数理统计的基础知识课件

1、 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识十九世纪末二十世纪初，和概率论的发展，门学科。真正诞生了数理统计学这随着近代数学 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识数理统计学是一门应用性很强的学科。数理统计学是一门应用性很强的学科。 是研究怎样以有效的方式有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的数据带有随机性的数据，推断和预测，供依据和建议。以便对所考察的问题作出直至为采取一定的决策和行动提 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识数理统计不同于一般的资料统计，侧

2、重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析。由于大量随机现象必然呈现出它的规律规律足够多次观察，一定能清楚地呈现出来。但事实上，次数不多的观察试验，的只是局部观察资料。它更因而从理论上讲，性性，被研究的随机现象的规律性也就是说, 我们获得只要对随机现象进行只允许我们对随机现象进行 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限有限的资料，对所研究的问题，论。尽可能地作出精确而可靠的结 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识1随机样本随机样本

3、总体总体个体个体研究对象的某项数量指标的可能观察值总体中的每个元素。某工厂生产的所有灯泡的寿命是一个总体总体，某学校男生的身高的全体是一个总体总体，每个男生的身高是一个个体个体。例如例如的全体。每一个灯泡的寿命是一个个体个体； HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识总体中的每一个个体是随机变量的一个数和数字特征。观察值， 因此，它是某个随机变量的值。X即，一个总体对应于一个随机变量一个总体对应于一个随机变量。X对总体的研究就是对随机变量的研究。X的分布函数和数字特征也称为总体的分布函X以后不区分总体与相应的随机变量，X为总体。统称 HaiNan U

4、niversity第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识例如例如检验自生产线出来的零件是次品以0表示产品为正品，以1表示产品则总体是由一些“0”和一些“1”组成的，这一为次品。还是正品。总体对应一个具有参数为的分布：(0,1)p的随机变量。p设出现次品的概率为（常数），1(1)(0,1)xxP Xxppx 将其称为是分布的总体。(0,1)变量的值。意思为：总体中的观察值是分布的随机(0,1) HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识机变量，12,nXXX若是具有同一分布函数具有同一分布函数则称12,nXXX本，本，简称为样本。其观察值 称

5、为样本值样本值。12,nxxx定义【定义【1.1】设是具有分布函数的随FX的相互独立相互独立的随机变量，F为从总体中得到的容量为的简单随机样随机样Xn HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识样本满足下面两个条件样本满足下面两个条件12,nXXX1.代表性代表性的总体有相同的分布。中每一个与所考察是相互独立的随机2. 独立性独立性12,nXXX变量。总体（理论分布）总体（理论分布）？ 样本样本 样本值样本值总体、样本和样总体、样本和样本值之间的关系本值之间的关系 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识12

6、1*(,)()nniiFx xxF x 由定义知本，若 为的一个样12,nXXXF则 的联合分布函数为12(,)nXXX121*(,)()nniifx xxf x 12(,)nXXX则的概率密度为若的概率密度为，Xf HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识数理统计研究的问题（统计推断）数理统计研究的问题（统计推断）花，收获了大量的花籽，成一小包出售。并向顾客保证：粒将能发芽， 否则的话可免费调换另一包。某种子公司栽种了几种类别的鲜A例例并把每25粒花籽扎一个零售商批发了若干包，在每包25粒花籽中至少有22 HaiNan University第六章第

7、六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识每包要是有每包要是有3粒不粒不发芽，马上免费退换！发芽，马上免费退换！每包每包25粒粒零售商面临如下两种类型的不确定性： HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识每包每包25粒中粒中至少有至少有22粒将粒将发芽发芽所有的包都所有的包都如此吗？如此吗？（1）他对种子公司出售的小包中可接受（即至少有22粒花籽将发芽）的包数所占比这是第一类不确定性。这是第一类不确定性。例 是不清楚的。AP这种类型的不确定性，出售的小包中可接受的比例，的真实状态（天然状态）无知所引起的不确定性。是不知道种子公司它是由于对总体 Hai

