专题八等腰三角形.doc(学生版)

1、专题八 等腰三角形 ( 学生版）教学目标1、掌握等腰三角形的性质与应用。2、掌握等边三角形的性质与应用。一、 知识回顾课前热身知识点 1、等腰三角形有两边相等；等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角” ）。热身如图， CA=CB,DF=DB,AE=AD求 A 的度数FACDEB1EM CABD知识点2、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一 )热身如图，已知在等边三角形ABC 中， D 是 AC 的中点， E 为 BC 延长线上一点，且CE CD，DM BC ，垂足为 M 。求证： M 是 BE 的中

2、点。知识点 3、等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；知识点4、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。热身若 ABC 的三边、满足(ab)(bc)(ca)0 那么 ABC 的形状是（）A 、等腰三角形B 、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形例题辨析推陈出新例 1、如图，已知：A

3、BC 中， ABAC ，D 是 BC 上一点， 且 ADDB ， DCCA ，求 BAC 的度数。AA1 2DBDCB3(例 1）EC（例 2）等于（变式练习如图，已知 ABC中，AB=AC，AD=AE， BAE=30°，则 DEC） A75°B10°C12.5 °D18°例 2、 已知：如图，ABC 中， ABAC ，CDAB 于 D。求证：BAC2DCB 。M,BE与例 3、如图,已知CD相交于点N,AD 与C 为线段 AE上的一点 ABC,CDE是等边三角形BE 相交于点O. 且AD与 BC相交于点(1) 试说明 :AD=BE(2)求角A

4、OE的度数(3)MN/AE（例 3）（变式练习）变式练习已知：如图1-10 ，在等边三角形ABC中， BD=CE=AF， AD与 BE交于 G， BE与 CF?交于 H， CF 与 AD交于 K，试判断 GHK的形状例 4、 如图，已知 ABC 中， BAC900 ，AB=AC，点 P 为 BC 边上一动点 （ BP<CP）,分别过 B、C 作 BEAP 于 E，CFAP 于 F.(1) 求证： EF=CF-BE.(2) 若点 P 为 BC 延长线上一点， 其他条件不变， 则线段 BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论 .AAFBPCEBC变式练习如图

5、1-19 ，在 ABC中， BAC=90°， AB=AC， BE平分 ABC， CE BE，那么 CE?是 BD的几分之几？三、归纳总结方法在握归纳 1. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、 底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。归纳 2.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系

6、是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用。归纳 3.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。四、拓展延伸能力升华例 1、如图， ABC中， AB=AC, A=100°， BD平分 ABC,求证： BC=BD+ADAAEDDBFCBEFC变式练习已知：如图1-16 ， ABC是等边三角形，延长AC到 D， ?以 BD?为一边作等边三角形 BDE，连结 AE，则 AD_AE+AB（填“ >”或“”或“<”）例 2、 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以AO

7、 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形OCD ，连结 AC 和 BD ，相交于点 E，连结 BC求 AEB 的大小；CBBCEEDAOAO图 7D图 82）如图 8，AO=OD, 分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结 AC 和 BD ，相交于点E，连结 BC求 AEB 的大小；例 3、（ 2012?襄阳）在等腰ABC中， A=30°， AB=8 ，则AB边上的高CD 的长是变式练习（ 2012?广安）已知等腰ABC 中， AD BC 于点 D，且 AD= 1 BC，则 ABC 底2角的度数为（）

8、 A 45°B 75° C 45°或 75°D 60°例 4、 （ 2012?遵义）如图，ABC 是边长为6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由A 向 C 运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（ Q 不与 B 重合），过 P 作 PE AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D（ 1）当 BQD=30° 时，求 AP 的长；（ 2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由变式练习（ 2012?湘潭

9、）如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，将ABC 沿直线 BC 向右平移，使B 点与 C 点重合，得到DCE，连接 BD ，交 AC 于 F（ 1）猜想 AC 与 BD 的位置关系，并证明你的结论；（ 2）求线段BD 的长五、 课后作业巩固提高AQ1.（ 2011?内蒙古巴彦淖尔）如图，在ABC 中， AB=20cm ，AC=12cm ，点 P从点 B 出发以每秒 3cm 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2cmPC的速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，B当 APQ 是等腰三角形时，运动的时间是（）A.2.5 秒B.3 秒C.3.5

10、秒D.4 秒2.（ 2011·西宁）如图6，在等边 ABC 中， D 为 BC 边上一点， E 为 AC 边上一点，且 ADB EDC 120°， BD 3， CE 2，则 ABC 的边长为 ( )A 9B12 C16 D 18（2 题）（5 题）3.（ 2012?攀枝花）已知实数x，y 满足 |x-4|+y8 =0 ，则以 x， y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A 20 或 16B 20C 16D以上答案均不对4.等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长5.（ 2012?贵阳）如图，在ABA 1 中， B=20°， AB=A 1B ，在 A 1B

11、 上取一点C，延长 AA 1 到 A 2，使得 A 1A 2=A 1 C；在 A 2C 上取一点D ，延长 A1A 2 到 A 3，使得 A 2A 3=A 2D； ，按此做法进行下去，A n的度数6.等边三角形ABC的边长为 3，点 P 为 BC边上一点，且BP=1，点 D 为AAC边上一点，若 APD=60°，则 CD的长为（ )A 1B 2C 3D 160° D234BCP第 10题图7. （ 2011?长春） 20在正方形网格图、图中各画一个等腰三角形每个等腰三角形的一个顶点为格点 A，其余顶点从格点 B、 C、 D、 E、 F 、 G、 H 中选取，并且所画的两个三角形不全等8. (2011 浙江绍兴， 23，12 分 )数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形 ABC中，点 E在AB上，点D在 CB的延长线上，且 ED=EC ，如图 . 试确定线段 AE与DB 的大小关系，并说明理由 .AEDBC小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（ 1）特殊情况，探索结论当点E 为 AB 的中点时，如图1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论： AEDB （填“ >” ,“<”或“ =”） .AAEEDBDBCC第8题图 1第8题图2（ 2）特例启发，解答题目解：题目中，