CH51不定积分的概念与性质ppt课件

1、 indefinite integrall原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义l不定积分的几何意义不定积分的几何意义l不定积分的性质不定积分的性质第一节第一节 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质（1 1） 从运算与逆运算看从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、乘法与除法、初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。 微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分运算的逆运算是什么？微分运算的逆运算是什么？问题：问题：).()(),(),(xfxFxFxf的的导导函函数数正正是

2、是使使要要求求这这样样一一个个函函数数已已知知函函数数一、原函数的概念一、原函数的概念dxxfxdF)()( 或或( ),( )?( )( )SS tv tv tS t 已已知知运运动动规规律律要要求求瞬瞬时时速速度度求求导导数数：（2 2） 从物理问题看从物理问题看:( ),( )?:( ),( )( )v tSS tS tS tv t 反反问问题题已已知知速速度度函函数数 要要求求运运动动规规律律求求原原函函数数使使（3 3） 从几何问题看从几何问题看00 ( )(,), ( )( ) kk xxykfxf x 已已知知曲曲线线斜斜率率及及曲曲线线上上一一点点求求曲曲线线？由由求求 原原函

3、函数数. .定义定义()F xf x 称称为为的的导导函函数数; ;dxxfxdF)()( 或或 原函数的定义原函数的定义例例 1. sincosxx 12. ln xx 10ln)(ln);xxxx 时时, ,( (110ln)ln();xxxxx 时时, ,( ( 1ln xx 0),ln(0,lnlnxxxxx122cos xdx 515dxx 515()xdx 61dxx 56115xx 是是的的原原函函数数。dxx15)5(51 1322. (cos)dx 1222 sinxdx 2sin xdx 514.5dx 122cosx l 什么样的函数存在原函数呢？l 原函数是不是只有一个

4、呢？原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数. .问题：问题： (1) (1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2) (2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？例例 1. sincosxx sincosxxC 12. ln xx 13222.cossindxxdx C（ 为任意常数）为任意常数） 1lnCxx 1222cossindxdCx x 561145.ddxxx 56115dxCdxx 关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1 1假设假设 ，则对于任意常数则对于任意常数 )()(xfxF C（2 2假设假设 和和

5、都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf那么那么( )( )F xG xC （ 为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个。同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个。问题：问题： 如何表示这种求原函数的运算？如何表示这种求原函数的运算？即如何表示即如何表示 ？ ( )F xC 注：求函数注：求函数 f fx x的原函数，的原函数，实质上就是问它是由什么函数求导得来的，实质上就是问它是由什么函数求导得来的，而若求得而若求得f fx x得一个原函数

6、得一个原函数F Fx x），其全体），其全体原函数应为原函数应为( )F xC 二、不定积分的定义：二、不定积分的定义：定义定义任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量( )( )F xf xI若若是是在在区区间间 上上的的一一个个原原函函数数原函数原函数不不定定积积分分不定积分和原函数的关系：不定积分和原函数的关系：不定积分不定积分= =原函数原函数+ +任意常数任意常数原函数是不定积分其中之一。原函数是不定积分其中之一。 的原函数的图形称为的原函数的图形称为 的积分曲线。的积分曲线。)(xf()f x dxf x 的的所所有有

7、积积分分曲曲线线组组成成 的的平平的的图图形形行行曲曲线线族族)(xf三、不三、不 定定 积积 分分 的的 几几 何何 意意 义义0 xxy( )f x dx 0()kf x 例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例不定积分不定积分= =原函数原函数+ +任意常数任意常数例例cos xdx sincosCxx 1dxx sinCx lnCx 不定积分不定积分= =原函数原函数+ +任意常数任意常数xCx1)(ln 例例3 3 求积分求积分.xdx 解解322.3xC 3

8、12232()xx 12()xdx xdx 312223()xx xdx 例例4 设曲线通过点设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解解 设所求的曲线方程为设所求的曲线方程为y yf(x)f(x)，所以曲线方程为所以曲线方程为yx 2C因所求曲线通过点因所求曲线通过点(1(1，2)2)，故，故2 21 1C C， C C1 1于是所求曲线方程为于是所求曲线方程为y yx 2x 21 1按题设按题设dxdy2x ，已知切线如何求函数的曲线？已知切线如何求函数的曲线？yxo)2, 1 (因

9、为因为2x dx x 2C ，l不定积分的求法：不定积分的求法：利用回忆微分法利用回忆微分法和函数的求导公式求不定积分和函数的求导公式求不定积分实例实例11x x dx (1) 四、基四、基 本本 积积 分分 公公 式式1 1(1)1x x 11.xC 逆逆运运算算启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式. .积分积分回忆微分回忆微分(2)()xkkxdCk 为为常常数数1(3)(1);1dxxxC l4)1(;ndxCxx (1)

