2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十一直线与平面垂直二新人教A版必修220191226175

1、课时素养评价 三十一直线与平面垂直(二)(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.四棱锥p-abcd，pa平面abcd，且pa=ab=ad，四边形abcd是正方形，e是pd的中点，则ae与pc的关系是() a.垂直b.相交c.平行d.相交或平行【解析】选a.因为pa=ad，e为pd的中点，所以aepd，又pa平面abcd.所以pacd，又因为cdad.paad=a，所以cd平面pad，所以cdae.又因为cdpd=d，所以ae平面pcd.所以aepc.2.已知pa矩形abcd所在平面，paad，m，n分别是

2、ab，pc的中点，则mn垂直于()a.adb.cdc.pcd.pd【解析】选b.连接ac，取ac的中点为o，连接no，mo，如图所示：因为n，o分别为pc，ac的中点，所以nopa，因为pa平面abcd，所以no平面abcd，所以nocd.又因为m，o分别为ab，ac的中点，所以mobc.因为bccd，所以mocd，因为nomo=o，所以cd平面mno，所以cdmn.3.如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，若e是a1c1与b1d1的中点，则直线ce垂直于()a.acb.bdc.a1dd.a1d1【解析】选b.在正方体abcd-a1b1c1d1中，e是a1c1，b1d1的中点，设o是ac

3、，bd的交点，连接eo，则eo平面abcd，所以eobd，又cobd，coeo=o，所以bd平面coe，因为ce平面coe，所以bdce.4.(多选题)如图，直线pa垂直于圆o所在的平面，abc内接于圆o，且ab为圆o的直径，点m为线段pb的中点.以下各命题中，真命题为()a.bcpcb.om平面apcc.点b到平面pac的距离等于线段bc的长d.三棱锥m-pac的体积等于三棱锥p-abc体积的一半【解析】选abcd.因为pa圆o所在的平面，bc圆o所在的平面，所以pabc，而bcac，paac=a，所以bc平面pac，而pc平面pac，所以bcpc，故a正确；因为点m为线段pb的中点，点o为

4、ab的中点，所以ompa，而om平面pac，pa平面pac，所以om平面apc，故b正确；因为bc平面pac，所以点b到平面pac的距离等于线段bc的长，故c正确；三棱锥m-pac和三棱锥p-abc均可以平面pac为底面，此时m到底面的距离是b到底面距离的一半，故三棱锥m-pac的体积等于三棱锥p-abc体积的一半，故d正确二、填空题(每小题4分，共8分)5.abc的三个顶点a，b，c到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在的同侧，则abc的重心到平面的距离为_. 【解析】如图，设a，b，c在平面上的射影分别为a，b，c，abc的重心为g，连接cg并延长交ab于中点e

5、，又设e，g在平面上的射影分别为e，g，则eab，gce，ee=12(aa+bb)=52，cc=4，cgge=21，在直角梯形eecc中，可求得gg=3.答案：36.如图所示，在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中，当底面四边形abcd满足条件_时，有a1cb1d1. 【解析】若a1cb1d1，由四棱柱abcd-a1b1c1d1为直四棱柱，aa1b1d1，易得b1d1平面aa1c1c，则a1c1b1d1，即acbd(或四边形abcd为菱形).答案：acbd或四边形abcd为菱形三、解答题(共26分)7.(12分)如图，四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中

6、心，a1o平面abcd，ab=aa1=2.证明：a1c平面bb1d1d.【证明】因为a1o平面abcd，所以a1obd.又底面abcd是正方形，所以bdac，因为aca1o=o，所以bd平面a1oc，所以bda1c.又oa1是ac的中垂线，所以a1a=a1c=2，且ac=2，所以ac2=aa12+a1c2，所以aa1c是直角三角形，所以aa1a1c.又bb1aa1，所以a1cbb1，因为bb1bd=b，所以a1c平面bb1d1d.8.(14分)如图，三棱柱abc-a1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，b1c的中点为o，且ao平面bb1c1c.(1)证明：b1cab.(2)若acab1，cbb

7、1=60°，bc=1，求三棱柱abc-a1b1c1的高.【解析】(1)连接bc1，则o为b1c与bc1的交点.因为侧面bb1c1c为菱形，所以b1cbc1.又ao平面bb1c1c，所以b1cao，故b1c平面abo.由于ab平面abo，故b1cab.(2)方法一：在平面bb1c1c内作odbc，垂足为d，连接ad.在平面aod内作ohad，垂足为h.由于bcao，bcod，故bc平面aod，所以ohbc.又ohad，所以oh平面abc.因为cbb1=60°，所以cbb1为等边三角形.又bc=1，可得od=34.由于acab1，所以oa=12b1c=12.由oh·a

8、d=od·oa，且ad=od2+oa2=74，得oh=2114.又o为b1c的中点，所以点b1到平面abc的距离为217，故三棱柱abc-a1b1c1的高为217.方法二：由于侧面bb1c1c为菱形，cbb1=60°，bc=1.故b1c=1，bo=32，又acab1，则ao=12，ac=22，易得ab=1，在abc中，易得ac边上的高h=144，由va-bb1c=vb1-abc，得13sbb1c·ao=13sabc·h三棱柱所以34·12=12·22·144·h三棱柱.所以h三棱柱=217.所以三棱柱abc-a1b

