5函定义域与值域ppt课件

1、第1页 第五讲第五讲函数的定义域与值域函数的定义域与值域(最值最值)走进高考第一关走进高考第一关 基础关基础关第2页 教教 材材 回回 归归第3页 1.函数的定义域函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的函数的定义域是指使函数有意义的_的取值的取值范围范围.留意留意:(1)确定函数定义域的原则确定函数定义域的原则:当函数当函数y=f(x)用表格给出时用表格给出时,函数的定义域是指表格函数的定义域是指表格中实数中实数x的集合的集合;当函数当函数y=f(x)用图象给出时用图象给出时,函数的定义域是指图象函数的定义域是指图象在在x轴上投影所覆盖的实数的集合轴上投影所覆盖的实数的集合;当函数当函数y

2、=f(x)用解析式给出时用解析式给出时,函数的定义域是指使函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合解析式有意义的实数的集合; 自变量自变量第4页 当函数当函数y=f(x)由实际问题给出时由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题函数的定义域由实际问题的意义确定的意义确定.第5页 (2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类定义域可分为自然定义域与限定定义域两类:如果只给函数解析式如果只给函数解析式(不注明定义域不注明定义域),其定义域应为其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域称为自然定义域;如果函数受应用条件或附加条件制约如果函数受应用条件

3、或附加条件制约,其定义域称为其定义域称为限定定义域限定定义域.(3)复合函数定义域的求法复合函数定义域的求法:若已知函数若已知函数f(x)的定义域为的定义域为a,b,其复合函数其复合函数fg(x)的的定义域应由不等式定义域应由不等式ag(x)b解出解出.第6页 2. 函数的值域函数的值域在函数在函数y=f(x)中中,与自变量与自变量x的值相对应的的值相对应的y的值叫函数的值叫函数值值,_的集合叫做函数的值域的集合叫做函数的值域.留意留意:确定函数的值域的原则确定函数的值域的原则当函数当函数y=f(x)用表格给出时用表格给出时,函数的值域是指表格中实数函数的值域是指表格中实数y的集合的集合;当函

4、数当函数y=f(x)用图象给出时用图象给出时,函数的值域是指图象在函数的值域是指图象在y轴上轴上的投影所覆盖的实数的投影所覆盖的实数y的集合的集合;函数值函数值第7页 当函数当函数y=f(x)用解析式给出时用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定及其对应关系唯一确定;当函数由实际问题给出时当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确函数的值域由问题的实际意义确定定.第8页 考考 点点 陪陪 练练第9页 1.函数函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是的定义域是( )23x1x. (,)1B . , 1311C . ,331. (,)3 1

5、A3D答案答案:B第10页 2.函数函数y=x2-2x的定义域为的定义域为0,1,2,3,那么其值域为那么其值域为( )A. -1,0,3B. 0,1,2,3C. y|-1y3D. y|0y3答案答案:A第11页 3.如果函数如果函数y=f(4x-3)的定义域是的定义域是 ,则函数则函数f(x)的定的定义域是义域是( )1, 5答案答案:BA. 1,2B. 1,17C. 1,5. 5,17D第12页 .,_.221x4f x1x函数则其值域为(-1,12,22 , 25.函数函数y=f(x)的值域是的值域是 ,则函数则函数y=f(x-2)的值域是的值域是_.第13页 解读高考第二关解读高考第二

6、关 热点关热点关第14页 类型一类型一:函数的定义域函数的定义域解题准备解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各应根据解析式中各部分的要求部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然然后解这个不等式或不等式组后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面解答过程要注意考虑全面,最后最后定义域必须写成集合或区间的形式定义域必须写成集合或区间的形式;第15页 (2)确定函数的定义域确定函数的定义域当当f(x)是整式时是整式时,其定义域为其定义域为R.当当f(x)是分式时是分式时,其定义域是使得分母不为其定义

7、域是使得分母不为0的实数的集合的实数的集合.当当f(x)是偶次根式时是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或其定义域是使得根号内的式子大于或等于等于0的实数的集合的实数的集合.对于对于x0,x不能为不能为0,因为因为00无意义无意义.第16页 f(x)=tanx的定义域为的定义域为f(x)=logax(a0,且且a1)的定义域为的定义域为x|x0.由实际问题确定的函数由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束其定义域要受实际问题的约束,要要具体问题具体分析具体问题具体分析.,Z .x xRxkk2且第17页 分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集分段函数的定义域是各段中自变量

