2-541空间中点与直线对称点与正射影长重点

1、2-541空間中點與直線對稱點與正射影長2-541空間中點與直線對稱點與正射影長1. AB在直線L的正射影長2.AB在直線L的正射影長COST2-541空間中點與直線對稱點與正射影長JLH!严3. P到直線L的對稱點為P',且 H為P到L的垂足，則p + p'Hp' =2H - p。2【1】、設直線 L 過 A(1,5,2), B(2,5,3)兩點，若點 P(3,3,2),則2-541空間中點與直線對稱點與正射影長2-541空間中點與直線對稱點與正射影長(1)AP在AB上之正射影為(2)(3)(4)AP對直線L之投影量為 P對直線L之投影點為_ P對直線L之對稱點為答案

2、：(3,0,1); (4,-5,-1); (5, 13,-4)解：直線參數式I x=1 3t,AB: y=-5,P(3,3,2)A(1,-5,-2), B(-2,-5,-3)z = -2 t= (2,8, 4),-3,0, -1)投影量AB =( )AB =(3,0,1)10投影向量 AP COS0 -設 AD =(3,0,1),則 D(x,y,z)為 P 對 L 之投影點又 A(1,-5,-2)-D(4,-5,-1)P對L之對稱點為P (x,y,z),則PP 之中點為D- P (5,-13,-4)點P(Xi, %,乙)在直線L:aX-X0八yo 7 上 A(Xo,yo,z0)在 L 上c=

3、(a, b, c)P對直線L的正射影的坐標P對於直線L的對稱點之坐標a 2(ab)b-a【1】、試求點P(1, 2 3)在直線L： 口 = 士 上的正射影的坐標。1 2 2答案：L上有一點A(2, -1, 43)a 二 AP =(1 -2,-2 1,3 3) =(-1, 一1,6)b =(1,2,2)p在l上的正射影=a - qgb = (2, b2-3)一1 一2 1212 22 22(1, 2, 2) =(3, 1, -1)【2】、試求點P(2, 1,0)對於直線 = 口 =4 的對稱點之坐標。123答案：此直線上有一點A(1,4, 3)a = AP =(2 -1,1 -4,0 -3) =

4、(1, -3, -3)b = (1,2,3)所求之對稱點為2(a b)2(1 -6 -9)A 2 b -豪=(1,4, 3) 12 2 32 (1,2, 3) - (1, -3, - 3) = (-2, 3, 0)【3】求(1,-2,3)到 匸1二丄上=4 之距離,且求(1,_2,3)在此直線上的垂足。2 3-1Ans:卫丄-立§)777 7【4】若點 A(1,2,3),E:x-2y 3z=4,試求:(1) A在平面E上之投影點坐標。(2) A關於平面E之對稱點的坐標Ans:6 16-7187)5 18(2)( 7 ,7157)【5】試求空間一點A(1,2,3)對於平面E:x_2y_

5、2z_9=0之投影點坐標,對稱點坐標Ans:(3,-2,-1)(5,-6,-5)【6】求叫2,3)到L号二专号的距離和垂足H坐標【7】求P(2,1T到一宁=专二号的距離和垂足H坐標Ans¥(2)2 2 2x = -t【8】.在空間坐標中，點P(1,-1,2)到直線y - -1 2t,tR的最短距離為。此時之投影坐標z = 3 tAns空，竺3 13 5 3丿【9】A。，0'1)®2,34)'求AB在直線L:学=?=宁的正射影長。Ans: 3【10】.A(1，01),B(2,2'4)，求AB上所有點在L:宁=詈=专上之正射影長。Ans兰7【11】.設L

6、為x_y z=1,x y _z =1,兩平面的交線，則L上與點P(1,2,3)距離最近的點Q為，最近距離為。5 5、三 An 5(1,二，)，-2 2 2【12】設 P(1,-2,3),L: 口二山二,則:1 2 2(1) P在L上之投影點坐標。P關於L之對稱點坐標。(3) P點到直線L之距離。Ans:(1)(3,1-1)(2) .29(3)(5,4, -5)x 3 y 2 z +1【13】 點 P(-5,0,-8), L :，則1 -2 2(1) 過P且與L平行的直線方程式為 (2) 自P作L之垂直線,則垂足Q為&力仆x + 5 y z + 8解答：(1)(2)(1,6,-5)1 -

7、2 22-543空間中點與直線投影點與對稱點之應用問題【1】、設二點A(3,1,2), B(4,3,3 )和一直線L:x=t+1 , y=1, z=t+2，若點P在直線L上移動, 則當P點坐標為何時， PAB的面積最小？又其最小面積為何？答案：直線AB與L為歪斜線，為使 PAB面積最小，故P到直線L之距離要最小，因此P為此對歪斜線之公垂線與L之交點。P(t 1,1,2)，設 Q 在 AB 上, Q(3 s,12s,2 s)PQ (1,0, -1) = 0, PQ (1,2,1) =0 t = 1, 6s 2 = 018 152 ： $3s二 P(2,1,1), Q(, , ), PQ, AB

8、= 63 3 3 33 PAB.6 »；223【2】、設厶 ABC 的三頂點為 A(3,2,2), B(1-1,4), C(t,s,1 -t-s),則 ABC周長之最小值為何？又此時 C點坐標為何？答案：C點落在X y1之平面E上A 對平面 E 之對稱點 A為(3,2,2)-26 (1,1,1) = (-1,-2,-2)v 3 < 3A B: x=1 2t, y = -1 t,z =4 6tA B與平面E之交點為C，1 2t 1 t) 4 6t =1114-C(；-,2)33 3 ABC周長最小值為AB AB1741X 1 y Z 3【3】AgAB在L上的垂足為C,D，L=十石

9、，求:(1)C,D之坐標。 AC: BD之值。(3)P L,AP BP最小時的P坐標11 4 1Ans:(1)C(5,2-1),D(3,1,1)(2)2:1(3)(1,?1)【4】、設A(2,2,4), B(3,0,1),點P在平面E:2x_y+2z=5上，則P點坐標為何時，可使 PA+PB 最小，又其最小值為何？答案：A 對平面 E 之對稱點 A為(2,2,4)2 9(2,-1,2)= (_2,0,0)33AB : x - -2 5t, y = 0, z 二 t3AB與平面E之交點為2(-2 5t) 2t =5 二t二4 P點為(,0,上)，PA PB最小值為AB . 264 4【5】設空間

10、中兩點A(-4,2,5), B(5,5,-1)與直線L :X 3二丄二口 在L上找一點P,使PA PB最2 -1 -2小,則P點坐標為何？又此時PA PB之最小值為何？答案：A對直線L之投影點為A(2t3,t,2t5)(2t 7,t -2,2t 一10) (2,1,-2) =0 /. t - -4 A (-5,4,3)且 AA =3B對直線L之投影點為B (2s 3,-s,-2s-5)(2s _2,_s _5,_2s -4) (2,-1,-2) 0/. s 二-1 B (1,1,- 3), BB、6 P 在AB 上且 PA :P-1:2甘(兰,1)PA PB 二.1872 = 9、2【6】、設空間中直線L : 1二汇2 =z與平面E :x-2y + z = 3，若直線L在平面E上之投影為4 33直線L ，直線L與平面E相交於P,則(1) P點坐標為(2) 求包含直線L及L "之平面方程式為 23; 1710 ; 10直線L '之方向向量為(a,2,b),則a =, b =答案：(-7,-8,-6), 9x-y-11z = 11解析：x -1v 亠 2zt 二(4t1) -2(3t -2)(3t) -3433