地球物理计算方法PPT课件

1、地球物理计算方法地球物理与信息技术学院地球物理与信息技术学院上节课讲了些什么？上节课讲了些什么？绪论：绪论：u误差分析误差分析复习复习u误差来源误差来源复习复习地质问题物理模型数学模型数值计算地质解释计算结果是否满足要求修改处理否是？地质地质问题问题物理物理模型模型数学数学模型模型数值数值计算计算地质地质解释解释计算结果计算结果是否满足是否满足要求要求修改处理修改处理否否是是u误差来源误差来源复习复习地质问题物理模型数学模型数值计算地质解释计算结果是否满足要求修改处理否是模型模型误差误差截断截断误差误差舍入舍入误差误差地质地质问题问题物理物理模型模型数学数学模型模型数值数值计算计算地质地质解释

2、解释计算结果计算结果是否满足是否满足要求要求修改处理修改处理否否是是以下误差来源中主要由数值计算方法引入的是：截断误差与模型误差舍入误差与观测误差舍入误差与截断误差截断误差与观测误差ABCD提交单选题2分重要概念：重要概念：u误差误差/ /误差限误差限u相对误差相对误差/ /相对误差限相对误差限u有效数字有效数字复习复习u误差限、相对误差限、有效数字三者关系误差限、相对误差限、有效数字三者关系 近似值（观测值）： 绝对误差限与有效数字关系： 相对误差限与有效数字关系： 已知有效数字： 已知相对误差限：复习复习u误差的传播误差的传播u病态问题与条件数病态问题与条件数 什么是病态问题？什么是病态问

3、题？复习复习条件数是评价算法优劣条件数是评价算法优劣程度的一个重要参数！程度的一个重要参数！u避免误差危害若干原则避免误差危害若干原则1.1. 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2.2. 避免两相近数相减；避免两相近数相减；3.3. 防止大数吃小数；防止大数吃小数；4.4. 简化计算步骤，减少运算次数。简化计算步骤，减少运算次数。复习复习以下说法中正确的有：ABCD提交高精度运算可以改善问题的病态性经过四舍五入得到的近似数都是有效数字计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的解对数据的微小变化高度敏感是病态的多选题2分1

4、1第第1 1章章 插值方法插值方法如果我继承了可观的财产，那我在数学上可能就没有多少价值了。如果我继承了可观的财产，那我在数学上可能就没有多少价值了。拉格朗日拉格朗日内内 容容插值概念插值概念各种插值方法各种插值方法（泰勒、拉格朗日、牛顿、埃尔米特、分段、样条泰勒、拉格朗日、牛顿、埃尔米特、分段、样条）插值余项插值余项曲线拟合曲线拟合（最小二乘最小二乘）121、插值概念、插值概念2、拉格朗日插值、拉格朗日插值3、牛顿插值、牛顿插值4、埃尔米特插值、埃尔米特插值5、分段插值、分段插值6、样条插值、样条插值7、最小二乘曲线拟合、最小二乘曲线拟合1314 许多实际问题内在规律的函数关系并不显然易得:

5、问题的提出问题的提出xx0 x1x2xnyy0y1y2yn 更多实际情况下，仅能获得函数在定义区间上的一部分函数值。(如地球物理中的实验/观测值)15地球物理中的插值问题：（一维）测得在某处海洋不同深度处的水温如下深度（m） 466 741 950 1422 1634水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，如何合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温？问题的提出问题的提出16地球物理中的插值问题：中国大陆地表热流分布（二维）问题的提出问题的提出17地球物理中的插值问题：矿产资源勘探（三维）问题的提出问题的提出表述表述：已知：求： 在此区

6、间上任意点 的近似值; 称为插值节点；插值节点；x 称为插值点插值点； 称为样本值样本值；19解决思路：解决思路：构造一个具有解析表达式的简单函数，近似求解：（1）构造一个简单函数p(x)来替代未知（或复杂）函数f(x);（2）用p(x)的函数值作为f(x)的近似值；20 从几何上看，插值法就是找曲线y=p(x) ，使其通过给定的 n+1个点 ，并用它近似未知曲线 . 21根据插值函数p(x)的形式不同，可以分为：代数插值（代数多项式）三角插值（三角函数傅里叶级数）有理插值（有理函数）分段插值（分段函数）样条插值（样条函数）混合插值（多种插值函数同时使用）22复习：泰勒级数复习：泰勒级数预备知

