种情况：当∠C－∠CBD＝60°时，∴∠CBD＝∠C－60°＝30°，