10、0()CdxC 为为常常数数见书见书145-146145-146页页2(5)11xdx arctancotCarcxCx 基基本本积积分分表表8cos( )xdx sin;xC 2(6)11xdx arcsinarccosCxCx sin(7)xdx ;cosCx 21sin(10)xdx 2csc xdx ;cotCx 21cos(9)xdx 2sec xdx tan;xC 基基本本积积分分表表sectan(11)xxdx sec;xC csccot(12)xxdx ;cscCx (13)xe dx ;xeC (14)xa dx .lnxaaC 基基本本积积分分表表l利用积分基本公式求不定积

11、分利用积分基本公式求不定积分例例5 5 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式根据积分公式3 3）Cxdxx 11 五、五、 不不 定定 积积 分分 的的 性性 质质( )( )f x dxf x 性性质质一一：( )( ),df x dxf x dx ( )( )Fx dxF xC 性性质质二二：( )( ).dF xF xC 性性质质三三：;)()( dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）不定积分的线性性质不定积分的线性性质 ( )( )f xg x dx ( )kf x

12、 dx .)( dxxfk性性质质四四：25xdx 521xdx dx 25xdx 521xdx7227x53223xC72x 3x310 xxC23) 1(xx dx 223133xxxxdx(x 3 x3 21x)dx x dx 3dx 3x1dx 21xdx21x 23x 3 ln | x | x1 C 例例6 6 x(x25)dx (25x 521x )dx例例7 7 23) 1(xx dx e xdx 3cos x dx e x 3sin x C 2x ex dx (2e )x dx)2ln()2(eexC )2ln()2(eexC 2ln12xxe C24111xxdx22211)

13、 1)(1(xxxdx(x2 1 211x)dx x 2dx dx 211xdx31x 3x arctan x C 例例8 8(e x 3cos x)dx 例例9 92x ex dx 例例10 10 241xxdxsec 2x dx dx tan x x C (1cos x)dx (1cos x)dx 21dx cos x dx 21(xsin x ) C 4csc 2dx 4cot x C 例例 11 11 tan 2 x dx (sec 2x1)dx例例 12 12 sin 22x dx 21(1cos x)dx例例 13 13 2cos2sin122xxdx 22sin1xdx例例14.

14、 求求.d)5(e2xxx解解: 原式原式 xxxd 25e)2(e)2ln(e)2(x2ln25xCxx2ln512lne2C说明：说明：1 1分项积分后，我们只写一个分项积分后，我们只写一个C C 2. 2. 检验结果是否正确，只要将结果求检验结果是否正确，只要将结果求 导，看它的导数是否等于被积函数。导，看它的导数是否等于被积函数。 例例15 15 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例16 16 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )

15、1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 例例17 17 求积分求积分解：解：.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例18 18 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明：以上几例中的被积函数都需要以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本进行恒等变形，才能使用基本积分表积分表. .练练 习习11.xdxx 2.(1).xxeedxx 答答 案案11.xdx

16、x 111122111122xxC 1()x dxx 原原式式1322223Cxx 12xdxxdx 1xe dxdxx 原原式式2xexC 2.(1)xxeedxx 112112xCxe 12xe dxx dx 221.1xdxx 4222.1xdxx 练练 习习21(1)1dxx 221xdxx 原原式式arctanCxx 22111xdxx 221.1xdxx 答答 案案2211dxdxx dxx 42111xdxx 原原式式31arctan3xCxx 22221(1)(1)11xxdxxx 4222.1xdxx 答答 案案sin21.cosxdxx 2222sin2.sec1xxxdx

17、x 练练 习习2sincoscosxxdxx 原原式式2cosCx 2 sin xdx sin21.cosxdxx 答答 案案22221cos(1)cosxxdxxx 2222sin(1)cosxxdxxx 原原式式tanarccotxxC 222211sin(1)cosxxdxxx 2222sin2.sec1xxxdxx 2211cos1dxdxxx 答答 案案思思 考考 题题符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),( 思思 考考 题题 解解 答答不存在不存在. .假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,

18、0,)(xCxxCxCxxF故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数. .),( )(xf结论结论每一个含有第一类间断点的函数都每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数没有原函数. .内 容 小 结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2. 直接积分法直接积分法:利用恒等变形利用恒等变形, 及及 基本积分公式进行积分基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质l对于规则的图形正方形、矩形、圆等）对于规则的图形正方形、矩形、圆等）l的面积及规则形状正方体、圆柱、圆锥的面积及规则形状正方体