7、识预备知识定义定义：如果 在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数 称为 在点x0处的泰勒级数。在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数 称为麦克劳林级数。23函数 sinx 在 x=0 处的泰勒级数展开为：ABCD提交单选题2分24复习：泰勒级数复习：泰勒级数预备知识预备知识25复习：泰勒多项式复习：泰勒多项式预备知识预备知识26复习：复习：罗尔定理：罗尔定理：中值定理：中值定理：预备知识预备知识27泰勒（泰勒（TaylorTaylor）插值）插值已知：复杂函数 在点的函数值 ，求 ： 附近另一点 的函数值 。 泰勒插值问题泰勒插值问题：28解决方法：解决方法：u构造一个代数多项式函数 ，u使得 与

8、 在 点充分逼近。泰勒多项式为：泰勒多项式为：在x=x0, pn(x)与f(x)具有相同的i阶导数值（i=0,1,n）。29误差分析（泰勒余项定理）误差分析（泰勒余项定理）其中， 在 与 之间。30几何意义几何意义31几何意义几何意义32计算机中对于三角函数、指数函数、对数函数等初等函数计算机中对于三角函数、指数函数、对数函数等初等函数的计算都是通过泰勒插值的方法实现的。的计算都是通过泰勒插值的方法实现的。33例：例：已知函数 在x0=100的一次和二次泰勒多项式，求f(115).求解：已知“复杂”函数 在x0=100处的函数值f(x0)=10 。求：x0附近一点的x0+15的函数值f(x0+

9、15)。利用泰勒展开将非线性问题线性化利用泰勒展开将非线性问题线性化是数值计算方法中的一种重要思想！是数值计算方法中的一种重要思想！34泰勒插值存在的问题：泰勒插值存在的问题：1.函数f(x)必须存在n+1阶导函数阶导函数，即使存在n+1阶导数，计算的工作量也比较大；2.要求h为一个小量（即x在在x0附近附近），若h较大，则计算的误差就很大。1、插值概念、插值概念2、拉格朗日插值、拉格朗日插值3、牛顿插值、牛顿插值4、埃尔米特插值、埃尔米特插值5、分段插值、分段插值6、样条插值、样条插值7、最小二乘曲线拟合、最小二乘曲线拟合3536LagrangeLagrange插值插值问题提出问题提出:已知

10、函数y=f(x)在n+1个节点x0,x1,x2,.xn，上的函数值y0,y1,y2,.yn ，求任意一点x的函数值f(x),函数y=f(x)可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值f(x)。37解决方法解决方法构造一个n次代数多项式pn(x)函数来替代未知（或复杂）函数y=f(x),则用pn(x)为函数值f(x),的近似值。设构造pn(x)即是确定n+1个多项式的系数38构造构造pn(x)的依据的依据当多项式函数pn(x)也同时过已知的n+1个节点时，我们可以认为多项式函数pn(x)逼近于原来的函数f(x)。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：39系数矩阵的行列式V为范

11、德蒙行列式：故当n+1个点的横坐标x0,x1,x2,.xn互不相等时，方程组系数矩阵的行列式V不等于零，故方程组有唯一解。即有如下结论：当即有如下结论：当n+1个点的横坐标个点的横坐标x0,x1,x2,.xn互不相等时，互不相等时，总总能够构造唯一的能够构造唯一的n次多项式函数次多项式函数pn(x)，使使pn(x)也过这也过这n+1个点。个点。40系数求解系数求解l当n很大时，通过求方程组方法得到系数ai的工作量很大；l求系数的新构造方法：（1） Lagrange插值方法（2）牛顿插值方法41u约瑟夫约瑟夫拉格朗日拉格朗日 - 法国数学家、物理学家； - 历史性贡献：数学、力学和天文学； -

12、数学成就最为突出：数学分析、变分法、 微分方程、方程论、插值方法； - 物理学：分析力学、天体力学； - “高耸在数学界的金字塔”。 如果我继承了可观的财产，那我在数学上可能就没有多少价值了。如果我继承了可观的财产，那我在数学上可能就没有多少价值了。我把数学看成是一件有意思的工作，而不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定地我把数学看成是一件有意思的工作，而不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定地说，我对别人的工作比自己的更喜欢。我对自己的工作总是不满意。说，我对别人的工作比自己的更喜欢。我对自己的工作总是不满意。一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。拉格朗日拉格朗日42LagrangeLagrange插值公式插值公式xx0 x1yy0y1如果已知函数y=f(x)的值如表所示。求：构造一次多项式p1(x),在插值节点上，满足p1(x)=f(x)1、线性插值：43直线的两点式表达式：一次多项式插值基函数：一次多项式插值系数： y0， y144几何意义：x0 x145例：已知 ， ， 求解：得：462、Lagrange抛物线插值抛物线插值xx0 x1x2y