归纳二重积分的计算方法

1、归纳二重积分的计算方法摘 要：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性 质求极限关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则；四则运算刖言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分，在几何物理力学等方 面有着重要的应用重积分是由一元函数积分推广而来的，但与一元函数相比，计算重 积分的难度除了与被积函数有关外，还与积分区域的特点有关，计算重积分的主要思 想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重 积分计算的一些常见方法和技巧1.预备知识1.1二重积分的定义1设f x,y是定义在可求面积的有界区域D上的函数.J是一个确定的数，若对任给的正数，总存

2、在某个正数 ，使对于D的任意分割T ,当它的细度 T 时，属于T的所有积 分和都有nf i，i 1i J则称f x,y在D上可积，数J称为函数f x,y在D上的二重积分，记作J f x，y d ，D其中f x，y称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域1.2二重积分的若干性质1.21若f x，y在区域D上可积，k为常数，则kf x，y在D上也可积，且kf x，y d k f x，y d1.22若f x, y , g x, y在D上都可积,则f x, y g x, y在D上也可积,且f x, y g x, y d f x, y d g x, y d .DDD1.23若f x,y

3、在D!和D2上都可积,且D!与D?无公共内点，则f x, y在U D?上也 可积，且f x, y df x, y d f x, y dDi UD2DiD21.3在矩形区域上二重积分的计算定理d设f x, y在矩形区域 D a, b c,d上可积，且对每个x a,b ,积分。f x, y dy存b d在，则累次积分 dx f x, y dy也存在,且a cb df x, y d dx f x, y dy.a cDb同理若对每个y c,d ,积分 f x,y dx存在,在上述条件上可得aJdbf x, y d dy f x,y dxcaD2.求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分，可看成一个

4、函数在有界区域内的积分，它计算的主要思路 是把重积分化为我们学过的累次积分的计算，在这思想下如何化为更容易求的累次积 分成为问题关键，下文介绍了把区域化为简单的X 型Y型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧，另外还列举几类特殊二重积分的简单求 法.2.1在直角坐标系下，对一般区域二重积分的计算X型区域：D x, y y-ix y y2x ,a x bY型区域：Dx, yx-iyxx2y ,c y d定理:若f x,y在X 区域D上连续，其中y1 x , y2 x在a,b上连续，则by2 xf x, y d dx f x, y dyay1 xD即二重积分可化为先对y,后对x的

5、累次积分.同理在上述条件下，若区域为Y型,有dX2 yf x, y d dx f x, y dyDci例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V 解：设圆柱底面半径为a ,两个圆柱方程为2 2 2 一 2 2 2x y a 与 x z a .只要求出第一卦限部分的体积，然后再乘以 8即得所求的体积第一卦限部分的立体式以z a2 x2为曲顶，以四分之一圆域 D :0 y一 a2x2,0 x a,为底的曲顶柱体，所以“a2 x2dDx2dy"(a20 x2)dx于是V16 3a .3另外，一般常见的区域可分解为有限个X 型或Y 型区域，用上述方法求得各个小区域上的:重积分，再根据性

6、质1.23求得即可.2.2二重积分的变量变换公式定理：设f x, y在有界闭域 D上可积，变换T : x x u, v , y y(u, v)将平面uv由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成xy平面上的闭区域D ,函数x x u,v , y y(u,v)在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式x yJ u,v0, u,v ,u,v则 f x, y dxdy f x u,v , y u,v J u,v dudv.D用这个定理一般有两个目的，即被积函数化简单和积分区域简单化.x y例1求ex ydxdy,其中D是由x 0, y 0, x y 1所围区域.D、 1 1解 为了简化被积函数

7、，令u x y , v x y.为此作变换T : x (u v), y (u v),则2 2J u,v12121212即 ex ydxdyDuev1 dudv20dvv -111Qdu - 0v(e e )dv例2求抛物线mx ,nx和直线x所围区域D的面积（D）(0 m n,0解D的面积 （D）dxdy.D为了简化积分区域，作变换它把xy平面上的区域D对应到uv平面上的矩形区域m, n由于2.3换.J u,v所以(D)丄2v12u3 vu2 vu,vdxdyu dudvvdv4v用极坐标计算二重积分定理：设f x, y在有界闭域udum2 mI3 3D上可积，且在极坐标变换T:yr cos0

8、 rr si n2下，xy平面上有界闭区域 D与r平面上区域 对应，则成立f x,y dxdy f r cos ,r sin J(r, )drdD其中J(r,)cos sinr sinr cos当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为2 2f x ,y 时，采用该极坐标变重积分在极坐标下化累次积分的计算方法:i )若原点 O D ，且 xy 平面上射线 常数与 D 边界至多交与两点，则 必可表示成r1( ) r r2( ) ，于是有r2 ( )f ( x, y)dxdy Dd r1( ) f(rcos ,r sin )rdr类似地，若xy平面上的圆r 常数与D的边界多交于两点，则必