8、取值范围的并集.抽象函数抽象函数f(2x+1)的定义域为的定义域为(0,1),是指是指x(0,1)而非而非02x+11;已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为(0,1),求求f(2x+1)的定义域的定义域时时,应由应由02x+11得出得出x的范围即为所求的范围即为所求.第18页 典例典例1求函数求函数f(x)= 的定义域的定义域.只需要使解只需要使解析式有意义析式有意义,列不等式组求解列不等式组求解.要使函数有意义要使函数有意义,则只则只需要需要: 即即,解得解得-3x0或或2x3.故函数的定义域是故函数的定义域是(-3,0)(2,3).22lg x2x9x22x2x0,9x0,. x2

9、x03x3或第19页 类型二类型二:复合函数的定义域复合函数的定义域解题准备解题准备:已知已知f 的定义域为的定义域为x(a,b),求求f(x)的定义的定义域域,其方法是其方法是:利用利用axb,求得求得g(x)的范围的范围,此即为此即为f(x)的定义的定义域域.( )g x第20页 已知已知f(x)的定义域为的定义域为x(a,b),求求f 的定义域的定义域,其方法其方法是是:利用利用ag(x)b,求得求得x的范围的范围,此即为此即为f 的定义域的定义域.定义域经常作为基本条件出现在试题中定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性具有一定的隐蔽性.所以在解决函数问题时所以在解决函数问

10、题时,必须按照必须按照“定义域优先的原则定义域优先的原则,通通过分析定义域来帮助解决问题过分析定义域来帮助解决问题.()gx( )g x第21页 典例典例2(1)已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为 ,求下列函求下列函数的定义域数的定义域:f(x2);f( -1).(2)已知函数已知函数f 的定义域是的定义域是 ,则函则函数数f(2x)的定义域为的定义域为_.分析分析 根据复合函数定义域的含义求解根据复合函数定义域的含义求解.xlg1x0,90,1第22页 解解 (1)f(x)的定义域是的定义域是 ,要使要使f(x2)有意义有意义,必有必有0 x21,解得解得-1x1.f(x2)的定义

11、域为的定义域为 .由由0 -11得得1 2.1x4(x0时时, 才有意义才有意义)函数函数f( -1)的定义域为的定义域为(2)f 的定义域为的定义域为 ,0 x9,1x+110,0lg(x+1)1f(x)的定义域为的定义域为 .由由02x1,解得解得x0.f(2x)的定义域为的定义域为(-,0.0 , 11,1xxx1,4lg1x0,90 , 1x第23页 类型三类型三:函数的值域函数的值域解题准备解题准备:(1)要记住各种基本函数的值域要记住各种基本函数的值域;要记住具有什么结要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域构特点的函数用什么样的方法求值域.(2)对各种求函数值域的方法要熟

12、悉对各种求函数值域的方法要熟悉,遇到求值域的问题遇到求值域的问题,应注应注意选择最优解法意选择最优解法.(3)求函数的值域求函数的值域,不但要重视对应法则的作用不但要重视对应法则的作用,而且要特别注而且要特别注意定义域对值域的制约作用意定义域对值域的制约作用.(4)函数的值域常常化归为求函数的最值问题函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数单要重视函数单调性在确定函数最值过程中的应用调性在确定函数最值过程中的应用.第24页 典例典例3求下列函数的值域求下列函数的值域: 21 yx1 2x;42 yx;xsinx3 y;2cosx4 yx1x .第25页 本题主要考查函数值域问题本题主要

13、考查函数值域问题,考查运算能力考查运算能力, 考查数形结合的考查数形结合的思想思想,对于对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于对于(3),由函由函数的有界性或由几何法求解数的有界性或由几何法求解;对于对于(4),用求导数法求解用求导数法求解.第26页 21t( ):(),x,2(0),1(, .2 22112xt t01t11ytt1t222y法一 设得:,(, .,(, ,(, . 1112x0 x221yx y12x21111y12y2222法二定义域为

14、函数在上均单调递增第27页 4( );,2 x4,x,;44,2xx4,.,(,4,xx 42x0yxxx2x0yx24法一 当时当且仅当时 取等号当时当且仅当时 取等号综上 所求函数的值域为第28页 121212121212,44()xxf xf xxxxxxxx x12法二：先证此函数的单调性任取x ,x 且第29页 当当x1x2-2或或2x1x2时时,f(x)递增递增,当当-2x0或或0 x2时时,f(x)递减递减.故故x=-2时时,f(x)极大极大=f(-2)=-4,x=2时时,f(x)极小极小=f(2)=4,所求函数的值域为所求函数的值域为(-,-44,第30页 2222222311

