弹性力学计算题汇总

1、三 试确定以下两组应变状态能否存在( K , A, B 为常数 ), 并说明为什么？(1)(2)xK (x2y2 ), yKy 2 , xy2Kxy(存在 )xAxy2 , yBx2 y, xy0(不存在 )四计算题1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。解：主要边界条件，xb ，x0; xypxb ，xq;xy0次要边界条件，在y0 上，(xy ) y 00，满足；b(y ) y0 dxFbFbb(y ) y 0 xdx2bF和力矩 MFb / 2 作用，试用应力函数2.图中所示的矩形截面体，在o 处受有集中力Ax 3Bx 2 求解图示问题的应力分量，设在A 点的位移和转

2、角均为零。解：应用应力函数求解，4（1）校核相容方程0 ，满足（2）求应力分量，在无体力时，得y6Ax2B ，yxy0考察主要边界条件，xb ，yxy0 ，均满足。考察次要边界条件，在y0 上，( xy ) y 00，满足；by ) y 0 dxF，得BF(；b2bFbbFb (y ) y 0 xdx，得 A8b2 。2代入，得应力的解答，F3x) ，xy0y(12bx2b上述应力已满足了40 和全部边界条件，因而是上述问题的解。3. 图中所示的悬臂梁，长度为l ，高度为 h ， lh，在边界上受均匀分布荷载q ，试验应力函数Ay5Bx 2 y3Cy 3Dx 2Ex2 y能否成为此问题的解？如

3、可以，试求出应力分量。4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载P 的作用。若应力函数Ax3Bx 2 ，试求各应力分量。解：（ 1）检验相容方程是否满足，由4 ( )0（ 2）求应力分量：x0y6Ax2Bxy0（ 3）由边界条件：yh 边，由圣维南原理可得：a( y ) y h dxpa可得： Bp / 4aay ) y 0 xdxp ? a(a2可得： Ap8a 2（4）应力分量为：x 0y3 p2 xp4a2axy05. 试推导平面问题的yxyf y0y 方向的平衡微分方程xy解：xyyxxyxdxxyxyCf xxxfyxdxxyxyxdyyyydyyy以 y 轴为投影轴，列出投影平衡方

4、程Fx0 ；(yy dxydy)dxy(xyxydx)dyxy dy f y dxdy 0x约简之后，两边除以dxdy ，得yxyf y0yx2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，fx0, f yg （为杆件密度， g 为重力加速度），并设 =0。试用位移法求解杆件竖向位移及应力。 （ 14 分）yxxy0 ，yf y 0 ； 用（平面问题的平衡微分方程：xf xxyyx位移分量表示的ox应力分量表达式： xE 2 (u v) ， yE 2 (v u ) ，1xy1 yxxyE( vu ) ）2(1 )xylg解：据题意，设位移 u=0， v=v(y)，按位移进行求解。

5、y根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：题七图E(2 u12 u12vf x0,(a)12x22y22)x yE(2v12 v12uf y0.(b)12y22x22)x y将相关量代入式 (a)、(b)，可见(a) 式（第一式）自然满足，而 (b) 式第二2 vg式成为2Ey可由此解出vg y2AyB.(c)2E本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且(v) y 00,(y ) y l0将(c)代入， 可得 Bgl0， AE反代回 (c)，可求得位移：vg (2lyy2 )2Eyg(ly)4、设有函数qx24

6、 y33 y1qy22 y3y，4h3h5h3h（1）判断该函数可否作为应力函数？（3 分）（2）选择该函数为应力函数时， 考察其在图中所示的矩形板和坐标系 （见题九图）中能解决什么问题（ l >>h）。（15 分）解：42440，显然满足。因此，该函数可以作h/2为（ 1）将代入相容方程4224xxyyOx应力函数。h/2（ 2）应力分量的表达式：x26qx2 y4qy33qy ,y2h3h33hy2q4y33y1x22h3hxy26qxh2y2x yh34y题九图考察边界条件：在主要边界y± h/2 上，应精确满足应力边界条件q4 y33yqyyh22h3h1yh2y

