高考数学二轮复习精品教学案专题09_圆锥曲线(教师版)

1、【2013考纲解读】1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.2.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.3. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.4.了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.【知识络构建】 【重点知识整合】2双曲线(1)双曲线的定义；(2)两种标准方程：1(a>0，b>0)，焦点在x轴上；1(a>0，b>0)，焦点在y轴上；(3)双曲线方程的一般形式：mx

2、2ny21(mn<0)，其焦点位置有如下规律：当m>0，n<0时，焦点在x轴上；当m<0，n>0时，焦点在y轴上；(4)双曲线的简单几何性质3抛物线(1)抛物线的定义；(2)抛物线的标准方程；(3)抛物线方程的一般形式：焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2x(0)表示；焦点在y轴上的抛物线标准方程可以用x2y(0)表示；(4)抛物线的简单几何性质【高频考点突破】考点一 椭圆1定义式：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)2标准方程：焦点在x轴上：1(a>b>0)；焦点在y轴上：1(a>b>0)；焦点不确定：mx2ny21(m>

3、;0，n>0)3离心率：e <1.4过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为.例1、过点C(0,1)的椭圆1(ab0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(a,0)过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：·为定值所以D点坐标为(，)故|CD|.【变式探究】若椭圆1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_【方法技巧】1涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题 (1)求椭圆标准方程

4、或离心率要注意a、b、c三者之间关系； (2)要善于借助于图形分析问题； (3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用，尤其是配方法的使用 2直线与椭圆的位置关系问题(1)判断方法：利用>0，0，<0可解决；(2)弦长问题：|AB|；(3)中点弦问题：用点差法较简单.考点二 双曲线1定义式：|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)2标准方程：焦点在x轴上：1(a>0，b>0)，焦点在y轴上：1(a>0，b>0)，焦点不明确：mx2ny21(mn<0)3离心率与渐近线问题：(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)e >1，注

5、意：若a>b>0，则1<e<，若ab>0，则e，若b>a>0，则e>.(3)焦点在x轴上，渐近线的斜率k±，焦点在y轴上，渐近线的斜率k±.(4)与1共渐近线的双曲线方程可设为(0)例2、已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【变式探究】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ()A. B.C2 D3【方法技巧】1使用双曲线定义时注意

6、点在双曲线的哪一个分支上 2对于双曲线的离心率与渐近线的关系若已知渐近线而不 明确焦点位置，那么离心率一定有两解 3直线与双曲线的交点比椭圆复杂，要注意结合图形分析尤其是直线与双曲线有且只有一个交点0或l平行于渐近线 考点三 抛物线1定义式：|PF|d.2根据焦点及开口确定标准方程注意p>0时才有几何意义，即焦点到准线的距离3直线l过抛物线y22px(p0)的焦点F，交抛物线于A、B两点，则有：(1)通径的长为2p.(2)焦点弦公式：|AB|x1x2p.(3)x1x2，y1y2p2.(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切(5).例3、如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A

7、. (1)求实数b的值； (2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程【变式探究】已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A. B1C. D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|).答案：C【方法技巧】1求抛物线的标准方程常采用待定系数法利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值注意定义转化 2直线与抛物线有且只有一个交点时，不一定有0，还有 可能直线平行于抛物线的对称轴 3研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析 【难点探究】难点一圆锥曲线的定义与标准方程

8、例1、已知双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【变式探究】(1)已知点P为双曲线1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，则的值为()A. B. C. D.(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_【答案】(1)B(2)1【解析】 (1)根据三角形面积公式把SIPF1SIPF2SIF1F

9、2转化为焦点三角形边之间的关系根据SIPF1SIPF2SIF1F2，得|PF1|PF2|F1F2|，即2a2c，则.注意内心是三角形内切圆的圆心，到三角形各边的距离相等(2)设椭圆方程为1(a>b>0)因为离心率为，所以，解得，即a22b2.又ABF2的周长为()()2a2a4a，所以4a16，a4，所以b2，所以椭圆方程为1.难点二 圆锥曲线的几何性质例2、已知椭圆C1：1(a>b>0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213Cb2 Db22【变式探究】已知双曲线1左

10、、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且PF1F2，则双曲线的渐近线方程为_【答案】y±x【解析】 根据已知|PF1|2·且|PF2|，故2·2a，所以2，.难点三 直线与圆锥曲线的位置关系例3、设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A(0,2)，右焦点F与点B(，)的距离为2.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在经过点(0，2)的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|？若存在，求直线l的倾斜角；若不存在，请说明理由 (2)由题意可设直线l的方程为ykx2(k0)，由|AM|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，由

