自动控制原理汇总之判断系统稳定性方法

1、自动控制原理汇总之判断系统 稳定性方法作者:日期:判断系稳定性的方法一、稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正;0000000000a10a2 a0将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；an 1an3an5anan2an40an1an30anan 2当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即1an 10an 1an 3anan 2an 1an3an5anan2an40an1an3则方程无正根，系统稳定。赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。例；若已知系统的特征方程为s4

2、8s3 18s2 16s 5 0试判断系统是否稳定。解：系统特征方程的各项系数均为正数。根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。 由得各阶子行列式；88181016181618812800516172808100161881051618000二86900各阶子行列式都大于零，故系统稳定。2、劳思判据10(1)劳思判据充要条件:A、系统特征方程的各项系数均大于零，即a>0;B、劳思计算表第一列各项符号皆相同。满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。(2)劳思计算表的求法:并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即:sn snsn san ahC

3、1ananb2c2ananb3c3an 6an 7b4C4U1V1W1U2B、计算劳思表an 1an 2anan 3an 1b2an 1an 4anan 5an 1an 1an 6 anan 7an 1系数bi的计算要一直进行到其余的bi值都等于零为止。用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c, d, e等各行的系数。C1C2C3ban 3 an 心Nan 5 an 1c1b2b1c2d1-an 7 an 也C1(3)劳思判据的两种特殊情况A、劳思计算表第一列出现零的情况因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正

4、数e代替 0进行计算，再令£-0求极限来判别第一列系数的符号。B、劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对s求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。例1 ：已知系统特征方程为s5 2s4 3s3 6822s 1 0判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得:363211 s0 s263故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。例2:已

5、知控制系统的特征方程为s62s58s412s320s216s 160试判定系统的稳定性。解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。s6182016s5(21216)s5168列写劳思计算表并计算得：s4(21216)s4168s300因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下:4 一 2 二As s 6s 8将A(s)对s求导，得:dsAs4s312s再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表:ssssssi s0 s111(41313886612)3820 1688从劳思表的第一列可以看出,各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况

6、，故必有共钝虚根存在。共钝虚根可通过辅助方程求得 s4 6s2 8 0其共钝虚根为 玩2 v2j ； s3，4 2j ,这四个根同时也是原方程的 根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。根轨迹法(复域)系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S平面的左半平面。例:已知系统的开环传递函数为G(? =?+1)(0.5?+1)试应用根轨迹法分析系统的稳定性。解：G(? =2?+1)( ?+2)?+1)( ?+2)(K *=2k)做根轨迹:(a)有三条根轨迹(n=3 m=0 n-m=3)(b)实轴上(0,-1 ) (-2, -s)为根轨迹段(c)渐近线的夹角与坐标:(2?+1)? 一

7、 。八(-1 )+(-2)?= S?-= ± 60 180 ,?=3= -1(d)分离点坐标d:1,1, 1 _ 八?+ 1 + ?+ 2 + ?= 0解得 d 1= -0.423d2= -1.58(舍去)因为d2不在根轨迹上(e)与虚轴的交点坐标：D(?= ?+ 3?+ 2?+ ?令S=jw代入到式中得:D( ?= (?)+ 3(?)+ 2(?+ ?解得:-?3 + 2?= 0-3? 2 + ?，= 0?2根轨迹图如下所示:三、频率特性0, ?, = ±1.414?= ± 1.414? = 6,?= 31、 奈氏判据(奈奎斯特判据)Z=P-2N系统稳定时Z=0

8、由开环传递函数在S平面的极点个数 巳 奈氏曲线绕(-1, j0)的圈数N,得到闭环传递函数在S平面的极点的个 数ZP通过G(S)可知N :顺时针为负，逆时针为正当V?0时，需要做增补线 W:0-0+从幅相曲线W= 0+位置开始沿逆时针方向画 VX90的圆弧 增补线(理论半径为s)计算圈数时要包括所画圆弧的增补线 在内。例：某单位负反馈系统的开环传递函数为 G(?= ?2；:斗 试用奈氏判据判别闭环稳定性。解：W 0+oo幅值趋于0,相角趋于-270，N=-1, P=0, Z=P-2N=2故闭环系统不稳定。2、 对数频率判定系统稳定性,?N = ?+ - ?=-2在截止频率之前，在对数幅频曲线 L(W)>0.对应的频率范围对应的相角是否穿越-180 °在V?0时，也需要做增补线