(完整版)湖南大学2006-2009数学分析真题

1、 湖南大学2006年数学分析 ?内可微并且满足不等式在16分）设 一（?0,)(xf? 2 ).?x?x)(0,x)?ln?(2x?1)(1?x0?f(?使得 证明：存在一点)?(0,?21'? .f?(?) ?2?12?11nm?n,mdt)(lntt. 16分）设为自然数，计算积分二（0三（16分）设在上具有二阶导数且)(?,?)xf(''''?0(x)(x)?lim?0limff,又存在一点，使0,?(x)fx0x?x?.证明方程在上有且只有两个实根.)?(?f(x)?0,0?f(x) 0?，分）令且在为正数数列，和假设四（16a(0,1)0?li

2、mnnnn?nc有中有一个数 使得对每个? ?a?cann?1n成立，证明： 0.?limann?为定义在上的可导函数列，且存x16分）令)f(五（)?,(nn和有，对所有的 在常数)?x(?,0M? ' M)f?(xn成立.假设对，有 )?(?,x?， )g(xlimf(x)?n?n则在上连续. ),x)?(?(g22?x1?求证当18分）已知设.六（1).?x?f(x)?,(0 22nn61nn?1?2?)?x?x(1?xf()f?)(ln)ln(1x1?0x?. 时有 6 22?)?xy(xy22?x?y?0? 22x?y?,y)f(x ）若七（18分）1?22?0?y0?x?证

3、明： (0,0).ff(0,0)?yzxyz222?yf(?y)?xz确定，）函数由方程是可微函2f(x),yz?z y数，证明 ?z?z222.xy?2xz?(x?yz)?2 y?x?222上求点16分）在曲面，且八（1?xz?y?)z,y,P(x0000使该点处曲面的切平面与三坐标面围成的四面体0?0,z0,x?y?000的体积最小. 九（18分）设有连续的一阶导数，计算 )u(f1x1x? zdxdy)dzdx?dydzf()?f( yyxy?2222?所围成立体的外侧，是. 其中z8y?x?xf?z 湖南大学2007数学分析 分）计算：18一（2nk? （1）;lim 3k?2nn?n

4、1?k 2(n4?1)2? L）2（.?2limln22?2?nnnn?n 12分）设16二（，证明 x?1,2?1,2,Lx?x?x?(p1),nn1n?1npn?收敛数列. xn?内可导，且上连续，在，三（16分）设在b,baa,)f(x0a?b?使得 证明：存在ba?,22baba?''? ).?ff() ?3四（16分）确定下面函数的连续区间 2)xln(1?dx?.(y)g yx0?在开区)(b，且上连续x在五（16分）设fa,)1,2,L(n?)(fxnn?上一致收敛. ,证明在闭区间ba内一致收敛于间.)f(f(x)x(a,b)?上的连续函数，令0,118分）设是

5、 六（)tf(1? .dty?tf(t)x?F(x,y) 022，求二阶偏导数满足和. 其中y,xF1?x?yFxxyy七（16分）求函数 2x1111 22lnx?2x?2?lnx?2x?2?arctan(?xf()arctanx?1)?arctan(x?1) 24x?2422x的幂级数展开式和收敛半径关于. 八（16分）计算积分 ?y)?)ln(ln(x?y(x?y?.I?dxdy y2?x?DD. 为所围成的三角形区域其中区域xy?1,y?x0,x?上具有二阶连分）设在区域九（162y?1?2,C:x?1?)yf(x, .续偏导数，且在点又设达到极值(1,1)f(1,1)?02),yf(

6、?x ,)?Gy?M,(x,l?l2y?x ，试证：其中.取区域1?1,0?y0D:?x2?0l?7? .dxdy?M?(fx,y)I 12D 2008数学分析湖南大学?x .满足一（16分）设实数列证明)?0x?x(?n?2nn?n x?x 1?nn0.?lim n?n?f(x)x为二（16分）设函数在内有定义，且有和e0,1)f(x)f(xe?内连续. 内的单调递增函数. 证明在0,10,1)xf(?上可微，且令 三（16分）设函数在0,1)xf( ' ?C?x)supf?(0?x?1n，有证明，对任何正整数 n?1f(j/n)C1? .)?dx?f(x nn200?j四（16分）

7、计算积分 sinycosy? .dxdyI? yD2D所围成的区域. 是由直线其中与抛物线xy?y?x五（16分）证明 1 222? .)du?uf(ac?czf(ax?by?)dxdy?2b1?u1?S2222 其中0?b?1,a?S:x?y?，设分）求 16六（?garctan?x? ?dxg? 2211xx?，当参数取什么值时，有22分）设函数列 七（?nx?xe?xfnn? 函数列在闭区间上一致收敛。）（10,11? （2）可以积分号下取极限。?dxxflimn0?n 16八（分）证明恒等式 ?1dx1? ? xnnx01n?为实系数多项式，证明16分）设 九（xp1? n?.?1x?

8、1ppxlimdxn0?n?上的连续函数，关于下式为区间 如果0,1fx1? n?,xlim1n?fdxx0?n你能得一个什么结论，并证明你的结论。 湖南大学数学分析2009年真题 3n1k?. 一（16分）求极限?lim 31?k?n2?k二（16分）设在上连续，若对开区间中的任一点?ba,ba,f均非的极值点，则在上单调. ?b,aff三（16分）已知在上连续，并且有 ?0,1fx11 ?1,xfdxfxx0,dx?00证明：存在，使得. ? 0,1?f?四（16分）设函数在上无限次可微，且满足 ?fx,1）存在，使得 ? ?k?M?;2Lkfx?,?x1,?M,? ）2.fL?0,n?1,2,1 n2证明在上恒为零. ?x?f,1?. （16分）计算积分五?dx 4x?10?收敛，且在六（16分）积分上单调递减，?dxfx?f1,x1 试证： ?0.xlimxf?x七（22分）设二元函数 ?2222cos,x?y?0x?y1? ?22?,fyxy?x?220,?x?y?0?（1） 求 ?;,0,0ff0,0yx（2） 证明在点不连续； ?yx,ffyx,0,0yx（3） 证明函数在点可微. ?0,0fx,y八（16分）求积分