15、(sincos )2111cossin,1122sin(),1,12333,3333,33yxxyyyyyyyyxyyyy 2法 ：利用函数的有界性将原函数化为sinx+ycosx=2y,1+y令且平方得原函数的值域为第31页 法二法二:在数形结合思想指导下的图象法在数形结合思想指导下的图象法.原函数式可化为原函数式可化为此式可以看作点此式可以看作点(2,0)和和(cosx,-sinx)连线的斜率连线的斜率,而点而点(cosx,-sinx)的轨迹方程为的轨迹方程为x2+y2=1,如下图如下图,在坐标系中作出在坐标系中作出圆圆x2+y2=1和点和点(2,0).由图可看出由图可看出,当过当过(2,

16、0)的直线与圆相切时的直线与圆相切时,斜率分别取得最大斜率分别取得最大值和最小值值和最小值, 0sinxsinxy2cosx2cosx第32页 由直线与圆的位置关系知识由直线与圆的位置关系知识,kxy2k0,3,333,3333,.33 2yk x22k1k1ksinxy2cosx可设直线方程为即解得斜率的范围是即函数的值域为第33页 2222maxmin( )1,1 .x1xx1,1,x1.1x1x,1xx0,2,f2,2f11,f 11,2f xf2,f xf11.22 . 4xffx02x2函数的定义域为当时令得得又值域为 -1,第34页 评析评析 第第(1)小题利用换元法易忽视小题利用

17、换元法易忽视t0的条件的条件,第第(2)小题利小题利用基本不等式时易漏掉对用基本不等式时易漏掉对x0).第36页 (1)y=3x2-x+2=3 + ,对称轴对称轴x= ,函数在函数在x= 处取得最小值处取得最小值.即即ymin= .结合函数的单调性知函数在结合函数的单调性知函数在x=3处取得最大值处取得最大值,即即ymax=26.函数的值域为【函数的值域为【 ，26】，】， 故函数有最大值故函数有最大值1,无最小值无最小值,其值域为其值域为(-,1.()21x62312161,31623122312第37页 2222222max1212(0),2152.2415().241,2150,()24

18、15(0)1.2411 .txt txytttylttttyty 方法一：令则二次函数对称轴为在上是减函数，故故函数有最大值 ，无最小值，其值域为，第38页 max1 211 221121 21,22,1.xxx xy 方法二：y=2x与y=-均为定义域上的增函数，故y=2x-是定义域为上的增函数，故无最小值.故函数的值域为第39页 1 213212110.11,1 .xxxyyyyyy 由得由指数函数的性质可知：所以第40页 类型四类型四:函数的最值函数的最值解题准备解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法常用配方法.(2)

19、利用函数的单调性求最值利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单先判断函数在给定区间上的单调性调性,然后利用单调性求最值然后利用单调性求最值.(3)基本不等式法基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法用此法.第41页 (4)导数法导数法:当函数较复杂当函数较复杂(如指如指 对数函数与多项式结合对数函数与多项式结合)时时,一般采用此法一般采用此法.(5)数形结合法数形结合法:画出函数图象画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的找出坐标的范围或分析条件的几何意义几何意义,在图上找其变化范围在图上找其变化范围.第42页 典例典例4已知函数已

20、知函数f(x)= ,x1，+)（1当当a=4时，求时，求f(x)的最小值；的最小值；（2当当a= 时时,求求f(x)的最小值的最小值; (3)若若a为正常数为正常数,求求f(x)的最小值的最小值.2x2x ax12第43页 分析分析 在解决该类型函数的最值时在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不首先考虑到应用均值不等式求解等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若条若条件不具备件不具备,应从函数单调性的角度考虑应从函数单调性的角度考虑.第44页 minmin414,( )2,1226.1122,221.712af xxf xxf xfaf

21、 xxxf xf xf解当时易知，在 ，2 上是减函数，在，上是增函数.当时，易知，在 ，上为增函数第45页 minmin320,.1,1,1,22;1,011.13af xxaxaaaf xf xfaaaaf xf xfa函数在，上是减函数，在上是增函数若即在区间上减后增，若即时，在区间 ，上是增函数第46页 探究探究2 已知函数已知函数f(x)=kx+b的图象与的图象与x y轴分别相交于轴分别相交于A B, =2i+2j(i j分别是与分别是与x y轴正半轴同方向的单位轴正半轴同方向的单位向量向量),函数函数g(x)=x2-x-6.(1)求求k b的值的值;(2)当当x满足满足f(x)g(

