微专题24数列的通项

1、微专题24 数列的通项頁題恿幣君点!I合Ii忙£明考削；扣宴處真题感悟(2019 全国 II 卷)已知数列an和bn满足 ai = 1, bi = 0, 4an+1 = 3an bn + 4, 4bn+1 = 3bn an 4.(1) 证明：an+ bn是等比数列，an bn是等差数列； 求an和bn的通项公式.1(1)证明 由题设得 4(an + 1 + bn+1)= 2(an+ bn)，即 an+1 + bn+1 = =2(an+ bn). 又因为a1 + b1= 1,1所以an+ bn是首项为1,公比为2的等比数列由题设得 4(an+1 bn+1)= 4(an bn) + 8,

2、即 an+1 bn+1 = an bn+ 2. 又因为a1 b1= 1,所以an bn是首项为1,公差为2的等差数列1解 由(1)知，an+ bn= ?n-1 , an bn = 2n 1,1 1 1所以 ；(an+ bn) + (an bn)=刁+ n 2,1 1 bn= 2【(an+ bn) (an bn) = ?n考点整合求通项公式的常见类型(1) 观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明S1(n= 1),(2) 利用前n项和与通项的关系an=Sn S1(n2).(3) 公式法：利用等差(比)数列求通项公式.累加法：在已知数列a

3、n中，满足an+1 = an+ f(n)，把原递推公式转化为an+1an = f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.叠乘法：在已知数列an中，满足an+1 = f(n)an,把原递推公式转化为=f(n),an再利用叠乘法(逐商相乘法)求解构造等比数列法：在已知数列an中，满足an+1 = pan + q(其中p, q均为常数， pq(p 1)工0)先用待定系数法把原递推公式转化为 an+i t = p(an t)，其中t =J，再利用换元法转化为等比数列求解.| p焦点聚焦B类突的迥皿曲蛾热点一 由Sn与an的关系求an【例1】(2018全国I卷)记Sn为数列an的前n项和若S = 2an

4、+1，贝U S6=解析 法一一因为Sn= 2an+ 1，所以当n= 1时，a1 = 2a1 + 1，解得a1 = 1;当 n = 2 时，a1 + a2= 2a2 + 1，解得 a2= 2；当 n = 3 时，a1 + a2 + a3= 2a3 + 1，解得 a3= 4；当 n = 4 时，a1 + a2 + a3 + a4 = 2a4 + 1，解得 a4= 8;当 n = 5 时，a1 + a2 + a3 + a4+ a5= 2a5 + 1，解得 a5= 16;当 n = 6 时，a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2a6 + 1，解得 a6= 32.所以 S6= 1

5、 2 4 8 16 32= 63.法二 因为 Sn= 2an+ 1，所以当 n= 1 时，a1 = 2a1 + 1，解得 a1 = 1，1X (1 26)1 2当 n2 时，an= Sn 3t = 2an+ 1 (2an 1 + 1)，所以 an= 2an 1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an= 2n 1,所以S6=答案 -63探究提高 给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是：一是利用 3 Sn-1 = an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【训练1】 设数列an的前n项和为Sn,已知ai= 1

6、, a2 = 2,且an+2 = 3S Sn+1 + 3, n N .证明：an+ 2= 3an ,并求 an.解 由条件，对任意nN ,有an +2 = 3Sn Sn+1+ 3, 因而对任意 n N , n2,有 an+1 = 3Sn-1 Sn+ 3.两式相减，得 an+2 an+1 = 3an an+1, 即 an+2= 3an, n2.又 a1= 1, a2 = 2, 所以 a3= 3S1 S2 + 3 = 3a1 (a1 + a2)+ 3= 3a1,故对一切 n N*, an+2 = 3an.又因为anM0,所以an+ 2an3于是数列a2n1是首项a1 =1,公比为3的等比数列;数列

