D311函数的图形与曲率ppt课件

1、3. 11. 1 3. 11. 1 曲线的渐近线曲线的渐近线3. 11. 2 3. 11. 2 函数图形的描绘函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数图形的描绘 第3章 3 . 113. 11. 3 3. 11. 3 弧微分弧微分3. 11. 4 3. 11. 4 曲率及其计算公式曲率及其计算公式3. 11. 5 3. 11. 5 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径与平面曲线的曲率无渐近线无渐近线 .当曲线当曲线 C 上的点上的点M 沿着该曲线无限地远离坐标原点时，沿着该曲线无限地远离坐标原点时，3. 11. 1 3. 11. 1 曲曲 线线 的的 渐渐 近近 线线22221xya

2、b0,0 xyab定定 义义 ：则称直线则称直线例如例如, 双曲线：双曲线：有渐近线：有渐近线：但抛物线：但抛物线：NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2yx点点 M 与某一直线与某一直线 L 的距离纵或横坐标差趋的距离纵或横坐标差趋于于L 为曲线为曲线C 的渐近线的渐近线 。1. 1. 水平与铅垂直渐近线水平与铅垂直渐近线;yb0.xx121yx假设,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线)(x或假设,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有垂直渐近线)(0 xx或例例1. 的渐近线。的渐近线。解解:2211limxx2 y为水平渐近线为

3、水平渐近线;,211lim1xx为垂直渐近线。为垂直渐近线。21机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1x求曲线求曲线2. 2. 斜渐近线斜渐近线.yaxb yf x limxfxbaxx有斜渐近线 lim 0,xf x)(x或假设()ax b lim0 xfxaxbx 0limxfx()ax b limxf xax lim xbfxax机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(x或)(x或 lim0 xf xbaxx那么例例 2. 3223xyxx, 3x 3,31xyxx的渐近线的渐近线 。解解:,lim3yx) 1(x或又又32lim22xxxx1 limxf xx22yx为曲线的一条斜渐近

4、线为曲线的一条斜渐近线 。机动 目录 上页 下页 返回 完毕 312 xy求曲线求曲线为其两条铅直渐近线；为其两条铅直渐近线； limxf xkx1x 而而b 2223lim23xxxxx3. 11.2 3. 11.2 函数图形的描绘的步骤函数图形的描绘的步骤 ,fyf xxD yf x,fD设函数设函数1. 确定作图的区域，确定作图的区域，的定义域：的定义域：奇偶性、对称性、周期性奇偶性、对称性、周期性 、有界性、有界性;2. 计算计算 ,fxfx并分别求出并分别求出 fx及及 fx3. 列表判别增减及上、下凸区间列表判别增减及上、下凸区间 , 4. 求曲线求曲线5. 确定某些特殊点确定某些

5、特殊点等于等于 0和它们不可导的点和它们不可导的点机动 目录 上页 下页 返回 完毕 并考虑函数并考虑函数（可疑的极值点与可疑的拐点）（可疑的极值点与可疑的拐点） ;的渐近线的渐近线 ; yf x yf x即函数即函数求出极值和拐点求出极值和拐点 ;（与纵、横轴的交点）（与纵、横轴的交点） , 描绘函数的图形。描绘函数的图形。例例3. 描绘描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)

6、xy133220机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1231例例4. 描绘方程描绘方程044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4

7、) 求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义无定义机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点11302) 1( 4) 3(2xxy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy0

8、49241例例5. 描绘函数描绘函数21y22xe的图形. 解解: 1) 定义域为定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA213. 11. 3 3. 11. 3 弧弧 微微 分分 yf x,

9、 a b SSAMx设函数设函数内连续可导，内连续可导， 其图形为其图形为 AB,其弧长其弧长MMMMxMMMMMM22xyx MMMM21yx 0limxSSxx 21yx xAB)(xfy abxoyxMxxMy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 Sx在开区间在开区间0limxMMMM 1 则弧长微分公式为：则弧长微分公式为： 22ddSx ty tt 2d1dSyxx 或或22dddSxyxxdxdxoyxMydTTM若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示: xx tyy t机动 目录 上页 下页 返回 完毕 几何意义：几何意义： 21Sxyxdc sd;oxSdS ds nd;iyS

10、3.11.4 3.11.4 曲率及其计算公式曲率及其计算公式SddS,KS在光滑弧上自点在光滑弧上自点 M 开始取弧段开始取弧段, 其长为：其长为：,s对应切线对应切线,定义定义MMs点点 M 处的曲率处的曲率注意注意: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 完毕 转角为转角为弧段弧段0limSKS 上的平均曲率上的平均曲率例例1. 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 .解解: 如下图如下图 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM

11、机动 目录 上页 下页 返回 完毕 有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设yarctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: (1) 若曲线由参数方程)()(tyytxx给出, 那么23)1(2yyK (2) 若曲线方程为, )(yx那么23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,处

12、的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 完毕 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . 例例2. 我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 完毕 解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00 x

13、KRKlx1221xlRy RByox361xlRy l例例3. 求椭圆求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ttbttatfsincos2cossin2)(2tba2sin)(22求驻点: 的导数数表示对参tx ,0)( tf令,0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值 .这说明椭圆

14、在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率机动 目录 上页 下页 返回 完毕 计算驻点处的函数值:yxbaba,)( 取最小值tf最大.3. 11. 5 3. 11. 5 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线KRDM1把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设曲

15、线方程为, )(xfy 且,0 y求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心),(D设点M 处的曲率圆方程为222)()(R故曲率半径公式为KR1 23)1 (2yy 满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx的坐标公式 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式yyyx )1 (2yyy 21(注意y与y 异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 )(xfy 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,相应的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .机动 目录 上

16、页 下页 返回 完毕 屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮现要用砂轮磨磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例3可知, 椭圆在)0,( aoyx处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然, 砂轮半径不超过ab2时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.ab例3 目录 上页 下页 返回 完毕 ( 仍为摆线 )sin( a)cos1 ( a例例5. 求摆线求摆

17、线)cos1 ()sin(tayttax的渐屈线方程 . 解解:xyy,cos1sinttxyyt)(dd 2)cos1 (1ta代入曲率中心公式 ,)sin(tta) 1(cos ta得,t令aa2摆线 目录 上页 下页 返回 完毕 yoxMo摆线摆线半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,点击图中任意点动画开始或暂停Moyxta其上定点 M 的轨迹即为摆线 .)sin(ttax)cos1 (tay参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 完毕 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2. 函数图形

18、的描绘机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率半径KR1yy 23)1 (2曲率中心yyyx )1 (2yyy 21机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习 1. 曲线)(1122xxeey(A) 没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD机动 目录 上页 下页 返回 完毕 拐点为 ,凸区间是 ,),(21)1,(2121e2. 曲线曲线21xey的凹区间是 ,提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及渐近线 .1y机动 目录 上页 下页 返回 完毕 yox1)1 ,(2121e)1 ,(2121eP75 13 (2); P166 2 ; 5作业作业第七节 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题 求笛卡儿叶形求笛卡儿叶形线线yxayx333的渐近线 . 解解: 令令 y = t x ,