7、hq4 y33y10y22h3hyh2xyh6qx h2y20y2h34yh2在次要边界 x0 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：h / 2dyh / 24qy33qy(奇函数 )h / 2xx0h / 23dy 0h3hh / 2ydyh/ 24qy33qy0h/ 2xx 0h / 23ydyh3hh / 2dy0h/ 2 xyx0在次要边界 xl 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：h / 2xdyh/ 26ql 2 y4qy33qydy 0(奇函数 )h/ 2h / 2h3h33hx lh / 2h / 26ql2y4qy33qyqlydyydyh/ 2xh

8、/ 2h3h33h2x lh / 2xydyh / 26qlh2y2qlh / 2h / 2 h34x l对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力； 右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。所以能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q 的问题。1. （ 12 分）试列出图 5-1 的全部边界条件， 在其端部边界上， 应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 （板厚1）图 5-1解：在主要边界 yh 2 上，应精确满足下列边界条件：y y h 2

9、qx l ，yx y h 20；y y h 20 ，yx y h 2q1在次要边界 x0 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1时，h 2dyFN ，h 2ydyM ，h 2dyFSh 2xx 0h 2xx 0h 2xyx 0在次要边界 xl 上，有位移边界条件：u x l 0 ， v x l0 。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：h 2h 2ql2qlhx 0 dyFNq1lx x 0 ydyMFS lh 2x，h 2，62qlh 2x 0 dyFSh 2xy22. （ 10 分）试考察应力函数cxy3 ， c0 ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力

10、），画出图 5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。图 5-2444解：（ 1）相容条件：将cxy3 代入相容方程42x2y2y 40 ，显然满足。x26cxy ， y3cy2（ 2）应力分量表达式：xy20 ，xy（ 3 ） 边 界 条 件 ： 在 主 要 边 界 yhy y h 23chx ，上，即上下边，面力为3 ch22xy y h 24在次要边界 x0, xl 上，面力的主失和主矩为h 20dy0h 2xxh 20 ydy0h 2xxh 2h 2c h3h 2xyx0dy3cy2dyh 24h 2dyh 20h 2xx l6clydyh 2h 2xx

11、lydy6cly 2 dyclh3h 2h 2h 22h 2h 2c h3h 2xyx 0dy3cy2 dyh 24弹性体边界上的面力分布及在次要边界x0, xl上面力的主失量和主矩如解图所示。3.（ 14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q,如图5-3所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量x0 ）图 5-3解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量x0 ，(1)假设

12、应力分量的函数形式。x0(2)推求应力函数的形式。此时，体力分量为f x0, f yg 。将x 0 代入应22力公式 xy 2有xy20 对 x 积分，得yf x ，（ a）yf xf1 x。（ b ）其中 fx， f1 x 都是 x 的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程40 ，得y d 4 f xd 4 f1 x0dx4dx4这是 y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y 值都应该满足），可见它的系数和自由项都必须等于零。d 4 fx0 ， d 4 f1 x0 ，两个方dx4dx4程要求fxAx3Bx2Cx ， f1 xDx 3Ex 2(c)f

13、x中的常数项，f1x 中的一次和常数项已被略去，因为这三项在的表达式中成为 y 的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数y Ax3Bx 2CxDx 3Ex 2(d)（ 4）由应力函数求应力分量。2xy2xf x0 ，(e)2y2yf y6 Axy2By6Dx2E gy ，(f)x2xy(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数3Ax 22BxC .x y(g)先来考虑左右两边 xb 2 的主要边界条件：x x b 20 ，xy x b 20 ， xy x b 2 q 。将应力分量式(e)和 (g) 代入，这些边界条件要求：x x b 20，自然满足；xy x b 23 Ab2Bb C 0

14、(h4)xy x b 23 Ab 2Bb C q4(i)由（h ） （i ）得qB2b（ j ）考察次要边界y0 的边界条件， 应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为b 2dxb 22E dx2Eb0 ；E0b 2y6Dx得y 0b 2b 2b 2Db3D0b 2yxdx6Dx2E xdx20 ，得y 0b 2b 2xydx3Ax 2 q xC dxAb30bCb 2b 2y0b 2b4（ k ）由（ h ）（ j ）（ k）得Aqqb2 ,C4将所得 A 、 B、 C、 D 、E 代入式（ e）（ f）（ g）得应力分量为：qqq2qqx0 ，y6 b2 xy b ygy ，xy3 b2