8、Nan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识哪些包是可接哪些包是可接受的呢？受的呢？从中购买从中购买200包包共共100万包万包（2）由于种子公司出售的花籽的货单上，这类花籽共有一百万包，200包， 因此他又面临着第二类不确定性第二类不确定性。这就是尽管他知道了一百万包可接受的比例但对他所购买的200包，其中可接受的比例仍旧没有“把握”。AP而零售商只购买了 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识那些包是可接那些包是可接受的呢？受的呢？从中购买从中购买200包包共共100万包万包零售商这样他就要损失一笔资金。一万包

9、中选取的。购买的200包仍有可能“碰巧”是从不可接受的万包是可接受的，司出售的一百万包中有99即使 是0.99，AP即种子公 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识这一类不确定性是由于“随机性随机性”所引起的。度已在概率论部分作过讨论。下面我们回到第一类不确定性零售商对种子公司出售的小包中可接受（即至少有22粒花籽将发芽）的包数所占比AP例是多少没有把握。这种不确定性的程AP在已知 的条件下， HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识零售商能够根据试验的方法（请公司进行发芽试验）来改善他的处境。根据试验他

10、能作出天然状况 是多少的决策。AP这就是抽取部分种籽进行发芽试验，AP这部分中发芽数所占比例（频率）来对 的真值进行推断。通过 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识这都是数理统计数理统计所要研究的问题。AP虽然他不能精确地和肯定地确定，可以期望获得一个（在某种意义下）比较好的推断。这就涉及到（1）怎样设计试验，决定观察的数目；）怎样设计试验，决定观察的数目；（2）怎样利用试验观察的结果作出一个）怎样利用试验观察的结果作出一个“好好”的推断等。的推断等。但 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识第一个问

11、题是怎样进行抽样，本更合理，并有更好的代表性？这是抽样方法和试验设计问题：行的是进行随机抽样随机抽样。体？第二个问题是怎样用取得的样本去推断总这是统计推断统计推断问题。本课程着重讨论第二个问题，计推断方法。最简单易使抽得的样这种推断具有多大的可靠性？即最常用统 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识2抽样分布抽样分布样本是进行统计推断的依据，往往不是直接使用样本本身，的问题构造样本的函数，进行统计推断。在应用时，而是针对不同利用这些样本函数 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识12,nXXX定义【定义

12、【2.1】设是来自总体X的一个样本，12(,)ng XXX是12,nXXX的函数，知知参数，是一个统计量统计量。则称12(,)ng XXX若是连续函数，g且中不含任何未未g12,nx xx设是相应于样本12,nXXX的样本值， 则称12(,)ng x xx是12(,)ng XXX的观察值。注意注意统计量是随机变量统计量是随机变量 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识2(,)XN 例例1设12,nXXX的一个样本，为来自总体（其中未知，已知） 2 问下列随机变量中那些是统计量12min(,);nXXX1;2nXX 1;nXXn 212();nXX

13、1()nXXnn HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识11niiXXn 常用的统计量常用的统计量1.样本均值2.样本方差2211()1niiSXXn 22111niiXnXn 22211()()()niniXXXXXX 22211122nXXX XX XnX 22112()niniXXXXnX 22222112nniiiiXnXnXXnX反映总体均值的信息反映总体方差的信息 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识2211()1niiSSXXn 3.样本标准差111, 2 ,nkkiiAXkn 11()

14、2, 3,nkkiiBXXkn 4.样本阶（原点）矩k5.样本阶中心矩k HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识11niixxn 它们的观察值分别为22221111()11nniiiisxxxnxnn 211()1niisxxn 111, 2 ,nkkiiaxkn 11()2, 3,nkkiibxxkn HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识这些观察值仍分别称为样本均值、样本中心矩。方差、样本标准差、样本阶矩、样本阶kk定理定理若总体的阶矩 存在，kX()kkE X 则当时，n (1, 2 ,)PkkA

15、k 证明用大数定理（略） HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识结论结论样本，设为来自总体的一个12,nXXXX则(),E X 2()D X (),E X 2(),D Xn 22()E S 证明11()niiE Xn 11()()niiE XEXn 1nn HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识22211()()()1niiE SE XnE Xn 2211()() ()() 1niiiD XE Xn D XE Xn 22221111()11nniiiiSXXXnXnn 11()()niiD XDXn 2

