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1、一道数学题的剖析与拓展安徽省宿松县复镇初中杨有苗(2021-6-8 )最近解了一道数学题，如图，在平面直角坐标系中，点p坐标为(1,2)，过点p画直作PM丄X轴，PN丄Y轴，垂足分别为M, N 那么:OA=aOB=bPM=2PN=1解:令A,B两点坐标分别为(a, 0), (0, b)线AB,与x轴交于点A，与y轴交与点B。当 ABC面积最小时求直线 AB的解析式。YB常1、N P(1, 2)PN BP由PN/ X轴得：=OA BAPM PA由PM / Y轴得：=OB ABPN PM BP PA+ = + = 1OA OB BA AB口121 2Fz即：一+ =1又因为一+ > 2 一a

2、 ba blab所以有2 一 w 1¥ ab即 ab > 8八1因为丿AABOab，又该三角形面积取最小，所以取ab=82由，解得a=4 b=2设直线AB解析式为y=kx+c,把A,B两点坐标代入求得 k= -2, c=4故直线AB解析式为y= - 2x+4分析，因为直 MN的解析式为：y= - 2x+2 / AB/ MN由此猜测：过点 P作矩形PMON勺对角线MN的平行线与两坐标轴围成的三角形面积最 小。思考：如果点 P坐标为(m , n)，有A (a, 0) B (0, b) (m , n均为定值)如图：那么有 m +n =1BNP(m ,n)OMAX:mn 2 ab1Ya

3、 b4mnw 1 ab即ab> 4mn因为 ABO面积取最小值1而 / AABOh ab，故取 ab=4mn2由，解得：a=2m b=2n AM=OM BN=ON AB/ MN故，当AB平行于矩形PMON的对角线MN时，/从BO最小进一步思考：过 Rt/ EOF内的一点P画直线与角的两边相交，能否作出面积最小的三角形由前面猜测，作 PML OE,PNL OF,连接MN过点P作AB/ MN分别交 OE,OF于点A,点B , 那么，在过点P的所有直线中所得从BO的面积最小。F证明：过点 P作直线CD交OE于点C,交OF于点D,作AQ/ OF交CD于点QB由四边形MPN朿四边形PNMA匀为平行

4、四边形可得:PB=MN=PA 即 PA=PBD不难证 PAQAPBDN P故有/ OC8/AOABQ所以，当AB/ MN时，AOAE面积最小。O M A C E有特殊到一般，假设/ EOF为锐角时结论又是怎样？分析，当/ EOF为锐角时如图由前面PM/ OF,PN/ OE连接MN过点P作AB/ MN,与 OE,OF分别交于点 A,B.那么AOAB面积最小，很显然由上面的分析，同样不难证明FPA=PB,APAQAPBD ,贝U有/A OC8/AOABBD''N PQO"；'"M A C E当/ EOF为钝角时，同上面的思路，可得同样的结论。故有结论：过角内任一点作直线与角的两边相交 ，一定可得一面积最小的三角 F 形。方法：首先过这点作角两边的平行线， 再过

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