11、消去y得x23(kx2)212，即可得方程(13k2)x212kx0，()由k0得方程()的(12k)2144k2>0，即方程()有两个不相等的实数根设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，则x1，x2是方程()的两个不等的实根，故有x1x2.从而有x0，y0kx02.于是，可得线段MN的中点P的坐标为.又由于k0，因此直线AP的斜率为k1.由APMN，得×k1，即226k26，解得k±，即tan±.又0<，故或.综上可知存在直线l满足题意，其倾斜角为或.【点评】 本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，

12、然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据两点间距离公式得到点M，N的坐标满足的关系式，即x(y12)2x(y22)2，即(x1x2)(x1x2)(y1y24)(y1y2)0，由于点M，N在直线上，y1kx12，y2kx22，代入(x1x2)(x1x2)(y1y24)(y1y2)0，得(x1x2)(x1x2)(kx1kx28)(kx1kx2)0，直线斜率存在，则x1x2，所以(x1x2)kk(x1x2)80，然后根据韦达定理整体代入即可求出k值【变式探究】如图所示，设P是

13、圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度【规律技巧】1离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定a，c的关系2抛物线y22px(p>0)的过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.同样可得抛物线y22px，x22py，x22py类似的性质3解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理

14、，进行整体代入即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|y1y2|，而|x1x2|等，根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入【历届高考真题】 【2012年高考试题】1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：（a,b0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是A. B。 C. D. 【答案】B【解析】由题意知直线的方程为：，联立方程组得点Q，联立方程组得点P，所以PQ的中点坐标为，所以

15、PQ的垂直平分线方程为：，令，得，所以，所以，即，所以。故选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ） 3.【2012高考真题新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 【答案】C【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）A、 B、 C、 D、 5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆的离心学率

16、为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为，所以，所以，即，双曲线的渐近线为，代入椭圆得，即，所以，则第一象限的交点坐标为，所以四边形的面积为，所以，所以椭圆方程为，选D.6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=17.【2012高考真题福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C.3 D.5【答案】

17、【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以，故选8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（ ） 9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A +=1 B +=1C +=1 D +=1【答案】C【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，所以椭圆的方程为，选C.10.【2012高考真题全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2P

18、F2|，则cosF1PF2=(A) （B） (C) (D)11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则OAF的面积为 12.【2012高考真题四川理15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_。【答案】3【解析】当直线过右焦点时的周长最大，；将带入解得；所以.13.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.14.【2012高考真题重庆理14】过抛物线的焦点作直线交

19、抛物线于两点，若则= . 15.【2012高考真题辽宁理15】已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为_。16.【2012高考真题江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若，成等比数列，则此椭圆的离心率为_.【答案】【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为.17.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 18.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆

20、上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值【答案】解：（1）由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。 （i）由得，。解得=2。 注意到，。 直线的斜率为。 （ii）证明：，即。 。 由点在椭圆上知，。 同理。 由得， 。 是定值。19.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的

21、方程 ()易得直线OP的方程：yx，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在椭圆上，设直线AB的方程为l：y(m0)，代入椭圆：20.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（）如图1，设，则由，可得

22、，所以，. 因为点在单位圆上运动，所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，. 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 图2 图3 图1O D xyAM第21题解答图 解法2：如图2、3，设，则，因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得. 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三点共线，所以，即. 于是由式可得.而等价于，即，又，得，【2011高考试题】1. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点

23、分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 2. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。3.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为 4 (2011年高考四川卷理科14)双曲线P到左准线的距离是 . 5. (2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .【答案】6【解析】，由角平分

24、线的性质得又 6.(2011年高考安徽卷理科21)（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。 【解析】：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设，则，即 8. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知化简得L的方程为10.(2011年高考陕西卷理科17)（本小题满分12分）如图，设是圆珠笔上的动点，点D是在轴上的投影，M为D上一点，

25、且（）当的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度。【解析】：（）设M的坐标为，的坐标为 由已知得在圆上，即C的方程为11.(2011年高考重庆卷理科20)（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）如图（20），椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为。（）求该椭圆的标准方程。（）设动点P满足,其中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值。若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。解析：（）由，解得，故椭圆的标准方程为 （）设，,则由得，即，因为点M,N在椭圆上，所以故 ，12(2011年高考四川卷理科2

26、1) (本小题共l2分) 椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q (I)当|CD | = 时，求直线l的方程； (II)当点P异于A、B两点时，求证：为定值. 解析：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率.则，的方程为.13.(2011年高考全国卷理科21)已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足()证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.（）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，即，同理即， A、P

27、、B、Q四点在同一圆上.【2010年高考试题】1.（2010浙江理数）（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A） （B） （C） （D）解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C， 答案：C2.（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（A）1 （B） （C） （D）23.（2010辽宁理数） (9)设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）4.（2010辽宁理数）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF