理工大学 工程力学教程第03章 力矩与平面力偶系

1、精选ppt第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系3-1 3-1 关于力矩的概念及其计算关于力矩的概念及其计算3-2 3-2 关于力偶的概念关于力偶的概念3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡精选ppt3-1 平面力对点之矩的概念和计算一、平面问题中力对点之矩（力矩）一、平面问题中力对点之矩（力矩）力矩通常以力矩通常以 来表示，来表示，M M的下标的下标O O表示力对哪一点取矩表示力对哪一点取矩力矩作用面，力矩作用面， 称为称为矩心矩心， 到力的作用线的垂直距离到力的作用线的垂直距离 称称为为力臂力臂OOhhFFM0 力对点之矩可看作是力对点之矩可看作是代数量代数量

2、，它的绝对值等于力的大小与，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的力臂的乘积，它的正负正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。常用单位或反之为负。常用单位或mNmkN 0MF精选pptoABdF由图可知：由图可知：()2oMFOAB 的面积的面积精选ppt 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。当当F=0 =0 或或 h=0 =0 时，时， =0=0。)(FMO说明：说明： 力对一已知点之矩，不因力沿作用线的移动而改变。力对一已知点之矩，不因力沿作用线的移动而改

3、变。 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。 力的作用线通过距心，则力矩为零；反之如果一个力的大小不为零，力的作用线通过距心，则力矩为零；反之如果一个力的大小不为零，但它对某点的力矩为零，则此点的作用线必定通过该点，即但它对某点的力矩为零，则此点的作用线必定通过该点，即 力矩的概念是对物体上固定点的作用引出的，实际作用在物体上的力力矩的概念是对物体上固定点的作用引出的，实际作用在物体上的力可以对任意点去矩，因此应该具体问题具体分析。可以对任意点去矩，因此应该具体问题具体分析。精选ppt5FFxFyOxyxy( )sin()(sincossin co

4、s )OMFFdFrFr平面内力矩的解析表达式平面内力矩的解析表达式dr- cos,sinxyFFFFcos,sinrxry OyxMFxFyF精选ppt6合力矩定理合力矩定理平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩，等于平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩，等于力系中各分力对同一点的矩的代数和。力系中各分力对同一点的矩的代数和。已知：力系（已知：力系（F1， F2， F3， ， Fn ）可以合成为一个合力）可以合成为一个合力FRiRFF则：则：平面力系：平面力系：)()(iOROFMFMnRFFFF21nixiiyiiROFyFxFM1)()(jFiFFyxi 精选ppt7 解解：用力对点的

5、矩法：用力对点的矩法 已知：如图已知：如图 F、Q、l, 求：求： 和和)(FMO)(QMO sin)(lFdFFMOlQQMO)( cot)( lFlFFMyxOlQQMo)(应用合力矩定理应用合力矩定理 cotcossin)( lFlFFMO sin)(FlFMO根据具体情况，选择计算量更小的方法进行力矩的计算。精选ppt 支架如图所示，已知支架如图所示，已知ABAB= =ACAC=30cm,=30cm,CDCD=15cm,=15cm, F F= =100N,100N,30求：求： 对对A A、B B、C C三点之矩。三点之矩。FFABCDAdCd解：由定义解：由定义mNCDFFdFmmN

6、ADFFdFmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30cos)(精选ppt9 解解：例例3 已知：如图已知：如图 F、R、r, , 求：求： )(FMA)()()(yAxAAFMFMFM应用合力矩定理应用合力矩定理ARFr FxFy sin)cos()(rFrRFFMyxA sinsin)cos(cos)(rFrRFFMAFrRFFMA cos)(将方程式展开将方程式展开OB精选ppt3-2 关于力偶的概念受两个受两个大小相等大小相等的的反向平行力反向平行力作用的物体作用的物体显然这些物体不满足二力平衡

7、条件，显然这些物体不满足二力平衡条件，不会达到平衡不会达到平衡。精选pptdFF 在力学中，把在力学中，把大小相等、大小相等、方向相反、作用线平行而不方向相反、作用线平行而不重合重合的两个具有特殊关系的的两个具有特殊关系的力作为一个整体，称为力作为一个整体，称为力偶力偶。以以 表示。表示。),(FF两力作用线所决定的平面称为两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面力偶的作用面，两力作用线间的距离称为两力作用线间的距离称为力偶臂力偶臂。 力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又中每个力仍具有一般的力的性质，但

8、作为一个整体又有它有它本身的特性。本身的特性。力偶的定义力偶的定义精选ppt1 1、力偶在任何坐标轴上的、力偶在任何坐标轴上的投影都等于零投影都等于零。因为力偶。因为力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行。因中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行。因此投影必定为零。此投影必定为零。2 2、力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力，、力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力，即它不能一个力平衡；力偶是最简单的即它不能一个力平衡；力偶是最简单的特殊力系特殊力系。3 3、力偶对物体不产生移动效应，只产生转动、力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以而且也效应，即它可以而且也只能改变

9、物体的转动状只能改变物体的转动状态。态。精选ppt力偶矩力偶矩一、力偶效应的度量一、力偶效应的度量- 设在刚体上作用有力偶（设在刚体上作用有力偶（F，F ），），现研究它对现研究它对O点的转动效应。点的转动效应。 力偶（力偶（F，F ）对）对O点的转动效应可点的转动效应可用一矩矢用一矩矢 M 来度量（称之为力偶矩）。来度量（称之为力偶矩）。,( )()OOM F FMFMF x+dMFF xFd 力使物体转动的效应用力矩来度量，因此力偶对物体的力使物体转动的效应用力矩来度量，因此力偶对物体的转动效应也可以用力偶中的转动效应也可以用力偶中的两个力两个力对其作用平面内对其作用平面内任意任意一点一点

10、的的力矩之和力矩之和来度量。来度量。FFdOx精选ppt力偶对物体的转动效应取决于力偶对物体的转动效应取决于三个要素三个要素a.a.力偶矩的大小：力与力偶臂乘积力偶矩的大小：力与力偶臂乘积b.b.力偶的转动方向力偶的转动方向ABCdFM2c.c.力偶的作用面力偶的作用面+力偶的方向：顺时针为力偶的方向：顺时针为负；逆时针为正负；逆时针为正精选ppt同一平面内同一平面内力偶等效定理。力偶等效定理。在同一平面内的两个力偶，如果他们的在同一平面内的两个力偶，如果他们的力偶矩力偶矩大小相等，大小相等，而且转向相同，则这两个力偶等效。而且转向相同，则这两个力偶等效。三组力偶，力的大小、作用位置、力偶臂的

11、长度不同，但三组力偶，力的大小、作用位置、力偶臂的长度不同，但它们的力偶矩相等，转向相同，三个力偶是等效的它们的力偶矩相等，转向相同，三个力偶是等效的精选ppt=平面内作用一力偶加减平衡力系公理力的合成力的可传性原理证明：平面内两个等效的力偶，其力偶矩的大小相等，转向相同证明：平面内两个等效的力偶，其力偶矩的大小相等，转向相同精选pptABDABCABDABC？ABDdFFFM2,1RRRABCFdFFM2,精选ppt力偶的性质力偶的性质性质性质1. 1. 力偶可以在其作用面内任意转移，而不改变它对力偶可以在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的转动效应。刚体的转动效应。性质性质2 2：保持保

12、持力偶矩力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中意改变力偶中力和力偶臂的大小力和力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的，而不改变力偶对刚体的转动效应。转动效应。力偶矩（包括大小和方向）才是度量力偶对刚体转动效应力偶矩（包括大小和方向）才是度量力偶对刚体转动效应的依据。的依据。只要保证力偶矩的代数值不变，一个力偶就可以只要保证力偶矩的代数值不变，一个力偶就可以用同一平面内的另一个力偶代替而不改变它对刚体的转动用同一平面内的另一个力偶代替而不改变它对刚体的转动效应。效应。性质性质3. 3. 力偶没有合力，力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡力偶只能由力偶来平衡精

13、选ppt1.力和力偶小结 力偶使刚体产生转动；力可使刚体产生移动+转动.2.力矩和力偶矩 同为度量转动效应的物理量.力矩与距心位置有关，而力偶矩与矩心位置无关.精选ppt1M2M3M3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡一、合成一、合成AB1F1Fd11MFdAB2F2Fd22MF dAB3F3Fd33MF d 123FFFF123()FFFF FABdF 123123()MFdFFF dMMM精选ppt结论：结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的

14、代数和。的代数和。推广得：推广得：12nMMMMM 精选pptFFA 平面力偶系总可以简化为图平面力偶系总可以简化为图示情形。若示情形。若F=0，则力偶系平衡，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，则或是合力偶矩等于零，则或是F=0或是或是d=0，无论哪种情况，该力偶系均，无论哪种情况，该力偶系均平衡。因此可得结论：平衡。因此可得结论： 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。中各力偶矩的代数和等于零。即：即：0M上式称为上式称为平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。二、平衡条

15、件二、平衡条件dB精选ppt23 例例 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径 的孔的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? ? mN154321 mmmm4321mmmmM 解解: : 各力偶的合力偶距为各力偶的合力偶距为mN60)15(4 niiMM1精选ppt2402 . 04321 mmmmNBN3002 . 060 BNN 300 BANN根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有: : 由力偶只能与力偶平衡的性由力偶只能与力偶平衡的性质

16、，力质，力NA与力与力NB组成一力偶。组成一力偶。01niiM精选ppt25 例例 已知：已知：M11kNm，l1m， 求平衡时求平衡时M2? ? 01MlFE解解: :kNlMFE1101niiMAB:CD:01niiM02MlFEkNmlFME12BClAD45oEM1M2FEFAFCFEM2EClEABM1精选ppt26xy 例例 已知：已知：M13m/2， M2m/2， CD=l ， 求：求：AB、AC 杆所受力。杆所受力。 021MMlFC cos解解: : coslmFC01niiMCD:C:0yF 0BCCFF coslmFBCFACFCCBCDM1M2A M1M2DCFD FCFBC0 xF 0ACCFF sin tanlmFAC精选ppt 系统如图，系统如图，ABAB杆上作用矩为杆上作用矩为M M的力的力偶，设偶，设AC=2RAC=2R，R R为轮为轮C C的半径，各物体的半径，各物体的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和铰铰A A对对ABAB杆