D103三重积分1ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀内分布着某种不均匀的的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),

2、(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv以下中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, “乘积和式” 极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截

3、面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 计算方法:目录 上页 下页 返回 结束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质

4、量为),(2yxzz ),(1yxzz 微元线密度记作yxddO目录 上页 下页 返回 结束 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以该物体的质量为vzyxfd),(bazDyxzyxfdd),(zDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作xyzO目录 上页 下页 返回 结束 投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),()

5、,(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数在积分域上变号时, 因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf目录 上页 下页 返回 结束 小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzz

6、yxfyxvzyxfd),(zDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解: :zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目录 上

7、页 下页 返回 结束 xyz例例2. 计算三重积分计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDzO目录 上页 下页 返回 结束 xyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目录 上页 下

8、页 返回 结束 如下图, 在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因而zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddzzddddxyzddO目录 上页 下页 返回 结束 2axyzO,其中 为例例3. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2所围成半圆柱体.目录 上页 下页 返回 结束 OOxyz例例4. 计算三重积