16、11()niiD Xn 2221nnn HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识221()()()() 1D XnD Xn E XnE Xnn 1()()1nD XD Xn 2()()E SD X 2111() ()niinEXXD Xnn 2()D X HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布。抽样分布。抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布渐近分布渐近分布（小样本问题中使用）（大样本问题中使用） HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识

17、数理统计的基础知识常用统计量的分布（三大分布）常用统计量的分布（三大分布）2(1) 分布分布12,nXXX设是来自总体的样本，(0,1)N2221(2.1)nXX 则称统计量记为22( )n所服从的分布为自由度是的分布自由度是的分布。n2 自由度自由度是指（2.1）式右端所含独立独立变量的个数变量的个数。说明说明 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识分布的概率密度为分布的概率密度为2 122210( )2(2)00nynyeyf yny 其中伽玛函数 是通过积分( )x 来定义的。10( )0txxe tdtx HaiNan University

18、第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识22221122(),(),nn 若2212,且独立，则有2221212()nn 22(),()2En Dn ()0 ,()1,iiE XD X (0,1)(1, 2, ),iXNin 证明因为所以（可加性可加性）22()()()1iiiE XD XE X 证明略2 分布的性质分布的性质性质性质1性质性质2 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识24421()32xiE Xxedx 2422()()()312iiiD XE XE X 24212xxedx 22222211322xxx exedx 2

19、21332xedx 221()()niiEEX 所以221()()niiDDX 证毕.21()niiE Xn 21()2niiD Xn HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识(01),对于给定的正数称满足条件222( )( )( )nPnf y dy 2( )n 的点为分布的上分位点上分位点。2( )n 2( )n ( )f yyO221( )(21)2nzn 当充分大时，n 其中是正态分布的上分位点。z 2 分布的分位点分布的分位点 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识2(0,1),( ),XNYn

20、X Y 设独立， 则称随机变量XtYn ( )tt n记作服从自由度是的分布自由度是的分布。nt分布又称为学生氏学生氏(Student)分布分布。t122(1) 2( )(1)()(2)nnth ttnnn 概率密度(2)t分布分布 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识数学期望数学期望和方差方差为( )0,( )(2)2nE tD tnn 具有自由度为的分布的随机变量的ttn且分布的概率密度关于对称，t0 x ( )h t( )0 xLimh t 其图形类似于标准正态分布概率密度的图形当充分大时，n221( )2tnLimh te HaiNan

21、University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识 ( )h tto( )tn 1( )tn 对于给定的正数(01),称满足条件( )( )( )tnP ttnh t dt 的点为分布的上分位点上分位点。( )tn t 由分布上分位点的定义及图形的对称性知t 1( )( )tntn ( )tnz 45n 当时，t 分布的分位点分布的分位点 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识 1112212121212122222()()0( )()() 100nnnnnnnnnnn ynyyyy 2212(),(),UnVn 设且独立，,U

22、 V则称12/U nFV n 服从自由度是的分布。12(,)n nF记作12(,)FF n n分布的F概率密度(3)F分布分布随机变量 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识222()(2)2nE Fnn 具有自由度为的分布的随机变量12(,)n nF（不依赖于第一自由度）1n12(,),FF n n若211(,)F n nF则12/,/U nFV n 211/V nFU n 由定义F的数学期望数学期望结论结论 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识对于给定的正数(01),称满足条件1212(,)(,)

23、( )Fn nP FFn ny dy 12(,)Fn n 12(,)F n n的点为分布的上分位点上分位点。 yo( )y 12(,)Fn n 112211(,)(,)Fn nFn n 0.950.051(12,9)(9,12)FF 例10.3572.80F 分布的分位点分布的分位点性质性质 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识的分位点的分位点 1F证明 yo( )y 12(,)Fn n 112(,)Fn n 1121(,)P FFn n 如图11211(,)PFFn n 112111(,)PFFn n 112111(,)PFFn n 211(,