15、xb x 44图示曲杆，在rb 边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。题二（ 4）图（ 1）（ 2）rrbrraq,0,r r b r r a0；0bdrP cosbr drP sin（3）aabPcosa brdra21图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距 d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为Asin 2B ）（13 分）题三（ 1）图解：d 很小，MPd ，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。将应力函数( r ,) 代入，可求得应力分量：2

16、2r114Asin 2；0 ；r rr 22r 2r2rr11(2 A cos2B)rr 2边界条件：（ 1）00,r00 ；0, rr0r0r 0r 00代入应力分量式，有12 (2A B) 0或2AB0（ 1）r（ 2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：r ,r ，和 M = Pd由该脱离体的平衡，得2r r2dM 02将 r 代入并积分，有21(2 A cos2B)r2dM 02 r 2A sin 2B 2M0得 BM0（ 2）2联立式（ 1）、（ 2）求得：BMPd ， APd2代入应力分量式，得r2Pd sin 2；0 ；r2Pd sin2。r2r 2结果的适用性： 由于在原

17、点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2图示悬臂梁， 受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x 由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出xy ,y ，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。（12 分）题三（ 2）图解：（ 1）求横截面上正应力x任意截面的弯矩为 Mq0 x3，截面惯性矩为 Ih3，由材料力学计算公式有6l12x（2）由平衡微分方程求xy 、yMy2q03y（ 1）Ilh 3xxxyX0(2)xy平衡微分方程：yxyY0(3)xy其中， X0,Y 0 。将式（ 1）代入式（ 2），有xy6q0x 2 yylh 3积分上式，得3q0x2y2f 1

18、 ( x)xylh3利用边界条件：xyyh0，有23q03 x 2 h2f1 ( x) 0即f 1 ( x)3q03 x2 h24lh4lhxy3q0x2( y21h2)（ 4）lh34将式（ 4）代入式（3），有6q0x( y212)y或y6q0x( y212)lh 34hy0ylh 34h积分得y6q0x( y31 h 2 y)f 2 ( x)lh 334利用边界条件：yyhq0x ，yyh02l2得：6q0x(h31h3)f 2 ( x)q0xlh 3248l6q0x(h31h3)f 2 ( x)0lh 3248由第二式，得f2 (x)q0 x2l将其代入第一式，得q0xq0xq0x自然

19、成立。2l2ll将 f2 ( x) 代入y 的表达式，有6q0y31 h2y)ylh3x(34所求应力分量的结果：q0x（ 5）2lMyxIxy3q0xlh3y6q0lh3校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x = 0 ）：2 q0 lh 32 ( y 2x( y3 3x3 y1 h2 )414 h2 y)（ 6）q2l0 xhh2x x 0 dy0 ，2xy x 0 dy0hh22（2）梁右端的边界（x = l）：hh2q0 x32x x ldy2ydy0hhlh322x lhh2222dy23q0 x( yh )dyhxyx lh322lh4x l代入后可见：自然满足。q0l233h

20、2hh2q0 x22ydy22dy2q0 l3q0 lhxx lhlh 3y3lh3yM22x lh62可见，所有边界条件均满足。检验应力分量x , xy ,y 是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为2 ( x22y )(2y2 )(xy )0x将应力分量x ,xy , y 式（ 6）代入应力相容方程，有212q30 xy ，212q30x2(xy )y2 (xy )xylhlh2 (2224q30 xyxy )(2y2 )(xy )0xlh显然，应力分量x ,xy ,y 不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度 E

21、I 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为 k。梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数w(x) ；（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1 项待定系数） 。（13 分）题二（ 3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为w( x)x 2 ( A1A2 xA3 x 2) 多项式函数形式n2m xw( x)Am (1cos 三角函数形式l)m 1此时有：w(x)x2 ( A1A2 xA3 x2)00xw ( x)2x( A1A2 x A3 x 2)x2 ( A2 A3 x)0x0nw(x)Am (1 cos 2m x )0m 1lx 0nlsin 2m xw ( x)Am0m 12mlx 0即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为1ld 2 w2l1dx2EI2qw( x) dx2k w(l )20dx0取： w( x)A1 x 2 ，有d 2 w2A1 ， w(l )A1 l2dx 2代入总势能计算式，有1lEI (2A1 )2dxl2A1dx1k (A1l2)22 0qx202EIlA 12 qA1 l 31 kA12l 432由 0，有4EIlA1kA1l 4q l 303A1q0l 33(4EIlkl 4 )代入梁的挠度试函数表达式，