9、1c1的高为217.(15分钟·30分)1.(4分)已知矩形abcd的边ab=a，bc=3，pa平面abcd，若bc边上有且只有一点m，使pmdm，则a的值为()a.12b.1c.32d.2【解析】选c.因为pa平面abcd，所以padm，若bc边上存在点m，使pmmd，则dm平面pam，所以dmam，所以以ad为直径的圆和bc相交即可.因为ad=bc=3，所以圆的半径为32，要使线段bc和半径为32的圆相切，则ab=32，即a=32，所以a的值是32.2.(4分)如图，已知abc为直角三角形，其中acb=90°，m为ab的中点，pm垂直于abc所在平面，那么()a.pa=

10、pb>pcb.pa=pb<pcc.pa=pb=pcd.papbpc【解析】选c.因为pm平面abc，mc平面abc，所以pmmc，pmab.又因为m为ab中点，acb=90°，所以ma=mb=mc.所以pa=pb=pc.【加练·固】 正方体abcd-a1b1c1d1中e为线段b1d1上的一个动点，则下列结论中错误的是()a.acbeb.b1e平面abcdc.三棱锥e-abc的体积为定值d.b1ebc1【解析】选d.对于a.因为在正方体中，acbd，acdd1，bddd1=d，所以ac平面bb1d1d，因为be平面bb1d1d，所以acbe，所以a正确.对于b.因

11、为b1d1平面abcd，所以b1e平面abcd成立，即b正确.对于c.三棱锥e-abc的底面abc的面积为定值，锥体的高bb1为定值，所以锥体体积为定值，即c正确.对于d.因为d1c1bc1，所以b1ebc1错误.3.(4分)正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是_. 【解析】如图，由已知得papb，papc，pbpc=p，所以pa平面pbc.又pbpc，pb=pc，bc=2，所以pb=pc=2.所以vp-abc=va-pbc=13pa·spbc=13×2×12×2×2=23.答案：234.(4分)如图，在三棱

12、锥p-abc中，pa底面abc，bac=90°，f是ac的中点，e是pc上的点，且efbc，则peec=_. 【解析】在三棱锥p-abc中，因为pa底面abc，bac=90°，所以ab平面apc.因为ef平面pac，所以efab，因为efbc，bcab=b，所以ef底面abc，所以paef，因为f是ac的中点，e是pc上的点，所以e是pc的中点，所以peec=1.答案：15.(14分)如图直三棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1=ac=cb=22ab=2.(1)证明：bc1平面a1cd.(2)求三棱锥e-a1cd的体积.【解析】(1)

13、连接ac1交a1c于f，连接df，则f为ac1中点，又d为ab中点，因为bc1df，又bc1平面a1cd，df平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)因为ac=bc=22ab=2，所以acbc，ab=22，cdab，cd=2，因为三棱柱为直三棱柱，所以aa1底面abc，所以aa1cd，因为a1aab=a，所以cd平面a1de，所以ve-a1cd=vc-a1de=13sa1de×cd，在矩形abb1a1中，求得sa1de=322，所以ve-a1cd=13×322×2=1.故三棱锥e-a1cd的体积为1.【加练·固】 如图所示，已知矩形abcd，过a作s

14、a平面abcd，再过a作aesb交sb于点e，过点e作efsc交sc于点f.(1)求证：afsc.(2)若平面aef交sd于点g，求证：agsd.【证明】(1)因为sa平面abcd，bc平面abcd，所以sabc，因为四边形abcd为矩形，所以abbc，因为absa=a，所以bc平面sab，所以bcae.又sbae，sbbc=b，所以ae平面sbc，所以aesc.又efsc，所以sc平面aef，所以afsc.(2)因为sa平面abcd，所以sadc，又addc，saad=a，所以dc平面sad，所以dcag.由(1)知sc平面aef，因为ag平面aef，所以scag，因为scdc=c，所以ag

15、平面sdc，所以agsd.1.如图，在矩形abcd中，ab=2ad，e为边ab的中点，将ade沿直线de翻折成a1de.若m为线段a1c的中点，则在ade翻折过程中，下列结论中正确的有()总存在某个位置，使ce平面a1de.总有bm平面a1de.存在某个位置，使dea1c.a.b.c.d.【解析】选a.在中，总存在某个位置，使ce平面a1de，正确；在中，取cd中点f，连接mf，bf，则mfa1d且mf=12a1d，fbed且fb=ed，由mfa1d与fbed，可得平面mbf平面a1de，所以总有bm平面a1de，故正确；在中，a1c在平面abcd中的射影为ac，ac与de不垂直，所以de与a1c不垂直，故错误.2.(2019·南昌高一检测)如图，在四面体p-abc中，pa平面abc，pa=ab=1，bc=3，ac=2.(1)证明：bc平面pab.(2)在线段pc上是否存在点d，使得acbd，若存在，求pd的值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知：ab=1，bc=3，ac=2.则ab2+bc2=ac2，所以abbc