D072可分离newppt课件

1、转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设设 y (x) 是方程的是方程的解解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分两边积分, 得得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式则有恒等式 )(yG)(xF当当G(y) 与与F(x) 可微且可微且 G(y) g(y)0 时时, 说明由确定的隐函数说明由确定的隐函数 y(

2、x) 是的解是的解. 则有则有称为方程的隐式通解称为方程的隐式通解, 或通积分或通积分.同样同样,当当F(x)= f (x)0 时时,上述过程可逆上述过程可逆,由确定的隐函数由确定的隐函数 x(y) 也是的解也是的解. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积分两边积分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一

3、定是同解变形变形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始条件得由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令

4、令 , 1yxu那么那么yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量分离变量xeyexyddCeexy即即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有故有ueu1积分积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解条件定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解有解后者是通解后者是通解 , 但不包含前一个解但不包含前一个解 .例如例如, 方程方程分离变量后积分分离变量后积分; 根据定解条件定常数根