ch2-3-2函数间断点及其分类ppt课件

1、四、函数的间断点及其分类四、函数的间断点及其分类:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左

2、在在点点如如果果xfxxfxfxxf 例例8 8.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例9 9.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解

3、解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .如例如例9中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy1123.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断

4、点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例1010.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为无无穷穷间间例例1111.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为为第第二二类类间间断断点点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振

5、荡荡间间注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点. .第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x例例1212.0, 0, 0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()0

6、0()00(fff 要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a例例1313.1, 1, 11 , 11 , ,arccos)(,2处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxxxbxaxfba解解 axaxfxxarccoslim)(lim1101lim)(lim211 xxfxx,)1(bf ),0()01()01(fff 要要使使0, ba 例例14 讨论函数讨论函数 6222 xxxxxxf的间断点和连续区间的间断点和连续区间.解：解： 23262222 xxxxxxxxxxxf2, 3, 0 xxx为间断点为间断点 31232lim0020 xxxxxfx 31232lim0020 xxxxxfx 00000 xff为第一类间断点为第一类间断点 31lim23