三角函数图像的对称轴与对称中心

1、函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。正弦函y=sinx的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx的图象的对称轴是经过其图 象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y轴的无数条直线；它的图象关于x轴的交点分别成中心对称图形。三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师王新敞对于函数y Asin( x八y Acos

2、( x )来说，对称中心与零点相联系， 对称轴与最值点联系.而y Atan( x )的对称中心与零点和渐近线与x轴的 交点相联系，有渐近线但无对称轴.由于函数y Asin( x )、y Acos( x ) 和y Atan( x )的简图容易画错，一般只要通过函数y sin x、y cosx、y tanx图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的 对称轴与对称中心.1.正弦函数y sin x图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k 、对称中心为(k ,0) k Z .2对于函数y Asin( x )的图象的对称轴只需将x取代上面的x的位置，即x k (k Z)，由此解出x丄(k)

3、(k Z)，这就是函数2 2y Asin( x )的图象的对称轴方程.对于函数y Asin( x )的图象的对称中心只需令x k (k Z)，由此解出x -(k) (k Z)，这就是函数y Asin( x)的图象的对称中心的横坐标，得对称中心(1(k ),0) k Z .2. 余弦函数y cosx图像的对称轴与对称中心：对称轴为x k、对称中心为(k ,0) k Z .2对于函数y Acos( x )的图象的对称轴只需将x 取代上面的x的位置，即x k (k Z)，由此解出x -(k ) (k Z)，这就是函数 y Acos( x )的图象的对称轴方程.对于函数y Acos( x )的图象的对

4、称中心只需令x k - (k Z),2 由此解出x丄你 亍)(k Z)，这就是函数y Acos( x )的图象的对称中 心的横坐标，得对称中心(1(k),0) k Z .23. 正切函数y tanx图像的渐近线与对称中心：渐近线为x k 、对称中心为(k ,0) k Z ,也就是曲线与x轴的交点2 2和渐近线与x轴的交点两类点组成.正切曲线无对称轴.对于函数y Atan( x )的图象的渐近线只需将x 取代上面的x的位置，即x k - (k Z)，由此解出x丄(k ) (k Z)，这就是函数2 2 y Atan( x )的图象的渐近线方程.对于函数y Atan( x )的图象的对称中心只需令x

5、 - (k Z)，由2 此解出x 1(y) (k Z)，这就是函数y Atan( x )的图象的对称中心的横坐标，得对称中心(1( ),0) k Z .2例 函数y=sin(2 x+-)的图象：关于点(-，0)对称；关于直线x二-对3 34称；关于点(-，0)对称；关于直线x二一对称.正确的序号为 .4 12解法一:由2x+二kn得x=- k ,对称点为(1 k , 0) ( k z)，当3 2626k=1时为(-，0),正确、不正确；由2x+k 得x= k( k z),332212当k=0时为x ,正确、不正确.综上，正确的序号为.12解法二：根据对称中心的横坐标就是函数的零点，对称轴必经过图象最值点的结论，可以采用代入验证法.易求f()=sin(2 x +_