《数值分析》杨大地答案(第一章)

1、数值分析-第1章1. 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为有限次 的四则 运算;(2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个相近 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值远小于分子的绝对值；(3) 误差有四大来源，数值分析主要处理其中的截断误差和舍入误差；(4) 有效数字越多,相对误差越小；2. 用例1.4的算法计算.10 ,迭代3次,计算结果保留4位有效数字。/见P4_ ? _ ?解题思路：假定？?？是?勺一个近似值，？?> ?则忘 也是?的一个近似值，且?和 乔 两个近似? ?值必有一个大于V?,另一个小于 V?设想它们的平均值应为V

2、?的更好的近似值，于是？?+?=? ?_(?:?+)?= ? ? ? ?令？1 ?解：取？ =3 ,按算法?+1 = 2(?+韵，k= 0, 1 , 2 ,迭代3次有：1 10 10? = 2(?> + ?)= (3 + -3)心 3.16711010?=乳？ + 右)=(3.167 + 询)-3.16211010? = 2(? + 刃=(3.162 + 花)-3.1623. 推导开平方运算的误差限公式，并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差。/见P8解：已知?= vX，设？?是准确值，令 x是？?的一个近似值，则相对误差e(?) = ?- ?), 由 Taylor 公式？?)=器 +

3、 乎)(？- x) + 薯(？- x)2 + ? + 竽珂？- x)?+ ?毅?？ 其中，？权？=需(？_ x)?+1将?)展开分析有：?)= V?+ 馬(？- x) + ? + ?!?)(?- x)?+ ?e(?) = ?- ?) = - ( 2V?(? - x) + ? + ¥?)(?- x)?+ ?(?)1?供?)?|e(?:?)| < ?) ©乔?？?？+ ? + I矿?:?| + |?比？?|忽略二阶以上无穷小，可得?的误差限公式为？?)-詐?(?？。11-< 1，即x > -时，结果误差？?)不小于自变量误差？?？。2 V?'46.若钢

4、珠的的直径d的相对误差为1.0%，则它的体积V的相对误差将为多少。(假定钢珠为标准的球形) 解：由题，钢珠体积V=4?g-)32 一元函数的误差限估计式？= |?(?|x d?=? ， ?=，？?(?=?)|?(?|?亍 x (?x 1.0%)/见P8 公式1.13d?=市?亍 x (?x1.0%)?十一=3.0%69一个圆柱体的工件，直径d为10.25 0.25mm,高h为40.00 1.00mm,则它的体积 V的近似值、误差和相 对误差为多少。解：体积V的近似值:、，？?？3.142 X 10.25 X 40.003V = -4-= 3300.6?3根据二元函数误差公式?(?) ?(?)?

5、(?(?) -1-?，-) ?(? +1?得：见P9 公式1.15体积V的误差？? q? + 22?)? 2=-X (2 X 10.25 X 40.00 X 0.25 + 10.25 2 X 1.00) = 243.6mm体积V的相对误差? =式？243.6W= 33006= 0.°738 = 7.38%10.证明对一元函数运算有 ？?？?)k x ?，其中|需，并求出f(x)tan x, x 1.57 时的k值，从而说明f(x) tan x在xi时是病态问题证明：相对误差限? =&?T?，/见P6 公式1.10?-(?) 需/见P8 公式1.13对于一元函数有 £

6、 (?)|?(?) £?,£ (?)?(?) ?) ?)?)?r= l?y £?= l-?r)l ?(?= ?，其中？?= 1需1由题，当f(x)tan x,x 1.57 时，有？?= |繇)|)=11.57 X?57)| = 1972?1.57 I?(?)=1972?,即当输入数据x有微小变化时，输出数据?误差变化1972倍，存在很大扰动，故f(x)tan x在x时是病态问题。212.下列各式应如何改进，使计算更准确：/见 1 1？门)y =话-1+?，|? 1 ；解：=(1+?- (1-?)(1+2?)2?字解：y =(1+2?)( 1+?)= 2?孚+3?+1(2) y = V"丄-Vx- x , X? 1;1解：y = Vx+ -x(Vx+1 + Vx-)( Vx+1- Vx-丄)1xXxxVx -xV x+1 + V x-xx21 1 ?( V x+ + V 0)2?1-cos 2x(3) y = , |x| ? 1;1-cos 2x 1- (1-2?解：y