【2019最新】精选高三数学(理)人教版一轮训练：第七篇第2节空间几何体的表面积与体积

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第七篇第 2 节空间几何体的表面积与体积【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的表面积与侧面积3,8,12空间几何体的体积1,2,4,7,8,10球与空间几何体的接、切问题6,9,11折叠与展开问题5,13基础巩固 ( 时间 :30 分钟 )1. 如图是一个四棱锥在空间直角坐标系 xOz,xOy,yOz 三个平面上的正投影 , 则此四棱锥的体积为 ( B )(A)94 (B)32 (C)64 (D)16解析 : 由已知的三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥 ,其底面面积 S=(6-2)2=16, 高 h=8-2=6,所以四棱锥的

2、体积V=Sh=32,故选 B.2.(2017 ·二模 ) 堑堵 , 我国古代数学名词 , 其三视图如图所示 . 九章算术中有如下问题 :“今有堑堵 , 下广二丈 , 袤一十八丈六尺 , 高二丈五尺 , 问积几何 ?”意思是说 : “今有堑堵 , 底面宽为 2 丈, 长为 18 丈 6尺, 高为 2 丈 5 尺 , 问它的体积是多少?”( 注: 一丈 =十尺 ). 答案是欢迎下载。( C )(A)25 500立方尺(B)34 300立方尺(C)46 500立方尺(D)48 100立方尺解析 : 由已知 , 堑堵形状为棱柱 , 底面是直角三角形 , 其体积为× 20×

3、 186×25=46 500 立方尺 . 故选 C.3. 导学号 38486130(2017 ·三诊 ) 某几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的表面积为 ( D )(A)8+2 (B)8+3(C)10+2 (D)10+3 解析 : 根据三视图可知该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成 , 其表面积 S 表面积 =1×1×2+1×2×4+×12×× 2+2× ×1=10+3. 故选 D.4.(2017 ·、一模 ) 如图 , 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何

4、体的三视图 , 则它的体积为 (B)(A)48 (B)16 (C)32 (D)16解析 : 根据三视图得出 : 该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 OABCD, 正方体的棱长为 4,O,A,D 分别为棱的中点 ,所以 OD=2,AB=DC=OC=2.作 OECD,垂足是 E. 因为 BC平面 ODC,所以 BCOE,BCCD,则四边形 ABCD是矩形 .因为 CDBC=C,所以 OE平面 ABCD.因为 ODC的面积 S=4×4- ×2×2- ×2×4×2=6,所以 6=·CD·OE=×2×OE,

5、得 OE=,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第七篇第节空间几何体的表面积与体积所以此四棱锥 OABCD的体积 V=S矩形 ABCD·OE=×4×2×=16. 故选B.5. 导学号 38486131(2017 河南、河北、山西三省一模 ) 如图 , 在等腰梯形 ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60°,E 为 AB的中点 , 将 ADE与 BEC分别沿 ED,EC向上折起 , 使 A,B 重合于点 P, 则三棱锥 PDCE的外接球的体积为(C)(A)(B) (C)(D)解析 :易证所得三棱锥为正四面体, 它的棱长为1, 则正

6、四面体所在的正方体的棱长为 , 故外接球半径为 ,外接球的体积为 ()3= . 故选 C.6.(2017 ·广东二模 ) 底面是边长为 1 的正方形 , 侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 ( A )(A)(B)(C)(D)解析 : 底面 ABCD外接圆的半径是 , 即 AO=,则 PO=,所以四棱锥的外接球的半径为,所以四棱锥的外接球的体积为·()3=. 故选 A.7. 导学号 38486132(2017 ·二模 ) 祖暅 ( 公元前 5-6 世纪 ), 祖冲之之子 , 是我国齐梁时代的数学家 . 他提出了一条原理 : “幂势既同 , 则积不容3 / 73