22、x)时时,求函数求函数 的最小值的最小值.AB ( )g x1f x第47页 21(, ),2,2,1,2.2,240,24.( ) 15125.2213,21,1.13.bkbbABbbkbkkf xg xxxxg xxxxf xxxg xf xxxg xf x 2解由已知得A(-,0),B(0,b).则于是由得x+2x -x-6,即得由于x+20,则其中等号当且仅当即时成立的最小值是第48页 笑对高考第三关笑对高考第三关 成熟关成熟关第49页 名名 师师 纠纠 错错第50页 误区一误区一:应用题中函数的定义域不考虑实际意义应用题中函数的定义域不考虑实际意义典例典例1如图如图,在矩形在矩形A

23、BCD中中,AB=3,BC=4,点点P在在AD上移动上移动,BQCQ,Q为垂足为垂足,设设BP=x,CQ=y,试求试求y关于关于x的函数关系式的函数关系式.第51页 BAP,y4,3x().CQBCQCBBABP12yxyx0 x【错解】由题意得所以即所以 关于 的函数关系式为【分析】错解中对函数的定义域只考虑了函数式本身的要求【分析】错解中对函数的定义域只考虑了函数式本身的要求,没有考虑没有考虑x的实际意义的实际意义.第52页 BAP,y,3.,().CQBCQCB4BABPx12yBABPBDxBD53x5yx12y3x5x由题意得所以即所以因为而故所以 关于函数关系式为第53页 2x1x

24、1误区二误区二:求函数值域不考虑定义域求函数值域不考虑定义域典例典例2求函数求函数f(x)= 的值域的值域. ,.2x1x1x1f xx1x1x1R错解 因为所以函数的值域为第54页 【分析】错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不等价【分析】错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不等价,所以出所以出现错误现错误. 2 |,1,x1x1x1f xx1,x1x1,( )2. |2. x xRxx1f xy yRy正解 函数的定义域为且因为所以故函数的值域为且【评析】处理函数问题时【评析】处理函数问题时,必须树立定义域优先考虑的意识必须树立定义域优先考虑的意识.第55页 快快 速速 解解

25、题题第56页 典例典例f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,且满足下列条且满足下列条件件:(1)x,yR,有有f(x+y)=f(x)+f(y);(2)当当x0时时,f(x)0,f(x)0时时,故当故当x0,于是于是f(x)是减函数是减函数,要由题设证明它是减函数要由题设证明它是减函数.第58页 【分析思维过程】【分析思维过程】 f(x)是奇函数是奇函数,若能证明它是减函数若能证明它是减函数,由由f(1)求出求出f(3),就可求出就可求出f(x)的最值的最值.证其增减性证其增减性.只有利用单调性的只有利用单调性的定义定义,由由x1f(x2).需用条件需用条件x0时时,f(x)0,故故f

26、(x2-x1)0.第59页 【解】【解】 由由(1)知知,f(x2)=f =f(x2-x1)+f(x1).即即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).若若0 x10,由由(2)知知f(x2-x1)0.故故f(x2)-f(x1)0,即即f(x2)f(x1),从而函数从而函数f(x)在区间在区间 上也是减函数上也是减函数.211xxx,0第60页 又因为又因为f(x2)是是R上面的奇函数，故上面的奇函数，故f(x)在在 上也是减函数上也是减函数 f(x)是是R上的减函数上的减函数.f(x)max=f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-f(2)-f(1)=-f(1+1)-f(1)=-f(1)-

27、f(1)-f(1)=-3f(1)=-3(-2)=6.f(x)min=f(3)=-6.f(x)在区间在区间 上的最大值为上的最大值为6,最小值为最小值为-6.,03,3第61页 作为高考题作为高考题,就此题的难度而言就此题的难度而言,一般不会以解答题的形式出一般不会以解答题的形式出现现,若为选择题或填空题若为选择题或填空题,解法则特别简单解法则特别简单.第62页 【快解】【快解】 f(x)=-2x满足题设条件满足题设条件,故故f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.第63页 【方法与技巧】【方法与技巧】 证明证明f(x)是减函数时是减函数时,用到了用到了x2=x2-x1+

28、x1,则出现了则出现了f(x2) f(x1) f(x2-x1),由由f(x2-x1)0可知可知f(x2)-f(x1)0,得证得证.在求在求f(3)时时,注意运用条件注意运用条件f(x+y)=f(x)+f(y).抽象函数可以找到基本初等函数模型抽象函数可以找到基本初等函数模型,求解就容易多了求解就容易多了.本题本题函数函数f(x)显然是正比例函数显然是正比例函数y=-2x.作为选择题或填空题作为选择题或填空题,找到找到模型后直接代入即可模型后直接代入即可.第64页 得分主要步骤得分主要步骤第一步第一步f(x2)= ff(x2-x1)+f(x1)尤为关键尤为关键,在求值时在求值时,将将3写为写为2