7、a2n是首项a2= 2,公比为3的等比数列.因此a2n1 = 3n1, a2n= 2X 3n1n 13t , n为奇数，所以an=n22X 3丁, n为偶数.热点二“累加法”、“累乘法”求通项【例2】 已知数列an中，a1= 1,前n项和Sn=n+2an.求a2, a3；(2)求an的通项公式.4解 (1)由 S2=尹2得 3(a1+ a2)= 4a2，解得 a2 = 3a1 = 3.53由 S3= 3a3得 3(a1 + a2 + a3)= 5a3,解得 a3=?(a1+ a2) = 6.(2)由题设知a1 = 1.整理得畀A,anan-1因此an-1 an-2a3 a2n+1 na2 ai

8、= n- 1 n-24 32彳,化简得 an =(n+1Ln ai=山+1当n= 1时也满足上式，故an的通项公式为an=门"门：1)探究提咼形如an+1 = anf(n),求an.an采用累乘法：若已知ai且=f(n)(n2),则an- 1an- 1 an- 2an an 1a3 a2 ana2 ai=ai=f(n)f(n-1)f(3) f(2)，即 an = ai f(2) f(3) - f(n 1) (n).(2)形如 an+1 = an + f(n)，求 an.采用累加法：若已知 ai 且 an an-1 = f(n)(n2),则(an - an-1) + (an-i-an2

9、)+ (a3 a2)+ (a2 ai) = an- ai = f(n) + f(n- 1) + + f(3) + f(2),即 an= ai + f(2) + f(3)+ + f(n1)+ f(n).【训练 2已知在数列an中，ai = 1, an= 2 3n 1 + an-i(n>2),则 an =,解析 因为an= 2 3n1 + an-i(n2),所以an-an-1 = 2 3n1(n2),由累加原理3 (1-3n1) 知 an ai = 2(3+ 32 + 33 + + 3n1)(n2)，所以 an = ai + 2 1-3=1 + 3n-3= 3n-2(n2),因为ai= 1也

10、符合上式，故an= 3n-2.答案 3n- 2热点三用“转化法”求an【例3 (2019苏州模拟)在数列an中，已知ai = 2, an+1 = 3an+ 2n1,则数列an的通项公式是.解析 因为 an+1 = 3an + 2n 1,所以 an+1 + n+ 1 = 3(an + n),又 ai = 2,所以 anan+1 + n+ 1解an+1 =誥，两边取倒数得FT盘+ 1,an+1>0, an+ n>0,故=3,故an+ n是以3为首项，3为公比的等比数an+ n列，从而 an+ n = 3n，故 an= 3n n.答案 an= 3n n探究提高本题主要考查利用转化思想构造

11、等比数列来求数列的通项公式本方法主要适用于给出递推关系式的数列的通项公式的求解问题一般地，需要将所给出的递推关系式进行转化变形，构造出一个新数列，此新数列为等差数列或等 比数列，通过求出此新数列的通项公式后，再求出原数列的通项公式.常见的递推关系的形式有：（1）an= pan 1 + q（其中p，q为常数，且pH0，pH 1），通过变q, q, qpan1形得an+= p an1 + p 1，从而构造出等比数列an+ p 1 ；2）an=p 1p 1p 1qan1 + r（其中p，q，r为常数），通过变形得右=p + q，令bn =右，则转化为第（1）种an p an 1pan类型或等差数列来

12、求解.2an【训练3】 在数列an中，已知a1 = 4，an+1 = 2+1，求数列&的通项公式1 1 1设 bn= an，贝U bn +1= qbn+1，贝U bn +1 2 = 2（bn 2），bn +1 21bn 2 = 2,171故bn 2是以b1 2 =當一2= 4为首项，2为公比的等比数列.bn 一 2 =1 n 122*+1得 an= qn+2 一 7【新题感悟】（2019苏北七市高三一模）已知等差数列an满足a4= 4,前8项和S8= 36.(1) 求数列an的通项公式；n(2) 若数列bn满足石 1 (bka2n+1-2k) + 2an= 3(2n 1), (n N*