7、 / 7异. ”这句话的意思是 : 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等 , 则这两个几何体的体积相等 . 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现 , 比祖暅晚一千一百多年 . 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体 . 如图将底面直径皆为 2b, 高皆为 a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面 的平面于距平面 任意高 d 处可横截得到 S圆及 S环两截面, 可以证明 S 圆=S环总成立 . 据此 , 短轴长为 4 cm,长轴为 6 cm的椭球体的体积是cm3.解析 : 因为总有 S圆=S环, 所以椭半球体的体积等于V柱-V 锥=b2a-

8、 b2a= b2a, 椭球体的体积 为 V= b2a. 因为 2b=4,2a=6, 所以b=2,a=3, 所以 , 该椭球体的体积是× 22×3=16(cm3).答案 :16 8.(2017 ·杭州二模 ) 若某几何体的三视图 ( 单位 :cm) 如图所示 , 则此几何体的体积是cm3,表面积是cm2.解析 : 由该几何体的三视图 , 知该几何体是三棱柱与两个相同的四棱锥的组合体 , 如图所示 ,该几何体的体积为V=+=×(2 ×4) ×3+( ×4×3) ×4+×(2 ×4) 

9、15;3=8+24+8=40(cm3);它的表面积为 S=+2S梯形 ABCD+2=8×4+2×× (4+8) ×+2×× 4×=(32+16)cm2.答案 :40(32+16)9.(2017 ·一模) 过球 O表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB,AC,AD,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第七篇第节空间几何体的表面积与体积且两两夹角都为60°, 若球半径为 R,则弦 AB的长度为 (A)(A)R(B)R(C)R(D)R解析 : 由条件可知 ABCD是正四面体 , 如图 ,A,B,C

10、,D 为球上四点 , 则球心 O为正四面体的中心 .设 AB=a,则过点 B,C,D 的截面圆半径 r=O1B=BE=×a=a,正四面体 ABCD的高 AO1=a,则截面 BCD与球心的距离d=OO1=a-R,所以(a)2=R2-(a-R)2, 解得 a=R.故选 A.能力提升 ( 时间 :15 分钟 )10. 导学号 38486133(2017 ·二模) 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题 : 在下雨时 , 用一个圆台形的天池盆接雨水 . 天池盆盆口直径为二尺八寸 , 盆底直径为一尺二寸 , 盆深一尺八寸 . 若盆中积水深九寸 , 则平地降雨量是 ( B )(

11、注: 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积 ; 一尺等于十寸 ;台体的体积公式V= (S上+S下) ·h)(A)2寸(B)3寸(C)4寸(D)5寸解析 : 如图 , 由题意可知, 天池盆上底面半径为14 寸,下底面半径为6寸, 高为 18 寸.因为积水深 9 寸, 所以水面半径为 (14+6)=10寸,则盆中水的体积为 ×9×(62+102+6×10)=588( 立方寸 ),所以平地降雨量等于 =3(寸). 故选 B.5 / 75 / 711.(2017 ·二模) 古代数学经典九章算术中 , 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 (bi

12、n ào). 若三棱锥 PABC为鳖臑 , 且 PA 平面 ABC,PA=AB=2,又该鳖臑的外接球的表面积为 24, 则该鳖臑的体积为.解析 : 由题意 , 三棱锥 PABC为鳖臑 , 且 PA平面 ABC,PA=AB=2,如图 , PAB=PAC=ABC=PBC=90°, 又该鳖臑的外接球的表面积为 24,可知 PC为外接球的直径 , 则 R2=6,BC=4,该鳖臑的体积为×× 2×4× 2=.答案 :12. 已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形, 俯视图是两个同心圆 , 如图所示 , 则该几何体的表面积为.解析 : 由三视图知该几何体为上底直径为 2, 下底直径为 6, 高为 2 的圆台 , 则 几 何 体 的表 面 积 S= × 1+ × 9+ × (1+3) × = 26 .答案 :26 13. 导学号 38486134 已 知 在直 角梯 形 ABCD中 ,AB AD,CD AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形 ABCD沿 AC折叠成三棱锥 DABC,当三棱锥 DABC的体积取最大值时 , 其外接球的体积为.解析 : 已知直角梯形ABCD,ABAD,CDAD,AB=2AD=2CD=2,沿 AC折叠成三棱锥 , 如图 , 则 AB=2,A