d33复合函数的求导法则ppt课件

1、微积分微积分I老师老师单位：数学与计算科学学院单位：数学与计算科学学院 3.3 、复合函数的求导法则1 1、复合函数的链式求导法则、复合函数的链式求导法则2 2、抽象函数的求导、抽象函数的求导复习：上节课的主要内容复习：上节课的主要内容1 1、1616个基本求导数公式个基本求导数公式2 2、四则运算规则、四则运算规则1 x)x(x)x(ln1 xxcos)(sinxxsin)(cos等等等等)( vuvuvuvuvu )(2)(vvuvuvu练习一下知 10021xxxxxf求 0f 解： xf 100211xxx10021xxx10011xxx121xxx从而 100210f!100方法1方

2、法2：用定义用定义 0f 00lim0 xfxfx0010021lim0 xxxxxx10021lim0 xxxx10021!100方法3：直接观察直接观察一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则例子例子 知知xy2sin，求，求yyx2cos2复习：复合函数的定义复习：复合函数的定义v已知函数已知函数ggffZuDxxguZyDuufy,),( ;, ),(假如假如则称函数则称函数 fgDZ)()(xFxgfy)( )(|ufyDxgxDxfF是由与)(xgu 复合而成的复合函数。复合而成的复合函数。 定理定理1 1)(,xu均可导，均可导，假设假设)(ufy 则复合函数则复合函数)(x

3、fy也可导，也可导，且其导数为：且其导数为：dxdydudy dxdu )x()u(f 复合函数的求导规则证证)(ufy 在点在点)(00 xu可导，可导，由由知)(lim00ufuyu由极限与无穷小关系知由极限与无穷小关系知,)(0ufuy0lim0u于是于是yxyxuxuuf)(0 xyx0limxuufx00lim)(xux0lim0 xxdxdy即即)()(00 xufuuuf)(0例例1. 1. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：,sin).12xy ,sin).22xy ,tanln).3xy 解解. .2sin).1xy ,sinuy 2xu dxdydudydxduucosx

4、22cos2xxxy2sin).2,2uy xusindxdydudydxduu2xcosxxcossin2x2sinxytanln).3,lnuy xutandxdydudydxduu1x2secxxtansec2xxcossin1复合函数求导步骤：复合函数求导步骤： （ 1选定中间变量，分解复合函数；选定中间变量，分解复合函数； (2) 将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导; (3) 将中间变量代回为自变量的函数将中间变量代回为自变量的函数. 简记为分解求导回代简记为分解求导回代 例例2. 2. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：,

5、).13xey ,21).232xy,3cot).3xy 解解 1).1).)(3xey)(33xex.332xex)21().232xy312)21 (x)21 ()21 (312322xx.)21 (34322xx)3(cot).3xy)3(3csc2xx.3csc32x例如例如, ,)(, )(, )(xhvvguufyxydd)()()(xhvgufyuvxuyddvuddxvdd推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. .链式规则链式规则. .关键关键: : 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导 xhgfy 例

6、例3.)cos(lnxey 求dxdy解解)cos(lnxey ,lnuy ,cosvu .xev dxdydudydvdudxdvu1)sin(vxexxxeeecossin.tanxxee例例4.22arccosxy求dxdy解解22arccosxy,2uy ,arccosvu .2xv dxdydudydvdudxdvu2211v21.42arccos22xx另解另解dxdy2arccos2arccos2xx22112arccos22xxx.42arccos22xx例例5.为常数）nxnxyn(sinsin求y解解yxnxnsin)(sin )(sinsinxnxnxnxnnsincos

7、)(sinsinsin1xxnxnnxnxnnsincosxxnxnncossinsin1)cossinsin(cossin1xnxxnxxnnxnxnn) 1sin(sin1例例6.)1ln(2xxy求y解解y112) 1(1222xxxx112x22)(1xx1xx典型例题说明说明1 1在求导过程中必须搞清函数是怎样复合的在求导过程中必须搞清函数是怎样复合的. .2 2求导时由外到里逐层求导求导时由外到里逐层求导. .注意注意: :一定要到底一定要到底, ,不要遗漏不要遗漏 , ,不要重复不要重复. .练习一下练习一下解：解：xxxeexeyarctan1ln212例例7 7 知知求求yy

8、120112122xxeexxxxxeeeee211arctanxxeearctan提高题目提高题目提示：提示：xxxxxxy221ln122例例7 7 知知求求yxxxy21ln2二、抽象函数的求导二、抽象函数的求导例例8.8.)x(sinfy1 求求y解解) )1(sin(xfy)1(sinxf )1(sinx)1)(1)(cos1(sinxxxf)1(sin1cos12xfxx注意注意: :的区别)1(sinxf 与) )1(sin(xf二、抽象函数的求导二、抽象函数的求导没有求导没有求导求过导数求过导数例例9 9 知知xxxf11求求xf ln解： 11xxf 211xxf21ln1lnxxf别忘记了：别忘记了：)(xx如何求思考题目思考题目1 1复合函数求导的链式规则复合函数求