13、). 证明：bn为等比数列； 求集合 (m, p) 倉=詈，m, p N* .解(1)设等差数列an的公差为d.因为等差数列an满足a4 = 4,前8项和&= 36,a1 + 3d= 4,a1 = 1,所以 8X 7 ，解得8a1 + 2d = 36d =.所以数列an的通项公式为an= n.证明 设数列bn前n项的和为Bn.n由(1)及葛(bka2n+12k) + 2an = 3(2n 1), (n N*)n3(2n 1)=袒 1 ( bka2n+12k) + 2n,n 1(n>2).3 (2n 1 1)=kk21(bka2n-1-2k) + 2 (n 1)由一得3(2n 1)

14、 3(2n1 1)= (b1a2n- 1+ b2a2n 3+ bn 1 a3 + bna1 + 2n) (b1a2n-3 +b2a2n 5+ bn-1a1 + 2n 2)=b1(a2n-3+ 2)+ b2(a2n-5+ 2)+ bn-1(a1 + 2) + bn a1 + 2n(b1a2n3 + b2a2n5+ bn1a1 + 2n- 2)=2(b1 + b2+-+ bn-1) + bn+ 2 = 2(Bn bn) + bn+ 2.所以 3 2n1 = 2Bn bn+ 2(n2, n N*),又3(21 1) = b1a1 + 2,所以b1= 1,满足上式.所以 2Bn bn + 2 = 3

15、2n 1(n N*).当 n2 时，2Bn-1 bn-1 + 2= 3 2n2,由一得，bn+ bn-1 = 3 2n2.bn 2n1 = (bn-1 2n2) = -= ( 1)n1(b1 20) = 0,所以 bn= 2n1,bn+1bn所以数列bn是首项为1,公比为2的等比数列.由 am 3ap 得 m 3p 即 cp-m 3p由bm二瓦，得尹二尹，即1 2二m记 6=bn，由得，6=bn=21，所以"CJ = 2n W 1 ,所以Cn> cn +1（当且仅当n= 1时等号成立).由誥=3bP，得曲=3Cp>Cp,所以mv p.设 t=p m（m, p, t N*）

16、，由 2p-m =晋，得3tm=2.当t= 3时,m= 3,不合题意；此时p = 8符合题意;m= 6,不合题意;12m= 13V1,不合题意.t>4, t N*时，m= t3t v 1.2 3不妨设 f(x) = 2x 3x 3(x>4),则 f'x) = 2xln 2 3> 0,所以f(x)在4,+x)上单调递增，所以 f(x)f(4)= 1> 0,*3t所以当t>4, t N时，m= 23v 1，不合题意. 综上，所求集合(m, P)1畫=譽 m, p N* = (6 , 8).专題圳练时接高割郴一、填空题1. 已知数列an的首项为1,且满足an =

17、 3Sn(n2, n N*),则前n项和Sn =1 1 1所以S2= 2$,所以Sn= 2Sn 1( nA 2),故数列Sn是以1为首项，为公比1 n 1的等比数列，所以Sn= 21 n 1 答案 -11 1 1 *2. 已知数列an满足 ai= 1, an = ai + Ta2 +a3+an1(nA2, n N ),若2 3n ian= 2 004,贝U n=.11i*i解析因为 an= ai + 2a2 + 3a3+ +an1(nA2, n N*)，所以 an +1 = ai+?a2 3n 121 1 n+1 * n n1 + 3a3+ + an,两式相减，得 an+1 = _an(nA2

18、, n N )，贝U an =x3 nnn 1 n 2n- 2-2a3 一 2XXn*又 ai = 1, a2= ai = 1,所以 an=2(n 2, n N ),所以 2 004=1 nx2，故 n = 4 008.答案 4 0083. 已知数列an满足ai= 3,且an+i = 4an + 3(n N )，则数列an的通项公式为解析 由 an+1 = 4an + 3，得 an+1 + 1 = 4+ 1)，故数列an+ 1是首项为 ai + 1=4,公比为4的等比数列，所以an+ 1= 4n,所以an= 22n- 1.答案 an= 22n- 14. (2019南京、盐城调研)在数列an中，