24、)F n nF211(,)PFn nF 所以的分位点的分位点 1F又因为即112211(,)(,)Fn nFn n 11211(,)PFFn n 证毕. HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识12,nXXX是来自正态总体的样本，2( ,)N X是样本均值，则有2( ,)XNn 222(1)(1)(1)nSn 12,nXXX是总体的样本，2( ,)N 2,XS是样本均值和方差， 则有2S(2)X与独立(4) 正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方差的分布定理【定理【2.1】设定理【定理【2.2】设（前面已证）（证略） HaiNa

25、n University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识取不同值时样本均值 的分布nX HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识取不同值时 的分布22(1)nS n HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识 (1)/Xt nSn 12,nXXX是总体的样本，2( ,)N 2,XS是样本均值和方差， 则有证明 由定理2.1和2.2(0,1),/XNn 222(1)(1)nSn 定理【定理【2.3】设 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识且相互独

26、立，t由分布的定义知22(1) (1)(1)/XnSt nnn 化简得 (1)/Xt nSn 证毕. HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识1111,niiXXn 分别是这两个样本的样本均值，分别是分别是来自总体和的样本，211(,)N 222(,)N 且这两个样本相互独立。设12222212111211() ,()11nniiiiSXXSYYnn2121niiYYn 这两个样本的样本方差， 则有112,nXXX与212,nY YY定理【定理【2.4】设 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识12122

27、211221212()()(2) (2)(1)(1)112XYt nnnSnSnnnn 2212122212/(1)(1,1)/SSF nn HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识证明（1）221112(1)(1),nSn 即由假设相互独立，2212,SS则由分布的定义知F22111112222121(1)/(1)(1,1)(1)/(1)nSnF nnnSn 2212122212/(1,1)/SSF nn 由定理2.2知222222(1)(1)nSn HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识221212(

28、,)XYNnn （2）易知1212()()(0,1)1/1/XYNnn 所以222211221222(1)(1)(1),(1)nSnSnn 又因为且它们相互独立，22211221222(1)(1)(2)nSnSnn 由分布的可加性知2 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识1212122211221222()()1/1/ (2)(1)(1)/(2)XYnnt nnnSnSnn 12122211221212()() (2)(1)(1)112XYt nnnSnSnnnn 由分布的定义知t化简得证毕. HaiNan University第六章第六章 数理

29、统计的基础知识数理统计的基础知识1.设总体的概率密度为X1( )2xf xe 12,nXXX() ,x 为总体的简单随机样本，其样本方差为，2S则2()E S （2006）解由于2()()E SD X 21()( )02xE Xxf x dxxedx 222()()()()E SD XE XE X 2( )x f x dx 备用题备用题所以202xx edx HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识2.设总体服从正态分布，21(,)N X22(,),N 服从正态分布Y112,nXXX和212,nY YY分别来自总体和的简单随机样本XY则1222111

30、2()()2nnijijXXYYEnn （2004）2 总体 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识解12221112()()2nnijijXXYYEnn122211121 () () 2nnijijEXXEYYnn 122111() (1)niiEXXE nS 211(1) ()(1)nD Xn 222221() (1)njjEYYE nS 222(1)( )(1)nD Yn 所以， 原式2 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识3.设总体服从正态分布，2(0,2 )NX而1215,XXX是来自总体的

31、简单随机样本，X则随机变量221102211152()XXYXX 服从分布，参数为。（2001）解2(0,2 )(1,2,15)iXNi (0,1)2iXN则222101()()(10)22XX 2221511()()(5)22XX F(10,5) HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识且由样本的独立性知221511()()22XX22101()()22XX与独立所以221102211152()XXYXX (10,5)F即服从第一个自由度为10，第二个自由度为Y5的分布。F22101221511()() /1022()() /522XXXX HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知识数理统计的基础知识4.在天平上重复称量一重为的物品，a设各次称量结果相互独立，2( ,0.2 )N a布。平均值， 则为使0.10.95,nP Xa 16若以表示次称量结果的算术nXnn的最小值应不小于自然数。解2110.2( ,)nniiXXN ann 则(0,1)0.2/nXauNn （1999）假且服从同一正态分 HaiNan University第六章第六章 数理统计的基础知