9、可表示成1(r)2(r) ， r1 rr2，所以r22 (r)f ( x, y)dxdy r rdr ( r) f (r cos ,rsin )d .D 11(ii)若原点为D的内点，D的边界的极坐标方程为r r()，贝U可表示成0 r r()，0 2 .所以2 r( )f ( x, y)dxdy 0 d 0 f(rcos ,rsin )rdrD.(iii)若原点0在D的边界上,则为0 rr( ),f ( x, y)dxdy Dr ( )0 f (rcos ,rsin)rdr例1计算I(x22y )d ,其中D为圆域：x222y R .解 利用极坐标变换, 由公式得2 Rr2Ire r dr0

10、0(1 e R ) .与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：x arcosT ：0 ry brsin，02，J(r,)acosars inabr. bsinbrcos2如求椭球体笃ab22q 1的体积时，就需此种变换.c2.4利用二重积分的几何意义求其积分当f (x, y) 0时，二重积分f (x, y)dxdy在几何上就表示以 z f (x, y)为曲顶，D为底的曲D顶体积当f (x,y) 1时，二重积分f(x,y)dxdy的值就等于积分区域的面积.D例6计算：I2，其中D :笃ab2因为被积函数z0,x2所以I表示D为底的z , 1由平行xoy面的截面面积为2yb2为顶的曲顶柱

11、体体积.A(x) ab(1 z) , (0 z 1),根据平行截面面积为已知的立体体积公式有1 1I o ab(1 z)dz ab32.5积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算2 . 5 1利用变量代换计算设D为有界闭域，它的边界曲线，( t )且D (x, y) a x b,c y y(x)，当x a时，t ；当x b时，t 。设f (x, y)在D上连续，且存在P(x, y) , (x, y) D使得Pntf (x, y)，则yf(x, y)dxdy P (t),(t) P (t),c'(t)dtD2 . 5 2利用格林公式计算定理 若函数P(x,y), Q(x,y)

12、在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有Q P()d ? Pdx Qdyd x yl这里L为区域D的边界线，并取正方向.计算步骤：Q P构造函数 P(x, y) , Q(x,y)使 一 一 f (x, y)，但 P(x, y) , Q(x, y)在 D 上 x y应具有一阶连续偏导数;(2)利用格林公式化曲线积分求之.例 7 计算x3y4dxdy ,DD是由椭圆x a cos , ybsin所围成.解法一(利用变量代换)设Di为D在第一象限，则x2y4dxdy 4 x2y4dxdyDD1y5dx作变换 x a cos , y4 3 5 bsin a b52 cos03sin 5( sin

13、)da3b564解法二(利用格林公式)2y5, Q 0,则上yx2 y4dxdy ?D1 21xy5dx50 (acos ) (bsin )(a sin)d3 5a b642.7积分区域具有对称性的二重积分的简便算法2 . 7 1积分区域关于坐标轴对称性质1 若f (x, y)在区域D内可积，且区域 D关于y轴(或x轴)对称，则二重积分满足下列性质:f (x,y)dxdyD2D10, f (x,y)为关于x(或y)的奇函数f (x, y)dxdy, f (x, y)为关于x(或y)的偶函数其中Di为区域d被y轴(或x轴)所分割的两个对称子域之一.f (x) 2x ,f(y) 3y，贝V f(x

14、,y) h f (x) f(y)且f(x)为x的奇函数，f(y)为y的奇函数由此dxdy 0 LDy 0y由性质1,有xx x y 2 2cos(x y) cos(x y) 0D1D22 cos(xDiy)dxdydy5 ycos(xyy)dx 12hdxdyD故有hR20f (x, y)dxdyf (x)dxdyDf (y)dxdy2hdxdy hdxdy hRDD和D2关于直线L对称.又cos(xy)关于直线L偶对称故cos(x y) dxdyD2 cos(x y)dxdyDi4 y2 0 dy ： cos(x y)dx2 . 7 2积分区域关于某直线L对称性质2若f (x, y)在区域D

15、内可积，且区域 D关于L对称，则二重积分满足下列性质:0, f(x,y)为关于直线L的奇函数d f (x, y)dxdy 2 f (x, y)dxdy, f (x, y)为关于直线 L的偶函数Di其中S为区域D被L所分割的两个对称子域之一.例求，其中D由直线y 0, y x, x 围成.2解析 对任意(x, y) D，有0 x y 而当0 x y 时，cos(x y) 0 .当22.8运用导数的定义求极限例 10 计算lim ln(hx)lnh(h0)x 0x思路：对具有lim f(x) f(x°)或lim f(x0 h)f(x0)形式的极限，可由导数的x 0xx0h0h定义来进行计

16、算.1解：原式=(ln x)'|x h -h2.9运用定积分的定义求极限3例 11 计算 lim 1 cos , 1cos L2cosn n思路：和式极限，利用定积分定义limQ- 0 f (丄)n 0 n i 1 n10 f (x) dx求得极限.解：原式1 n 4ilim1 cosn 0 n i 1 ;n0、1 cos( x)dx l2cosdx 乙20 22.10运用微分中值定理求极限x sin x例12:计算lim e一x 0 x sin x思路：对函数f（x）在区间sinx,x上运用拉格朗日中值定理，即可求得.解：原式lime 1 （其中 在si nx,x区间内）总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多 种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效 的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活用，是必要的参考文献:1华东师范大学数学系数学分