29、+1,再将再将2写为写为1+1都是为了利用条件都是为了利用条件(1),不可省却不可省却.211xxx第65页 【易丢分原因】【易丢分原因】 作为解答题作为解答题,本题不能由题设条件证其为减本题不能由题设条件证其为减函数函数,则不能得分则不能得分.求求f(3)没用到没用到(1)的运算也会丢分的运算也会丢分.作为解答作为解答题题,用用y=-2x代替代替f(x)也是不行的也是不行的.第66页 课时作业五课时作业五 函数的定义函数的定义域与值域域与值域(最值最值)第67页 一一 选择题选择题 2,1,.(,). ( ),1.0,g x.(,1.(,C. 1xxx xg x 1f xg xfA1B1D易

30、错题 中 设是二次函数若的值域为则的值域是()，0，0，第68页 ,.0.0,.00.tg xfg xf ttg xf tyf xfg xfg xg xg tf tg x 解析：设则的值域即为的定义域画出函数的图象 如图函数值域为 ，函数是二次函数，且的值域即为的定义域，由图象可知的定义域为 ，即的值域为 ，答案：答案：C第69页 .(,)( )1,9 , . 1,3. 1,9. 12,36. 12,204f xf x222f x1x9f xx2yABCD易错题 中已知函数的定义域为且当时则函数的值域为第70页 2222222222max1,9 ,19,13.19,13 .192,132221

31、4,12,336,12 36C.f xf xf xxxxyf xf xxf xxxyf xf xxxxxymin解析： 函数的定义域为要使函数y=有意义，必须解得函数的定义域为 ，当时，当时，当x=1时，y当时，所求函数的值域为， ，故答案选答案答案:C第71页 评析评析:本题容易忽视复合函数本题容易忽视复合函数y= 2+f(x2)的的定义域定义域,而错误地把而错误地把f(x)的定义域的定义域 当作函当作函数数y= + 2+ f(x2)的定义域的定义域,从而得出错误的从而得出错误的结果结果D. 2f x1, 9 2f x第72页 3.(2019海淀海淀)(基础题基础题,易易)已知函数已知函数f

32、(x)= -1的定义域是的定义域是 (a,bZ),值域是值域是 ,那么那么满足条件的整数数对满足条件的整数数对(a,b)共有共有( )A. 2个个B. 3个个C. 5个个D. 无数个无数个42x , a b答案答案:C0 , 1第73页 0001,220,2 0212 20 2f xffa b解析：在，递减，在， 上递减，且f故可以是， ， ， ， ， ，共5个.答案答案C第74页 13.(,) 1211.(, )211.(, )( ,)2222.(,)(,)3322 11.(, )(, )( ,)33 22xxxx 4yABCD易错题 易 函数的值域是第75页 解析解析:原函数化为原函数化为

33、y= (x1),则则2yx+y=x-3,即即(2y-1)x=-(y+3)x= .1-2y0,y .又又x1,y- .321xx31 2yy1223答案答案:D第76页 x. ()(,)f xlg4(5),5. (,)B.4,. (, 4)., 4x 5 2010mRmA4CD湖北二次联考 能力题中已知函数的值域为则 的取值范围是()第77页 0,2440,4,D.mymmmmm xxxxxx4解析：由题意得y=5 +的值域应包含而5445 +5，因此55选答案答案D第78页 . (,),0,25, 16 A. 0,8B. 3,8C. 3,6. 3,m62010yx2 6x 16mD新创题易若函

34、数的定义域为值域为 ，值域为则 的取值范围第79页 解析解析:函数函数y=(x-3)2-25,因为函数的定义域因为函数的定义域为为 ,值域为值域为 ,而当而当x=0时时,y=-16,当当x=3时时,y=-25,由由二次函数的对称性可得二次函数的对称性可得m的取值范围为的取值范围为 ,故故选选C.0,m25, 163, 6答案答案C第80页 二二 填空题填空题7. (能力题能力题,中中)已知函数已知函数y=x2-3x-4的定义域的定义域为为 ,值域为值域为 ,则实数则实数m的值范的值范围是围是_.0,m25,442232534(),24325;34.24250, 4 ,43,3,3 .2yxxxyxymm 解析：画出这个函数的图象（如图）.当x=0时，y=-4;当x=时，当时，函数的定义域为值域为3由图象可知2所求实数m的取值范围是答案：答案：3,32第81页 评析：本