19、已知 ai = 1， an+1 = 2an+ 1，则ai0 =解析 由题意知an+1+ 1 = 2(an+ 1), 数列an+ 1是以2为首项，2为公比的 等比数列，an+ 1 = 2n， a an= 2n- 1.a ai0= 210 1 = 1 023.答案 1 0235. (2018盐城三模)设数列an的前n项和为Sn,若Sn= 2an+ n(n N*)，则数列an的通项公式an=.解析 因为Sn= 2an+ n,所以当n= 1时，ai= Si = 2ai + 1,即ai = 1;当n2时，an = Sn Sn1 = (2an+ n) 2an i + (n 1) = 2an 2ani +

20、1,即 an = 2ani 1,an 1 所以 an 1 = 2(an1 1),又因为 a1 1 = 2工 0,故 an 1 1工 0,所以=an 1 12,所以数列an 1为首项a1 1 = 2,公比q = 2的等比数列，所以an 1 =2X 2n 1，即an= 1 2n,当n= 1时也成立.答案 1 2n6. 已知数列an中，a1 = 1, an +1 = a + 3(n N )，贝U an =解析因为an+1an1311an+ 3(n N ),所以 =1.设 +1 = 3 -" +1，所以 3tan+1 anan+1an11111111 3111=，解得t= 2,所以訂+1=3

21、恳+ 2 又£+1=1+1=3所以数列23 1133n2是以2为首项，3为公比的等比数列，所以缶+ 2= 2X 3n1=1，所以an=317. 设数列an满足 a1 = 2, an+1 4an= 3X 2n+1,贝U an =解析 由 a1 = 2, an+1 4an = 3X2n+1,得: 器=3.设 bn =器，则 bn+1 = 2bn+ 3.设 bn+1 +1= 2(bn +1),所以 2t1= 3,解得 t = 3,所以 bn+1 + 3= 2(bn+ 3),bn+1 + 3a1所以=2.又b1 + 3= 2 + 3= 1 + 3 = 4,所以数列bn+ 3是以4为首项，2b

22、n + 32为公比的等比数列，所以bn+ 3= 4X 2n1 = 2n+ S所以bn= 2n+1 3,所以an= bn 2n= (2n+1 3) X 2n = 22n+1 3X 2n.答案 22n+1 3X 2n8. 已知正项数列an中，ai = 2, an+i = 2an+ 3x5n,则数列an的通项公式an=解析在an+1 = 2an+ 3x 5n的两边同时除以5n+1,an + 15n+12an=5x5"+an232令#= bn,则式变为bn+ 1 = £bn+ 5即卩bn + 1 - 1 = £(bn 1),所以数列bn 1a3232是等比数列，其首项为b

23、1 1 = a 1 = 3,公比为5,所以bn 1= - x -n 13，即 bn= 1 5X2 n 1所以常=1 3x2 n 13x2n 15=1 5，故 an= 5n 3x 2n1.答案 5n 3x 2n1二、解答题1n+19. (1)在数列an中，a1 = 1 , an+1 = 1 + n an+ ?n，求数列 an的通项公式;(2)已知正项数列an满足 a1= 1, (n+ 2)an +1 (n+ 1)an + anan+1= 0,求通项 an.解(1)由已知得a1=1,且n+1=骨+寺,a?a11a3a21anan 111+尹二 2 + 22，2 3 n n 1十 2n1,an,11

24、1 亠1n 1+2+2+22+ 2*1 = 2 2门-1(n> 2).n-an = 2n 2门-1(n2),又a1= 1适合上式,n_-an = 2n ?n 1由(n+ 2)an+1 (n+ 1)an + anan+1 = 0,得(n + 2)an + 1an2 + 眶=n+ 1, an，所以an+1ann+ 1n + 2an + 1an舍去an an-1 an-1 an-2a2石a1n n-122n+ 1 n 3 n+ 1故数列an的通项公式an n+ .10. 已知数列an , bn满足2Sn= n+ 2)bn，其中Sn是数列an的前n项和.2 1若数列an是首项为3,公比为一3的等比数列，求数列bn的通项公式;若bn= n, a2 = 3,求数列an的通项公式.2解(1)因为an 3n-11 n_-2 3 ,23 1-Sn =1-1 n3132Sn1-所以bn_ R_ 11 n 2.2 + 23 +若